Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Udowodnij, że symetralna każdej cięciwy danego okręgu przechodzi przez jego środek.

Niech punkty $P$ , $Q$ będą końcami cięciwy okręgu o środku $O$ i promieniu $r$ . Wtedy $|P O| = |Q O| = r$ . Ale z własności symetralnej danego odcinka wynika, że jest ona zbiorem wszystkich punktów równo odległych od końców tego odcinka. Wobec równości $|P O| = |Q O|$ wnioskujemy, że punkt $O$ leży na tej symetralnej.

Ćwiczenie 2

Skonstruuj okrąg przechodzący przez trzy różne punkty $P$ , $Q$ , $R$ , które nie są współliniowe.

Opis konstrukcji:

Prowadzimy symetralne dwóch dowolnych odcinków, których końcami dwa spośród punktów $P$ , $Q$ , $R$ – punkt przecięcia się symetralnych wyznacza środek okręgu $O$ .
Z punktu $O$ kreślimy okrąg o promieniu równym długości odcinka $O P$ . Zauważmy, że żądanie, by punkty $P$ , $Q$ , $R$ nie były współliniowe jest konieczne dla istnienia punktu wspólnego obu symetralnych.

Ćwiczenie 3

Dwie wzajemnie prostopadłe cięciwy danego okręgu mają długości odpowiednio $6$ oraz $2 \frac{1}{2}$ , a ich wspólny punkt leży na tym okręgu.

Oblicz promień danego okręgu.

Niech $a$ , $b$ oznaczają odpowiednio długości obu cięciw. Zauważ, że trójkąt, którego bokami są te cięciwy i średnica okręgu, jest trójkątem prostokątnym. Wtedy $a^{2} + b^{2} = {(2 r)}^{2}$ . Zatem $6^{2} + {(2 \frac{1}{2})}^{2} = {(2 r)}^{2}$ oraz $r = 3 \frac{1}{4}$ .

RTc8q7V1Pkleq2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

R1Yvu6Lz4MYVN

Niech $a$ , $b$ oznaczają odpowiednio długości obu cięciw. Zauważ, że wówczas $a^{2} + b^{2} = {(2 \cdot 6)}^{2}$ .

Ćwiczenie 6

RsRusXqWFBHnH

Zauważ, że pole trójkąta wyraża się wzorem $P_{Δ} = \frac{a b c}{4 R}$ .

R1eDhaXWNQaHI3

Ćwiczenie 7

Zbadaj położenie punktów względem okręgu o środku

O

i promieniu

r = 3

na podstawie ich odległości

d

od środka okręgu. Dopasuj łącząc w pary. Punkt na okręgu Możliwe odpowiedzi: 1.

d = \frac{|\sqrt{2} - 4| + |\sqrt{2} + 3|}{|\sqrt{2} - 2| - |\sqrt{2} - 1|}

, 2.

d = |2 - \sqrt{2}| - |1 - \sqrt{2}| + 2 \sqrt{2}

, 3.

d = \frac{6}{|\sqrt{2} - 3| + 1}

Punkt wewnętrzny okręgu Możliwe odpowiedzi: 1.

d = \frac{|\sqrt{2} - 4| + |\sqrt{2} + 3|}{|\sqrt{2} - 2| - |\sqrt{2} - 1|}

, 2.

d = |2 - \sqrt{2}| - |1 - \sqrt{2}| + 2 \sqrt{2}

, 3.

d = \frac{6}{|\sqrt{2} - 3| + 1}

Punkt zewnętrzny okręgu Możliwe odpowiedzi: 1.

d = \frac{|\sqrt{2} - 4| + |\sqrt{2} + 3|}{|\sqrt{2} - 2| - |\sqrt{2} - 1|}

, 2.

d = |2 - \sqrt{2}| - |1 - \sqrt{2}| + 2 \sqrt{2}

, 3.

d = \frac{6}{|\sqrt{2} - 3| + 1}

R157rI0bsowsT3

Ćwiczenie 8

Dwie wzajemnie prostopadłe cięciwy danego okręgu, o wspólnym punkcie leżącym na tym okręgu, różnią się o

1

, a średnica jest o

2

dłuższa od jednej z cięciw. Oblicz długość promienia okręgu. Uporządkuj w kolejności zapisy prowadzące do rozwiązania. Elementy do uszeregowania: 1. Jego jedynym dodatnim rozwiązaniem jest liczba

2 + 2 \sqrt{3}

., 2. Niech

x

oznacza długość krótszej cięciwy., 3. Jego jedynym dodatnim rozwiązaniem jest liczba

3

., 4. Promień jest wtedy równy

2 \frac{1}{2}

., 5. Równanie to po uproszczeniu przyjmuje postać:

x^{2} - 4 x - 8 = 0

., 6. Analogicznie, jeśli średnica jest o

2

dłuższa od dłuższej z przyprostokątnych, to możemy zapisać równanie

x^{2} + {(x + 1)}^{2} = {(x + 3)}^{2}

., 7. Jeśli średnica jest o

2

dłuższa od krótszej z przyprostokątnych, to korzystając z faktu, że trójkąt, którego bokami są te cięciwy i średnica okręgu, jest trójkątem prostokątnym, możemy zapisać równanie

x^{2} + {(x + 1)}^{2} = {(x + 2)}^{2}

., 8. Równanie to po uproszczeniu przyjmuje postać:

x^{2} - 2 x - 3 = 0

., 9. Promień jest wtedy równy

2 + \sqrt{3}

Gra edukacyjna

Dla nauczyciela