$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{\sqrt{n+1}}{n^2+2}}{\frac{1}{\sqrt{n^3}}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{n+1}\sqrt{n^3}}{n^2+2}=$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{\left(n+1\right)\left(n^3\right)}}{n^2+2}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}{1+\frac{2}{n^2}}=1$

Ponieważ szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n^3}}$ jest zbieżny i $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{\sqrt{n+1}}{n^2+2}}{\frac{1}{\sqrt{n^3}}}$ jest równy liczbie rzeczywistej dodatniej, zatem na podstawie twierdzenia ze wskazówki, szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sqrt{n+1}}{n^2+2}$ jest zbieżny.

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{n^{\frac{6}{7}}}}{\frac{1}{\sqrt[7]{3n^6-3n^3+n+1}}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt[7]{3n^6-2n^3+n+1}}{n^{\frac{6}{7}}}=$

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[7]{\frac{3n^6-2n^3+n+1}{n^6}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[7]{3-\frac{2}{n^3}+\frac{1}{n^5}+\frac{1}{n^6}}=\sqrt[7]{3}$

Ponieważ szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{\frac{6}{7}}}$ jest rozbieżny i $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{n^{\frac{6}{7}}}}{\frac{1}{\sqrt[7]{3n^6-3n^3+n+1}}}$ jest dodatnią liczbą rzeczywistą, zatem na podstawie twierdzenia ze wskazówki ćwiczenia 7, szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt[7]{3n^6-3n^3+n+1}}$ jest rozbieżny.