Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1MESeXx8cCWB1

Ćwiczenie 1

Jakim wzorem wyraża się twierdzenie Steinera:
$I_{0}$ – moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy, $I$ – moment bezwładności względem osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy, $r_{0}$ – odległość między tymi dwoma osiami, $m$ – masa bryły.

$I = I_{0} + m r_{0}$
$I = I_{0} + m r_{0}^{2}$
$I = I_{0}^{2} + m r_{0}^{2}$
$I = I_{0}^{2} + m^{2} r_{0}^{2}$

RuDyvKiubbDf41

Ćwiczenie 2

Zgodnie z twierdzeniem Steinera moment bezwładności ciała ma dwie składowe. Pierwsza to moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy, a druga to iloczyn $m r^{2}$ . Jak zmieni się wartość momentu bezwładności, jeśli odległość od osi obrotu zwiększy się dwukrotnie:

pozostanie bez zmian
składowa $I_{0}$ pozostanie bez zmian, a druga składowa zwiększy się dwukrotnie
składowa $I_{0}$ pozostanie bez zmian, a druga składowa zwiększy się czterokrotnie
wzrośnie czterokrotnie

Ćwiczenie 3

RDCNChYejYhh4

Przykładowy walec drogowy ma średnicę 150 cm i masę 10 ton. Jaki jest moment bezwładności takiego walca względem ulicy, po której się toczy?

Odpowiedź: ............ kg · m²

I = \frac{1}{2} m r^{2} + m r^{2} = \frac{3}{2} m r^{2} = \frac{3}{2} \cdot 10000 k g \cdot (\frac{1, 5 m}{2})^{2} = 8437, 5 k g \cdot m^{2}

Ćwiczenie 4

Moment bezwładności kuli o masie $m$ i promieniu $r$ wokół osi przechodzącej przez jej środek masy wynosi $I_{0} = \frac{2}{5} m r^{2}$ . Kula ma masę 500 kg i promień 1 m. Wykres poniżej prezentuje moment bezwładności tej kuli przy obracaniu jej wokół osi w odległości $d$ od środka kuli.

RSIaPhNq0hafD

Na rysunku znajduje się układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono odległość osi obrotu od środka kuli małe d w metrach. Na osi pionowej odłożono moment bezwładności wielkie i w jednostkach: kilogram razy metr kwadrat. Narysowano 3 wykresy. Niebieski wykres o kształcie rosnącej paraboli zaczyna się w początku układu współrzędnych. Szary wykres o kształcie rosnącej paraboli zaczyna się w punkcie na osi pionowej o współrzędnych: małe d równe zero, wielkie i równe 200 kilogramów razy metr kwadrat. Pomarańczowy wykres jest poziomą linią prostą, która zaczyna się na pionowej osi w punkcie o współrzędnej 200 kilogramów razy metr kwadrat.

RjkGbUHntOBpY

Przyporządkuj elementom z lewej elementy z prawej: Moment bezwładności kuli,

I_{0}

Możliwe odpowiedzi: 1. linia niebieska, 2. linia pomarańczowa, 3. linia szara Czynnik

m r^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1. linia niebieska, 2. linia pomarańczowa, 3. linia szara Moment bezwładności obliczony z twierdzenia Steinera, suma

I_{0}

m r^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1. linia niebieska, 2. linia pomarańczowa, 3. linia szara

Przyporządkuj elementom z lewej elementy z prawej:

linia niebieska, linia szara, linia pomarańczowa

Moment bezwładności kuli, $I_{0}$
Czynnik $m r^{2}$
Moment bezwładności obliczony z twierdzenia Steinera, suma $I_{0}$ i $m r^{2}$

Ćwiczenie 5

R14azW6ksepkA

Dana jest kula o masie $m$ = 500 kg i promieniu $r$ = 1 m. Kula obraca się wokół osi odległej o $d$ od jej środka masy. W jakiej odległości $d_{x}$ od osi obrotu obie składowe momentu bezwładności występujące w twierdzeniu Steinera będą sobie równe? Odpowiedź podaj w zaokrągleniu do dwóch cyfr znaczących.

Odpowiedź: ............ m

Twierdzenie Steinera

I = I_{0} + m r_{0}^{2}

I_{0} = m d_{x}^{2}, d_{x} = \sqrt{\frac{I_{0}}{m}} = \sqrt{\frac{\frac{2}{5} m r^{2}}{m}} = \sqrt{\frac{2}{5} r^{2}} = r \sqrt{\frac{2}{5}} \approx 1 m \cdot 0, 63 = 0, 63 m

Porównaj swoją odpowiedź z wykresem z Ćwiczenia 4.

