Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RvbPnM4VYlSUI1

Ćwiczenie 1

RgWgwQcb6LkVo1

Ćwiczenie 2

RgtwMu8CWG3lh2

Ćwiczenie 3

R1WqhOsY8NIJ72

Ćwiczenie 4

RqDDsItVjLDsS2

Ćwiczenie 5

R1Cq9VvPhWiqm2

Ćwiczenie 6

R1HFmPcR1qnWl3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Korzystając ze wzoru $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + . . . + n^{3} = \frac{n^{4} + {2 n}^{3} + n^{2}}{4}$ uzasadnij, że suma sześcianów kolejnych liczb naturalnych od $1$ do $4$ jest kwadratem liczby naturalnej.

$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + . . . + n^{3} = \frac{n^{4} + 2 n^{3} + n^{2}}{4} = \frac{n^{2} (n^{2} + 2 n + 1)}{4} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4} = {[\frac{n (n + 1)}{2}]}^{2}$

Teraz wystarczy wykazać, że $\frac{n (n + 1)}{2}$ jest liczbą naturalną dla dowolnego $n \in ℕ$ . Liczby $n$ , $n + 1$ to kolejne liczby naturalne, więc jedna z nich jest liczbą parzystą, zatem dzieli się przez $2$ . Czyli $\frac{n (n + 1)}{2}$ jest liczbą naturalną.

Zatem w szczególności suma sześcianów czterech kolejnych liczb naturalnych jest kwadratem pewnej liczby naturalnej.

Infografika

Dla nauczyciela