W tym zadaniu mamy do udowodnienia twierdzenie odwrotne do twierdzenia podanego w Przykładzie 1.

Teraz z założenia wynika, że ciąg $\left(a^2, b^2, c^2\right)$ jest arytmetyczny, zatem prawdziwa jest równość

$b^2-a^2=c^2-b^2$

Rozkładamy na czynniki obie strony zapisanej równości.

$\left(b-a\right)\left(b+a\right)=\left(c-b\right)\left(c+b\right)$

Dzielimy obie strony równości przez $\left(b+a\right)\left(c+b\right)$ – iloczyn ten jest różny od zera, bo każda z liczb jest dodatnia.

$\frac{b-a}{c+b}=\frac{c-b}{b+a}$

Mnożymy obie strony równości przez $\frac{1}{c+a}$.

$\frac{b-a}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}=\frac{c-b}{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}$

Przekształcamy zapisane wyrażenia.

$\frac{b-a+c-c}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}=\frac{c-b+a-a}{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}$

$\frac{\left(b+c\right)-\left(a+c\right)}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}=\frac{\left(c+a\right)-\left(a+b\right)}{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}$

Zapisujemy każde z wyrażeń w postaci różnicy ułamków algebraicznych.

$\frac{1}{a+c}-\frac{1}{b+c}=\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a+c}$

Ostatnia równość oznacza, że ciąg $\left(\frac{1}{a+b}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{c+b}\right)$ jest arytmetyczny, co należało wykazać.

Liczby $a$, $b$, $c$ tworzą ciąg arytmetyczny, więc zachodzi równość $b-a=c-b$.

Wykażemy, że dla liczb $\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$, $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$, $\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$ prawdziwa jest podobna równość.

Oznaczmy:
$A=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}-\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$ i $B=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}- \frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}$.

Przekształcamy pierwsze z zapisanych wyrażeń.

$A=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}-\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}-\sqrt{c}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}$

$A=\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}$

Mnożymy licznik i mianownik uzyskanego ułamka przez $\sqrt{b}+\sqrt{a}$, aby w liczniku otrzymać liczby bez pierwiastków.

$A=\frac{\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}=\frac{b-a}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}$

Przekształcamy drugie z zapisanych wyrażeń.

$B=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{c}-\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}$

$A=\frac{\sqrt{c}-\sqrt{b}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}$

Mnożymy licznik i mianownik uzyskanego ułamka przez $\sqrt{c}+\sqrt{b}$, aby w liczniku otrzymać liczby bez pierwiastków.

$A=\frac{\left(\sqrt{c}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{b}\right)}=\frac{c-b}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{b}\right)}$

Mianowniki ułamków $A$ i $B$ są równe. Z zapisanej wcześniej równości $b-a=c-b$ wynika, że liczniki też są równe, zatem $A=B$.

Oznacza to, że spełniony jest warunek na to, aby ciąg $\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$, $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$, $\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$ był arytmetyczny.