Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RCNXbGagcinC81

Ćwiczenie 1

R95sXJdSUAW3O1

Ćwiczenie 2

R1WQLR9tSVfso2

Ćwiczenie 3

RyO57hzxOF12x21

Ćwiczenie 4

RyScZjiv6lv2U2

Ćwiczenie 5

RE66m1CQTHaxz21

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Wykaż, że

$k \cdot (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = n \cdot (\begin{matrix} n - 1 \\ k - 1 \end{matrix})$ ,

gdzie $n$ , $k$ to liczby naturalne takie, że $0 < k \leq n$ .

W dowodzie skorzystamy z uproszczonego sposobu obliczania symbolu Newtona.

$L = k \cdot (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = k \cdot \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot . . . \cdot (n - k + 1)}{k \cdot (k - 1) \cdot (k - 2) \cdot . . . \cdot 1}$

Skracamy licznik i mianownik ułamka przez $k$ .

$L = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot . . . \cdot (n - k + 1)}{(k - 1) \cdot (k - 2) \cdot . . . \cdot 1}$

$L = n \cdot \frac{(n - 1) \cdot (n - 2) \cdot . . . \cdot (n - k + 1)}{(k - 1) \cdot (k - 2) \cdot . . . \cdot 1}$

Przekształcamy ostatni czynnik licznika.

$L = n \cdot \frac{(n - 1) \cdot (n - 2) \cdot . . . \cdot [(n - 1) - (k - 1) + 1]}{(k - 1) \cdot (k - 2) \cdot . . . \cdot 1}$

$L = n \cdot (\begin{matrix} n - 1 \\ k - 1 \end{matrix}) = P$

Ćwiczenie 8

Niech $k$ , $n$ będą liczbami naturalnymi większymi od $1$ , liczba $p = 2 k - 1$ niech będzie liczbą pierwszą.

Wykaż, że jeżeli liczba $A = (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} k \\ 2 \end{matrix})$ jest podzielna przez $p$ , to jest podzielna przez $p^{2}$ .

Ponieważ $p = 2 k - 1$ to $k = \frac{p + 1}{2}$ .

$A = (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} k \\ 2 \end{matrix})$

$A = \frac{n (n - 1)}{2} - \frac{k (k - 1)}{2}$

Podstawiamy w miejsce $k$ wyznaczone wyrażenie.

$A = \frac{n (n - 1)}{2} - \frac{(\frac{p + 1}{2}) (\frac{p + 1}{2} - 1)}{2}$

$A = \frac{n^{2} - n}{2} - \frac{(\frac{p + 1}{2}) (\frac{p - 1}{2})}{2}$

$A = \frac{n^{2} - n}{2} - \frac{(\frac{p^{2} - 1}{4})}{2}$

$A = \frac{4 n^{2} - 4 n - p^{2} + 1}{8}$

$A = \frac{{(2 n - 1)}^{2} - p^{2}}{8}$

Liczba $p$ , jako liczba nieparzysta, jest dzielnikiem liczby ${(2 n - 1)}^{2} - p^{2}$ .

Liczba $p$ jest pierwsza, zatem $(2 n - 1)$ dzieli się przez $p$ .

Stąd wynika, że ${(2 n - 1)}^{2}$ dzieli się przez $p^{2}$ , czyli liczba $A$ dzieli się przez $p^{2}$ .

Co kończy dowód.

Animacja

Dla nauczyciela