Wykonajmy rysunek pomocniczy:

R1BlJb8Tupbr8

Ilustracja przedstawia ośmiościan znajdujący się wewnątrz sześcianu. Na środkach ścian sześcianu zaznaczono wierzchołki ośmiościanu, środki te leżą w miejscu przecięcia przekątnych ścian. Krawędzie dolnej podstawy sześcianu to A  B C D, krawędzie górnej podstawy sześcianu to < $A_1$ $B_1$ $C_1$ $D_1$. Na środku ściany ABCD znajduje się się punkt F. Na środku ściany $A_1$ $B_1$ $C_1$ $D_1$ znajduje się punkt E. Na środku ściany A $A_1$ B$B_1$ znajduje się punkt M. Na środku ściany B $B_1$C $C_1$ znajduje się punkt N. Na środku ściany C $C_1$ D $D_1$ znajduje się punkt P. Na środku ściany D $D_1$ A $A_1$ znajduje się punkt R. Punkty F, E, M, N, P, R są wierzchołkami ośmiościanu.

Niech $a$ - długość krawędzi sześcianu.

Wówczas długość krawędzi ośmiościanu to $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Obliczmy objętości obu brył:

$V_{\text{sześcianu}}=a^3$

$V_{\text{ośmiościanu}}=\frac{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^3\sqrt{2}}{3}=\frac{a^3·\frac{2\sqrt{2}}{8}·\sqrt{2}}{3}=\frac{a^3}{6}$

Wykazaliśmy, że $V_{\text{ośmiościanu}}=6·V_{\text{sześcianu}}$.

RFlTpsdHDdEcv

Ilustracja przedstawia sześcian znajdujący się wewnątrz ośmiościanu. Wierzchołki sześcianu znajdują się na środkach ścian ośmiościanu.

Oznaczmy jako $a$ - długość krawędzi ośmiościanu. Wówczas jego objętość wynosi:

$V_{\text{ośmiościanu}}=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

Środkiem ściany ośmiościanu foremnego jest środek ciężkości trójkąta równobocznego. Wysokości w trójkącie równobocznym dzielą się w stosunku $2:1$. Obliczmy długość krawędzi sześcianu. Oznaczmy ją jako $x$.

R1LfFggLQ7mCu

Ilustracja przedstawia sześcian znajdujący się wewnątrz ośmiościanu. Wierzchołek górny ośmiościanu podpisano literą E, wierzchołek dolny popisano literą F, pozostałe wierzchołki to A B C D. Długość krawędzi bocznej ośmiościanu podpisano literą a. Długość ściany sześcianu znajdującego się wewnątrz ośmiościanu podpisano literą x. Na krawędzi AB zaznaczono punkt G. Na krawędzi BC zaznaczono punkt H. W ośmiościanie zaznaczono trójkąt o wierzchołkach EGH.

Przeanalizujmy trójkąt $EGH$. $\left|GB\right|=\left|BH\right|=\frac{1}{2}a$, więc $\left|GH\right|=\frac{1}{2}a\sqrt{2}$. Ułóżmy proporcję:

$\frac{x}{\frac{1}{2}a\sqrt{2}}=\frac{2}{3}$

$x=\frac{a\sqrt{2}}{3}$

Obliczmy objętość sześcianu:

$V_{\text{sześcianu}}={\left(\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)}^3=\frac{2\sqrt{2}{a}^3}{27}$

Obliczmy stosunek objętości brył:

$\frac{V_{\text{sześcianu}}}{V_{\text{ośmiościanu}}}=\frac{\frac{2\sqrt{2}{a}^3}{27}}{\frac{a^3\sqrt{2}}{3}}=\frac{2}{9}$

lub

$\frac{V_{\text{ośmiościanu}}}{V_{\text{sześcianu}}}=\frac{9}{2}$