Ćwiczenie 6

RvbVwid93CaY5

[Źródło: WP [CC BY‑SA 3.0], via Wikimedia Commons]

Planeta	Średnica [km]	Promień [km]	Masa [10Indeks górny 21 kg]
Merkury	4 879	2 439,5	330,2
Wenus	12 104	6 052,0	4 868,5
Ziemia	12 756	6 378,0	5 974,2
Mars	6 805	3 402,5	641,9
Jowisz	142 984	71 492,0	1 898 600,8
Saturn	120 536	60 268,0	568 516,8
Uran	51 118	25 559,0	86 841,0
Neptun	49 528	24 764,0	102 439,6

Planeta	Średnica [km]	Promień [m]	Masa [kg]	Odległosć [km]	$I_{0}$ kuli	$I = m r^{2}$	$I = I_{0} + I_{s t}$
Merkury	4 879	2 439 500	3,3020E+23	57 909 170	7,86E+35	1,11E+45	1,11E+45
Wenus	12 104	6 052 000	4,8685E+24	108 208 926	7,13E+37	5,70E+46	5,70E+46
Ziemia	12 756	6 378 000	5,9742E+24	149 597 887	9,72E+37	1,34E+47	1,34E+47
Mars	6 805	3 402 500	6,4190E+23	227 936 637	2,97E+36	3,33E+46	3,33E+46
Jowisz	142 984	71 492 000	1,8986E+27	778 412 027	3,88E+42	1,15E+51	1,15E+51
Saturn	120 536	60 268 000	5,6852E+26	1 426 725 413	8,26E+41	1,16E+51	1,16E+51
Uran	51 118	25 559 000	8,6841E+25	2 870 972 220	2,27E+40	7,16E+50	7,16E+50
Neptun	49 528	24 764 000	1,0244E+26	4 498 252 900	2,51E+40	2,07E+51	2,07E+51

R1EJKjTuNxlNz

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Rp4UU56sBRiqt

Planeta	Średnica [km]	Promień [km]	Masa [10Indeks górny 21 kg]
Merkury	4 879	2 439,5	330,2
Wenus	12 104	6 052,0	4 868,5
Ziemia	12 756	6 378,0	5 974,2
Mars	6 805	3 402,5	641,9
Jowisz	142 984	71 492,0	1 898 600,8
Saturn	120 536	60 268,0	568 516,8
Uran	51 118	25 559,0	86 841,0
Neptun	49 528	24 764,0	102 439,6

Planeta	Średnica [km]	Promień [km]	Masa [10Indeks górny 21 kg]	$\frac{m r^{2}}{I_{0}}$	$\frac{m r^{2}}{I_{0}}$ 10Indeks górny 9
Merkury	4 879	2 439,5	330,2	1,41E+09	1,41
Wenus	12 104	6 052,0	4 868,5	7,99E+08	0,80
Ziemia	12 756	6 378,0	5 974,2	1,38E+09	1,38
Mars	6 805	3 402,5	641,9	1,12E+10	11,22
Jowisz	142 984	71 492,0	1 898 600,8	2,96E+08	0,30
Saturn	120 536	60 268,0	568 516,8	1,40E+09	1,40
Uran	51 118	25 559,0	86 841,0	3,15E+10	31,54
Neptun	49 528	24 764,0	102 439,6	8,25E+10	82,49

RHxQeOrhUO5bh

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

RjZfwPAT5ETfo

Kula i walec mają promień

R

i masę

m

. Oba ciała obracają się dookoła osi będącej w odległości

d_{0}

od ich środka masy, będącej odległością równą dwóm promieniom. Walec zorientowany jest tak, że jego oś symetrii jest równoległa do osi obrotu. Jaki będzie stosunek momentu bezwładności kuli do momentu bezwładności walca? Odpowiedź zapisz w postaci ułamka prostego.

Podaj odpowiedź: [podaj odpowiedź] / [podaj odpowiedź]

Kula i walec mają promień $R$ i masę $m$ . Oba ciała obracają się dookoła osi odległej o $d_{0}$ od ich środka masy, będącej odległością równą dwóm promieniom. Walec zorientowany jest tak, że jego oś symetrii jest równoległa do osi obrotu. Jaki będzie stosunek momentu bezwładności kuli do momentu bezwładności walca? Odpowiedź zapisz w postaci ułamka prostego.

Odpowiedź: ............/............

{\begin{matrix} \begin{matrix} I_{k} = \frac{2}{5} m R^{2} + m d_{0}^{2} \\ I_{Z} = \frac{1}{2} m R^{2} + m d_{0}^{2} \end{matrix} \end{matrix}

\frac{I_{k}}{I_{Z}} = \frac{\frac{2}{5} m R^{2} + m d_{0}^{2}}{\frac{1}{2} m R^{2} + m d_{0}^{2}} = \frac{\frac{2}{5} m R^{2} + m (2 R)^{2}}{\frac{1}{2} m R^{2} + m (2 R)^{2}} = \frac{\frac{2}{5} m R^{2} + 4 m R^{2}}{\frac{1}{2} m R^{2} + 4 m R^{2}} = \frac{\frac{22}{5} m R^{2}}{\frac{9}{2} m R^{2}} = \frac{22 \cdot 2}{5 \cdot 9} m R^{2} = \frac{44}{45} m R^{2}

Film samouczek

Dla nauczyciela