Ponieważ ciąg jest geometryczny i $a_1\ne 0$ oraz $q\ne 0$, zatem równanie $4a_{n+3}-a_{n+1}=a_n-4a_{n+2}$ można zapisać następująco:

$4\left(a_{n+3}+a_{n+2}\right)=a_n+a_{n+1}$

$4\left(a_1{q}^{n+2}+a_1{q}^{n+1}\right)=a_1{q}^{n-1}+a_1{q}^n$

$4\left(q^3+q^2\right)=1+q$

$4q^2\left(q+1\right)=1+q$

Szereg geometryczny jest zbieżny, a zatem $q^2=\frac{1}{4}$.

Suma szeregu jest równa 2020, a zatem $\frac{a_1}{1-q}=2020$. Stą dostajemy $a_1=2020\left(1-q\right)$.

Suma dwóch początkowych wyrazów ciągu jest równa: $a_1+a_2=a_1\left(1+q\right)$, czyli $a_1+a_2=2020\left(1-q\right)\left(1+q\right)=2020\left(1-q^2\right)=2020\left(1-\frac{1}{4}\right)=$$=2020·\frac{3}{4}=1515$.

Równanie $x^2-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n}x-4=0$ jest równaniem kwadratowym, które dla dowolnej liczby naturlanej dodatniej $n$ ma dwa rozwiązania rzeczywiste, gdyż $\mathrm{\Delta }={\left(\frac{1}{9}\right)}^n+16>0$.

Zatem ze wzorów Viete'a otrzymujemy wzór: $p_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$.

Zatem $\sum _{n=1}^{\infty }{p}_n=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$.