Przekształcamy wzór ciągu

$a_n=\frac{(n-1)!-n!}{(n-1)!+n!}$

$a_n=\frac{(n-1)!(1-n)}{(n-1)!(1+n)}=\frac{1-n}{1+n}$.

Badamy monotoniczność ciągu

$a_{n+1}-a_n=\frac{-n}{n+2}-\frac{1-n}{1+n}=\frac{-n-n^2-\left(n+2-n^2-2n\right)}{\left(1+n\right)\left(2+n\right)}$

$a_{n+1}-a_n=\frac{-2}{\left(1+n\right)\left(2+n\right)}<0$ – ciąg malejący.

Obliczamy kilka początkowych wyrazów ciągu.

$a_1=0$

$a_2=-\frac{1}{3}$

$a_3=-\frac{2}{4}$

Ponieważ ciąg jest malejący, zatem największy wyraz ciągu to $0$. Każdy następny wyraz ciągu jest ujemny. Zatem tylko jeden wyraz ciągu jest nieujemny i jest on równy $0$.

$a_n=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots +\frac{1}{n\left(n+1\right)}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

$a_n=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$

Badamy monotoniczność ciągu.

$a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}>0$ - ciąg rosnący.

Najmniejszym wyrazem ciągu jest więc pierwszy wyraz ciągu.

$a_1=0,5$