Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Wydrukuj

Wiemy już, że gdy prosta jest styczna do okręgu, to odległość środka okręgu od tej prostej jest równa promieniowi. Odcinek wyznaczający odległość punktu od prostej jest do tej prostej prostopadły. Oznacza to, że promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.

Przykład 1
R1cmAPeseRVeF1
Animacja pokazuje okrąg ośrodku w punkcie S, promieniu SA i prostą AB. Punkt A jest wspólny dla prostej i okręgu. Zmieniając położenie punktu B, leżącego na prostej, zmieniamy położenie prostej względem okręgu. Wykorzystując kątomierz odczytujemy miarę kąta B A S (utworzonego między prostą a promieniem SA okręgu). Jeżeli kąt jest równy 90 stopni, to prosta ma jeden punkt wspólny z okręgiem, jest styczna do okręgu. Jeżeli kąt BAS jest mniejszy od 90 stopni, to prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem, jest sieczną okręgu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 2

Konstrukcja stycznej do okręgu za pomocą ekierki i linijki.

R15prmvMvZTFf1
Animacja prezentuje w trzech krokach konstrukcję stycznej do okręgu przechodzącej przez punkt P. Mamy okrąg ośrodku w punkcie S i promieniu SA.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 3

Konstrukcja stycznej do okręgu za pomocą cyrkla i linijki.

R1Qn3ebpj2j771
Animacja prezentuje w sześciu krokach konstrukcję stycznej do okręgu przechodzącej przez punkt P. Mamy okrąg o środku w punkcie S i punkt P leżący na okręgu. Kreślimy prostą SP. Rysujemy okrąg o środku w punkcie P i promieniu mniejszym niż średnica danego okręgu. Punkty przecięcia prostej i okręgu oznaczamy A i B. Z punktów A i B, jako środków, rysujemy okręgi o jednakowych promieniach tak, aby okręgi przecięły się. Punkty przecięcia okręgów oznaczamy T i R. Kreślimy prostą TR, która jest szukaną styczną do okręgu – jest prostopadła do promienia SP i przechodzi przez punkt P.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 4

Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r oraz punkt P nieleżący na tym okręgu. Skonstruujemy styczną do tego okręgu przechodzącą przez punkt P.

R1ACAdzwpPFEE1
Animacja
iugNXfiKyF_d5e189
Przykład 5

Styczne do okręgu poprowadzone z punktu nieleżącego na tym okręgu można znaleźć również w inny sposób.

RNPUal6XWlhz01
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Znajdujemy styczne do okręgu o środku w punkcie S poprowadzone z punktu P.

  • Rysujemy odcinek SP.

  • Znajdujemy środek O odcinka SP.

  • Z  punktu O kreślimy okrąg o promieniu OP.

  • Punkty przecięcia okręgów oznaczamy A, B.

  • Proste APPB to szukane styczne.

Uzasadnij poprawność tej konstrukcji.

