Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Wyznacz najmniejszą wspólną wielokrotność dla podanych par liczb.

R12TtrPnr1Xwl

Ilustracja przedstawia dwa przykłady rozkładu liczby na czynniki pierwsze: liczba trzydzieści podzielić przez 2 daje piętnaście podzielić przez 3 daje pięć podzielić przez 5 daje jeden. Liczba czterdzieści dwa podzielić przez 2 daje dwadzieścia jeden podzielić przez 3 daje siedem podzielić przez 7 daje jeden.

R9SvJbvJ9klFj

Ilustracja przedstawia dwa przykłady rozkładu liczby na czynniki pierwsze: liczba osiemdziesiąt cztery podzielić przez 2 daje czterdzieści dwa podzielić przez 2 daje dwadzieścia jeden podzielić przez 3 daje siedem podzielić przez 7 daje jeden. Liczba trzydzieści podzielić przez 2 daje piętnaście podzielić przez 3 daje pięć podzielić przez 5 daje jeden.

R1WAthtdAQlV1

Ilustracja przedstawia dwa przykłady rozkładu liczby na czynniki pierwsze: liczba sto dwadzieścia sześć podzielić przez 2 daje sześćdziesiąt trzy podzielić przez 3 daje dwadzieścia jeden podzielić przez 3 daje siedem podzielić przez 7 daje jeden. Liczba sto pięć podzielić przez 3 daje trzydzieści pięć podzielić przez 5 daje siedem podzielić przez 7 daje jeden.

$N W W (30, 42) = N W W (2 \cdot 3 \cdot 5, 2 \cdot 3 \cdot 7) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$

$N W W (84, 30) = N W W (2^{2} \cdot 3 \cdot 7, 2 \cdot 3 \cdot 5) = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 5$

$N W W (126, 105) = N W W (2 \cdot 3^{2} \cdot 7, 3 \cdot 5 \cdot 7) = 2 \cdot 3^{2} \cdot 7 \cdot 5$

$N W W (30, 42) = 210$

$N W W (84, 30) = 420$

$N W W (126, 105) = 630$

Ćwiczenie 2

Wyznacz najmniejszą wspólną wielokrotność dla podanych zestawów liczb.

R17M5UQUxTz1T

Ilustracja przedstawia trzy przykłady rozkładu liczby na czynniki pierwsze: liczba sto dziewięćdziesiąt sześć podzielić przez 2 daje dziewięćdziesiąt osiem podzielić przez 2 daje czterdzieści dziewięć podzielić przez 7 daje siedem podzielić przez 7 daje jeden. Liczba trzydzieści podzielić przez 2 daje piętnaście podzielić przez 3 daje pięć podzielić przez 5 daje jeden. Liczba czterdzieści dwa podzielić przez 2 daje dwadzieścia jeden podzielić przez 3 daje siedem podzielić przez 7 daje jeden.

R1Kekwl5999GD

Ilustracja przedstawia trzy przykłady rozkładu liczby na czynniki pierwsze: liczba sto pięć podzielić przez 3 daje trzydzieści pięć podzielić przez 5 daje siedem podzielić przez 7 daje jeden. Liczba osiemdziesiąt cztery podzielić przez 2 daje czterdzieści dwa podzielić przez 2 daje dwadzieścia jeden podzielić przez 3 daje siedem podzielić przez 7 daje jeden. Liczba sto dwadzieścia sześć podzielić przez 2 daje sześćdziesiąt trzy podzielić przez 3 daje dwadzieścia jeden podzielić przez 3 daje siedem podzielić przez 7 daje jeden.

$N W W (196, 30, 42) = N W W (2^{2} \cdot 7^{2}, 2 \cdot 3 \cdot 5, 2 \cdot 3 \cdot 7) = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7^{2} \cdot 5$

$N W W (105, 84, 126) = N W W (3 \cdot 5 \cdot 7, 2^{2} \cdot 3 \cdot 7, 2 \cdot 3^{2} \cdot 7) = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 7 \cdot 5$

$N W W (196, 30, 42) = 2940$

$N W W (105, 84, 126) = 1260$

R1FSMbATpLWBS2

Ćwiczenie 3

RdR4x7QF5HTw12

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Wykorzystując zależność między największym wspólnym dzielnikiem i najmniejszą wspólną wielokrotnością dwóch liczb naturalnych oraz algorytm Euklidesa, wyznacz najmniejszą wspólną wielokrotność dla podanych par liczb.

a) $96$ i $122$

b) $88$ i $120$

Stosujemy algorytm Euklidesa, aby wyznaczyć $N W D (96, 122)$ :

$122 = 1 \cdot 96 + 26$

$96 = 3 \cdot 26 + 18$

$26 = 1 \cdot 18 + 8$

$18 = 2 \cdot 8 + 2$

$8 = 4 \cdot 2 + 0$

Zatem $N W D (96, 122) = 2$ .

N W W (96, 122) = \frac{96 \cdot 122}{N W D (96, 122)} = \frac{11712}{2} = 5856

Stosujemy algorytm Euklidesa, aby wyznaczyć $N W D (88, 120)$ :

$120 = 1 \cdot 88 + 32$

$88 = 2 \cdot 32 + 24$

$32 = 1 \cdot 24 + 8$

$24 = 3 \cdot 8 + 0$

$N W D (88, 120) = 8$

N W W (88, 120) = \frac{88 \cdot 120}{N W D (88, 120)} = \frac{10560}{8} = 1320

RMsnJ0o5LozSC2

Ćwiczenie 6

R1O2vAKLXVMuv3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb naturalnych jest równa $432$ , zaś ich największy wspólny dzielnik to $24$ .

Wyznacz te liczby.

Oznaczmy szukane liczby przez $x$ i $y$ .

Ponieważ $N W D (x, y) = 24$ , to liczby $x$ i $y$ są postaci $x = 24 a$ , $y = 24 b$ ,
gdzie:
$a$ , $b$ – są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi.

Wówczas $N W W (x, y) = 24 \cdot a \cdot b$ , zatem z treści zadania wynika równanie $24 \cdot a \cdot b = 432$ .

Po podzieleniu obu jego stron przez $24$ otrzymujemy równanie $a \cdot b = 18$ .

Zatem szukamy takich względnie pierwszych liczb naturalnych $a$ i $b$ , których iloczyn jest równy $18$ .

Warunki te spełniają pary $1$ i $18$ oraz $2$ i $9$ .

Dla tak wyznaczonych $a$ i $b$ mamy następujące pary liczb $x$ i $y$ : $24$ i $432$ oraz $48$ i $216$ .

Gra edukacyjna

Dla nauczyciela