Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RBjKmPioA3T8O

R1OepN27N28dE

R1Eo124nkptJ41

Ćwiczenie 2

R1H5dXt6uEPKG2

Ćwiczenie 3

R167arvnoLgAK2

Ćwiczenie 4

Przenieś w puste miejsca właściwe wyrażenia. Korzystając z definicji Cauchy'ego wykażemy, że <

\lim_{x \to 3} (x^{2} - 6 x + 1) = - 8

. Weźmy dowolną liczbę

ε > 0

. Niech

δ =

δ = ε

, 2.

| x - 3 |^{2}

, 3.

| x + 3 |^{2}

, 4.

ε

, 5.

δ^{2} = ε

, 6.

0 < | x - 3 | < δ

, 7.

\sqrt{ε}

, 8.

0 < | x + 8 | < δ

, 9.

ε^{2}

. Wówczas dla wszystkich

x \in D_{f}

takich, że 1.

δ = ε

, 2.

| x - 3 |^{2}

, 3.

| x + 3 |^{2}

, 4.

ε

, 5.

δ^{2} = ε

, 6.

0 < | x - 3 | < δ

, 7.

\sqrt{ε}

, 8.

0 < | x + 8 | < δ

, 9.

ε^{2}

mamy

| f (x) - g | =

| x^{2} - 6 x + 9 | =

δ = ε

, 2.

| x - 3 |^{2}

, 3.

| x + 3 |^{2}

, 4.

ε

, 5.

δ^{2} = ε

, 6.

0 < | x - 3 | < δ

, 7.

\sqrt{ε}

, 8.

0 < | x + 8 | < δ

, 9.

ε^{2}

<

δ = ε

, 2.

| x - 3 |^{2}

, 3.

| x + 3 |^{2}

, 4.

ε

, 5.

δ^{2} = ε

, 6.

0 < | x - 3 | < δ

, 7.

\sqrt{ε}

, 8.

0 < | x + 8 | < δ

, 9.

ε^{2}

Ćwiczenie 5

R1bF6jFNtEGzd

RMVu5eEjB3RVl

R1NMp47RjinYK2

Ćwiczenie 6

Przenieś w puste miejsca właściwe wyrażenia. Korzystając z definicji Cauchy'ego wykażemy, że

\lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 4}{x + 2} = - 4

. Weźmy dowolną liczbę

ε > 0

. Niech

δ =

δ = ε

, 2.

2 ε

, 3.

ε

, 4.

0 < | x - 2 | < δ

, 5.

2 | x + 2 |

, 6.

\frac{ε}{2}

, 7.

0 < | x + 2 | < δ

, 8.

| x + 2 |

, 9.

| x - 2 |

. Wówczas dla wszystkich

x \in D_{f}

takich, że 1.

δ = ε

, 2.

2 ε

, 3.

ε

, 4.

0 < | x - 2 | < δ

, 5.

2 | x + 2 |

, 6.

\frac{ε}{2}

, 7.

0 < | x + 2 | < δ

, 8.

| x + 2 |

, 9.

| x - 2 |

mamy

| f (x) + 4 | =

δ = ε

, 2.

2 ε

, 3.

ε

, 4.

0 < | x - 2 | < δ

, 5.

2 | x + 2 |

, 6.

\frac{ε}{2}

, 7.

0 < | x + 2 | < δ

, 8.

| x + 2 |

, 9.

| x - 2 |

<

δ = ε

, 2.

2 ε

, 3.

ε

, 4.

0 < | x - 2 | < δ

, 5.

2 | x + 2 |

, 6.

\frac{ε}{2}

, 7.

0 < | x + 2 | < δ

, 8.

| x + 2 |

, 9.

| x - 2 |

Ćwiczenie 7

Korzystając z definicji Cauchy'ego, udowodnij, że $\lim_{x \to \frac{1}{2}} (4 x^{2} - 4 x) = - 1$ .

Weźmy dowolną liczbę $ε > 0$ oraz niech $δ = \frac{\sqrt{ε}}{2}$ . Wówczas dla wszystkich $x \in D_{f}$ takich, że $0 < |x - \frac{1}{2}| < δ$ mamy

|4 x^{2} - 4 x - (- 1)| = |{(2 x - 1)}^{2}| = 4 {|x - \frac{1}{2}|}^{2} < 4 δ^{2} = ε

Z powyższego oraz z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie wnioskujemy, że

\lim_{x \to \frac{1}{2}} (4 x^{2} - 4 x) = - 1

Ćwiczenie 8

Korzystając z definicji Cauchy'ego, udowodnij, że $\lim_{x \to - 1} (2 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 4) = 2$ .

Weźmy dowolną liczbę $ε > 0$ oraz niech $δ = \sqrt[3]{\frac{ε}{2}}$ . Wówczas dla wszystkich $x \in D_{f}$ takich, że $0 < |x + 1| < δ$ mamy

|2 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 4 - 2| = 2 {|x + 1|}^{3} = 2 δ^{3} = ε

Z powyższego oraz z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie wnioskujemy, że

\lim_{x \to - 1} (2 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 4) = 2

Infografika

Dla nauczyciela