Rozpatrzmy nasz ostrosłup:

R9mNXdywW14Ob

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy trójkątny o podstawie A B C i wierzchołku D. W ostrosłupie za pomocą linii przerywanych zaznaczono następujące środkowe kątów CAD, ACB oraz ABC. Przy czym koniec środkowej wychodzącej z wierzchołka C, leżący na krawędzi AB podpisano literą F, a koniec środkowej wychodzącej z wierzchołka B, leżący na krawędzi AC podpisano literą M. W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość DS. Oraz następujące trójkąty: trójkąt SPD, gdzie punkt P jest środkiem ciężkości trójkąta ACD, oraz trójkąt DSM, gdzie kat SMD podpisano literą alfa.

W trójkącie $MSD$ odcinek $MS$ jest trzecią częścią wysokości $BM$ trójkąta równobocznego. Przy przyjętych oznaczeniach mamy zatem $\cos \alpha =\frac{1}{3}$. Jednocześnie krawędź szukanego czworościanu, to odcinek łączący środki ciężkości ścian bocznych danego ostrosłupa, zatem w szczególności odcinek $PS$. Z twierdzenia cosinusów w trójkącie $PMS$ mamy zatem: ${\left|PS\right|}^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}^2-2{\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}^2·\cos \alpha$. Stąd możemy już obliczyć długość szukanej krawędzi $\left|PS\right|=\frac{a}{3}$.

Ostrosłup jest prosty, zatem ma krawędzie boczne równej długości. Przekątna podstawy ostrosłupa ma długość $d=\sqrt{{24}^2+{18}^2}=\sqrt{900}=30$. Rozważmy dwa przypadki:

1. Jeżeli dwie ściany boczne są trójkątami równobocznymi o bokach długości $18$, to wysokość ostrosłupa ma długość: $H=\sqrt{{18}^2-{15}^2}=\sqrt{99}=3\sqrt{11}$

2. Jeżeli dwie ściany boczne są trójkątami równobocznymi o bokach długości $24$, to wysokość ostrosłupa ma długość: $H=\sqrt{{24}^2-{15}^2}=\sqrt{351}=3\sqrt{39}$.

Zauważmy, że dany trójkąt o bokach $10$, $10$, $16$ jest trójkątem rozwartokątnym. Jego środek ciężkości, to punkt wspólny środkowych tego trójkąta. Ponieważ punkt ten jest bliższy wierzchołkowi leżącemu na przeciw podstawy trójkąta, to najkrótszą krawędzią boczną ostrosłupa jest krawędź łącząca wierzchołek $A$ z wierzchołkiem $W$.

RUg54TPe2jZBI

Ilustracja przedstawia ostrosłup o podstawie trójkąta równoramiennego A B C, wierzchołek trójkąta podpisano literą W, a spodek wysokości podpisano literą S. Krawędzie podstawy AB oraz AC mają długość dziesięć, a krawędź podstawy BC ma długość szesnaście. Koniec środkowej opuszczonej z wierzchołka A na bok BC został podpisany literą M.

Środkowa podstawy opuszczona z wierzchołka $A$, to jednocześnie wysokość tego trójkąta. Jej długość możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $AMB$:

$\left|AM\right|=\sqrt{{10}^2-8^2}=6$.

Ponieważ środkowe w trójkącie dzielą się w stosunku $2:1$, zatem odcinek $AS$ ma długość $\left|AS\right|=\frac{2}{3}·6=4$. Ostatecznie z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $ASW$ możemy obliczyć długość wysokości ostrosłupa:

$\left|WS\right|=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$.

Analizując możliwe projekty siatki ostrosłupa możemy zauważyć, że jedyny spełniający warunki zadania przedstawia ostrosłup trójkątny o ścianach bocznych będących trójkątami prostokątnymi:

R7P2Jepmwmo8I

Ilustracja siatkę ostrosłupa która składa się z trójkąta, którego wszystkie kąty są ostre, do którego do każdego boku przylegają trójkąty prostokątne w taki sposób, że cała siatka ma kształt prostokąta.

Wówczas oczywiście mamy jedną wysokość długości $10$, dwie wysokości długości $5$ i są to wysokości pokrywające się ze wzajemnie prostopadłymi krawędziami bocznymi. Ostatnią wysokość ostrosłupa opuszczoną na trójkąt równoramienny i nie prostokątny obliczamy z twierdzenia Pitagorasa. Ta wysokość ma długość $\frac{10}{3}$.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R1dvaeYeuq71p

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie A B C D oraz wierzchołku W. W ostrosłupie zaznaczono jest wysokość WS. W podstawie ostrosłupa zaznaczono jej przekątne. Wewnątrz ostrosłupa narysowano trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne to wysokość WS oraz odcinek SE łączący spodek wysokości ostrosłupa ze spodkiem wysokości ściany bocznej BCW, przeciwprostokątną jest wysokość WE ściany bocznej BCW.

Ponieważ wszystkie krawędzie ostrosłupa są tej samej długości $a$, to ściana boczna jest trójkątem równobocznym. Możemy zatem obliczyć długość krawędzi $a$, korzystając z pola ściany bocznej:

$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=288\sqrt{3}$

$a^2=1152$

$a=24\sqrt{2}$.

Jeżeli bok trójkąta równobocznego jest równy $24\sqrt{2}$, to jego wysokość $h=\frac{24\sqrt{2}·\sqrt{3}}{2}=\frac{24\sqrt{6}}{2}=12\sqrt{6}$

Pozostałą część zadania rozwiążemy na bazie trójkąta $WSE$:

REvzi3WlQwpQP

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny WSE, gdzie WSE to kąt prosty. Na boku SW zaznaczony został punkt M z którego poprowadzono linię pod kątem prostym do boku WE, koniec tego odcinka zaznaczono literą N.

${\left|WS\right|}^2+{\left|SE\right|}^2={\left|EW\right|}^2$

${\left|WS\right|}^2+{\left(12\sqrt{2}\right)}^2={\left(12\sqrt{6}\right)}^2$

${\left|WS\right|}^2=576$

$\left|WS\right|=24$.

Ponieważ trójkąty $WSE$ oraz $WNM$ są podobne, to możemy obliczyć odległość środka wysokości ostrosłupa od ściany bocznej ostrosłupa z proporcji:

$\frac{\left|NM\right|}{\left|MW\right|}=\frac{\left|SE\right|}{\left|EW\right|}$

$\frac{\left|NM\right|}{12}=\frac{12\sqrt{2}}{12\sqrt{6}}$

$\left|NM\right|=4\sqrt{3}$.