Przykład 6
RqvRRA5flAlKM1
Animacja pokazuje w ośmiu krokach konstrukcję stycznej do okręgu przechodzącej przez punkt P. Dany jest okrąg o środku w punkcie S i punkt P leżący na zewnątrz okręgu. Konstruujemy środek Q odcinka SP. Kreślimy okrąg o środku w punkcie Q, przechodzący przez punkty P, S. Otrzymujemy dwa punkty przecięcia okręgów A i B. Kreślimy proste PA i PB, które są poszukiwanymi stycznymi do okręgu poprowadzonymi przez punkt P. Mierząc kąt pomiędzy prostą PA a promieniem okręgu poprowadzonym do punktu styczności A, zauważamy że ma on miarę 90 stopni. Podobnie, kąt pomiędzy prostą PB a promieniem okręgu poprowadzonym do punktu styczności B ma miarę 90 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 7
R1Uj0ctffGNwD1
Animacja pokazuje w dwunastu krokach konstrukcję stycznej do okręgu przechodzącej przez punkt P. Dany jest okrąg c o środku w punkcie S i punkt P leżący na zewnątrz okręgu. Zaznaczmy na okręgu dowolny punkt A. Kreślimy półprostą SA. Kreślimy okrąg d o środku w punkcie A, przechodzący przez punkt S. Punkt B jest punktem przecięcia okręgu d z półprostą SA. Kreślimy okrąg e o środku w punkcie B i promieniu SB. Kreślimy okrąg f o środku w punkcie P, przechodzący przez punkt S. Okręgi e oraz f przecinają się w punktach C, D. Odcinki SP i CP mają taką samą długość, więc trójkąt C S P jest równoramienny. Bok SC trójkąta C S P przecina okrąg c w punkcie E. Odcinki SE, EC mają taką samą długość. Punkt E jest spodkiem wysokości trójkąta C S P poprowadzonej z punktu P. Odcinek EP jest wysokością trójkąta S C P, więc prosta EP jest prostopadła do odcinka SE, czyli promienia okręgu c. EP jest poszukiwaną styczną przechodzącą przez punkt P. Podobnie kreśli się drugą styczną do okręgu c przechodzącą przez punkt P.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 8
RzRUWogMzYe6s1
Animacja pokazuje w ośmiu krokach konstrukcję stycznej do okręgu przechodzącej przez punkt P. Dany jest okrąg c o środku w punkcie S i punkt P leżący na zewnątrz okręgu. Kreślimy półprostą SP. Półprosta przecina okrąg w punkcie Q. Kreślimy prostą p prostopadłą do półprostej SP, przechodzącą przez punkt Q. Prosta ta jest styczna do okręgu, ale nie przechodzi przez punkt P. Zmieniając kąt nachylenia prostej p (przemieszczając punkt styczności po okręgu) szukamy, takiego położenia prostej, aby była styczna do okręgu i przechodziła przez punkt P. Jest takie położenie prostej, która w punkcie R jest styczna do okręgu c. W następny kroku otrzymujemy trójkąt S P R i trójkąt S Q A. Trójkąt S Q A powstał z trójkąta S P R w wyniku jego obrotu. Zauważamy, że wierzchołek A tego trójkąta jest przecięciem prostej p z okręgiem g o środku S i promieniu SP. Wobec tego SA = SP, SQ = r, QA = RP. To sugeruje, jak dla danego okręgu i punktu P leżącego na zewnątrz okręgu, znaleźć punkt R styczności okręgu z poszukiwaną styczną. Aby znaleźć poszukiwany punkt R, należy wykreślić okrąg o środku w punkcie P i promieniu QA. Prosta PR jest poszukiwaną styczną do okręgu. Uzasadnij prawidłowość konstrukcji.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iugNXfiKyF_d5e254
Przykład 9
R1Pz0TkhnTRsk1
Animacja przedstawia w dziewięciu krokach konstrukcję stycznej do okręgu przechodzącej przez punkt P. Dany jest okrąg c o środku w punkcie S i punkt P leżący na zewnątrz okręgu. Kreślimy półprostą SP. Półprosta SP przecina okrąg c w punkcie Q. Konstruujemy prostą p prostopadłą do półprostej SP, przechodzącą przez punkt Q. Kreślimy okrąg o środku w punkcie S i promieniu SP. Prosta p przecina okrąg o środku w punkcie S i promieniu SP w punktach A, B. Kreślimy odcinek SA. Odcinek ten przecina okrąg c w punkcie R. Prosta PR jest poszukiwaną styczną do okręgu c. Analogiczną konstrukcję wykonujemy dla punktu B. Uzasadnij poprawność konstrukcji.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 10
RWATJdOX3yBRG1
Animacja pokazuje w dziewięciu krokach konstrukcję stycznej do okręgu przechodzącej przez punkt P. Dany jest okrąg c o środku w punkcie S i punkt P leżący na zewnątrz okręgu. Autorem przedstawionej konstrukcji jest szwajcarski matematyk Jakub Steinem (1796-1863). W konstrukcji wykorzystywana jest tylko linijka. Obieramy na kręgu dwa dowolne, różne punkty A, B. Kreślimy półproste PA i PB. Półproste te przecinają okrąg w punktach K i L różnych od A i B. Niech punkt M będzie punktem przecięcia prostych AL i BK. Kreślimy proste AB i KL. Przecinają się one w punkcie W. Kreślimy prostą MW. Która przecina okrąg w poszukiwanych punktach styczności. Prosta ta nosi nazwę biegunowej punktu P. Punkt P jest biegunem tej biegunowej. Biegunowa WM jest prostopadła do prostej SP. Przecięcia biegunowej WM z okręgiem wyznaczają punkty styczności S z indeksem dolnym jeden i S z indeksem dolnym dwa poszukiwanych stycznych do okręgu przechodzących przez punkt P. Nie korzystaliśmy ze znajomości położenia środka okręgu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.