Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R1FBbJaZaS2di

RfAijnfmCPizJ

Poniżej podano cztery pary prostych. Dla każdej pary określ ich wzajemne położenie. a) Proste

y = 1; y = 2

są 1. równoległe i ukośne, 2. równoległe i pionowe, 3. równoległe i ukośne, 4. równoległe i poziome.

b) Proste

x = 1; x = 2

są 1. równoległe i ukośne, 2. równoległe i pionowe, 3. równoległe i ukośne, 4. równoległe i poziome.

c) Proste

y = x; y = x + 1

są 1. równoległe i ukośne, 2. równoległe i pionowe, 3. równoległe i ukośne, 4. równoległe i poziome.

d) Proste

y = - x; y = - x + 1

są 1. równoległe i ukośne, 2. równoległe i pionowe, 3. równoległe i ukośne, 4. równoległe i poziome.

Ćwiczenie 2

R136nOgWmhoyv11

Do podanej prostej zaproponuj takie proste, aby: jedna z nich była równoległa do danej i pokrywała się z nią, druga była równoległa do danej i nie miała z nią żadnych punktów wspólnych oraz trzecia niech ma jeden punkt wspólny z daną prostą.

Wzór prostej: $y = 3 x$ .

RgTJ9A6CCQfUw

RKvxeoyFlsGYb21

Ćwiczenie 3

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. 1. Proste o równaniach

y = m^{2} x + 1

oraz

y = x + m

nie mają punktów wspólnych dla

m

równego: Możliwe odpowiedzi: a) Nie istnieje

m

spełniające warunki zadania.; b)

1

; c)

- 1

. 2. Proste o równaniach

y = m^{4} x + 2

oraz

y = 16 x + m

nakładają się dla

m

równego: Możliwe odpowiedzi: a)

2

; b)

- 2

.; c) Nie istnieje

m

spełniające warunki zadania. 3. Proste o równaniach

y = m^{2} x - 3

oraz

y = 9 x + 2

mają dokładnie jeden punkt wspólny dla: Możliwe odpowiedzi: a)

m = \sqrt{3}

; b)

m = - \sqrt{3}

; c)

9

. 4. Proste o równaniach

y = m^{3} x + 2

oraz

y = 8 x + m

nie są równoległe dla: Możliwe odpowiedzi: a)

2

; b)

- 2

; c)

8

R12xwvPczyO0Q2

Ćwiczenie 4

RfCopTx7rb3Or2

Ćwiczenie 5

Połącz w pary układy równań prostych z ich opisami.

\{\begin{cases} x - 2 y = 1 \\ 2 x - y = 1 \end{cases}

Możliwe odpowiedzi: 1. Proste się nakładają., 2. Proste się przecinają, ale nie są prostopadłe., 3. Proste są równoległe, ale się nie nakładają., 4. Proste są prostopadłe.

\{\begin{matrix} x - 2 y = 1 \\ x - 2 y = - 1 \end{matrix}

Możliwe odpowiedzi: 1. Proste się nakładają., 2. Proste się przecinają, ale nie są prostopadłe., 3. Proste są równoległe, ale się nie nakładają., 4. Proste są prostopadłe.

\{\begin{matrix} x - 2 y = 1 \\ 2 x - 4 y = 2 \end{matrix}

Możliwe odpowiedzi: 1. Proste się nakładają., 2. Proste się przecinają, ale nie są prostopadłe., 3. Proste są równoległe, ale się nie nakładają., 4. Proste są prostopadłe.

\{\begin{cases} x - 2 y = 1 \\ 2 x + y = 1 \end{cases}

Możliwe odpowiedzi: 1. Proste się nakładają., 2. Proste się przecinają, ale nie są prostopadłe., 3. Proste są równoległe, ale się nie nakładają., 4. Proste są prostopadłe.

Ćwiczenie 6

Zbadaj wzajemne położenie prostych o równaniach $m x + y = 3$ i $2 m x - m y = 6$ w zależności od wartości parametru $m$ .

Zastosujemy wzory z tabeli $2$ .

Zauważmy, że $A = m$ , $B = 1$ , $C = 3$ , $D = 2 m$ , $E = - m$ , $F = 6$ . Obliczmy

$A E - B D = - m^{2} - 2 m = - m (m + 2)$

$C E - B F = - 3 m - 6 = - 3 (m + 2)$

$A F - C D = 6 m - 6 m = 0$

Zatem dla $m \in ℝ ∖ \{0; - 2\}$ układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, czyli proste przecinają się w jednym punkcie. Współrzędne tego punktu to $x = \frac{- 3 (m + 2)}{- m (m + 2)} = \frac{3}{m}$ , $y = \frac{0}{- m (m + 2)} = 0$ .

Dla $m = 0$ drugie równanie redukuje się do równania sprzecznego $0 = 6$ , które nie opisuje prostej, ale zbiór pusty.

Dla $m = - 2$ równania sprowadzają się do $- 2 x + y = 3$ oraz $- 4 x + 2 y = 6$ . Po podzieleniu obu stron drugiego równania przez $2$ otrzymujemy równanie identyczne z pierwszym, zatem proste nakładają się.

R1L6wsbCi8XDb31

Ćwiczenie 7

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. 1. Proste o równaniach

(a - 1) - 2 y = 3

oraz

4 x + (a + 1) y = a

dla

a = 3

: Możliwe odpowiedzi: a) Nakładają się.; b) Nie nakładają się.; c) Przecinają się. 2. Proste o równaniach

(a - 1) - 2 y = 3

oraz

4 x + (a + 1) y = a

dla

a = - 3

: Możliwe odpowiedzi: a) Nakładają się.; b) Nie nakładają się.; c) Przecinają się. 3. Proste o równaniach

(a - 1) - 2 y = 3

oraz

4 x + (a + 1) y = a

dla

a = - 4

: Możliwe odpowiedzi: a) Nakładają się.; b) Nie nakładają się.; c) Przecinają się. 4. Proste o równaniach

a x + 2 y = - 1

oraz

8 x + a y = a + 6

przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy: Możliwe odpowiedzi: a)

ℝ ∖ \{- 1\}

; b)

ℝ ∖ \{4\}

; c)

ℝ ∖ \{- 4; 4\}

ReixVRMdhjn4Y3

Ćwiczenie 8

Połącz w pary układy złożone z równań prostych oraz zbiory wartości parametrów, dla których proste te się przecinają.

\begin{array}{l} a x - y = - 2 \\ x + a y = 7 \end{array}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a \in ℝ

, 2.

a \in ℝ ∖ \{0; 5\}

, 3.

a \in ℝ ∖ \{1\}

, 4.

a \in ℝ ∖ \{- 5; 0\}

\begin{array}{l} (a - 3) x + 4 y = 2 \\ - 2 a x + a y = 7 \end{array}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a \in ℝ

, 2.

a \in ℝ ∖ \{0; 5\}

, 3.

a \in ℝ ∖ \{1\}

, 4.

a \in ℝ ∖ \{- 5; 0\}

\begin{array}{l} (a - 2) x - 2 y = 7 \\ a x + 2 y = a - 1 \end{array}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a \in ℝ

, 2.

a \in ℝ ∖ \{0; 5\}

, 3.

a \in ℝ ∖ \{1\}

, 4.

a \in ℝ ∖ \{- 5; 0\}

\begin{array}{l} (a - 2) x + 3 y = 5 - a \\ a x + a y = 8 \end{array}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a \in ℝ

, 2.

a \in ℝ ∖ \{0; 5\}

, 3.

a \in ℝ ∖ \{1\}

, 4.

a \in ℝ ∖ \{- 5; 0\}

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela