Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał
ilt8Dxv1rf_d5e87
Twierdzenie o sumie n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
Twierdzenie: Twierdzenie o sumie n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Jeżeli an jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q, to suma Sn jego n początkowych wyrazów jest równa
Sn=a11-qn1-q dla q1 albo Sn=na1 dla q=1.

R1CZAVcA3WEe91
Animacja
Przykład 1

Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (an), w którym a1=12 oraz q=2.
Iloraz ciągu geometrycznego an jest różny od 1, więc suma S10 jego dziesięciu początkowych wyrazów jest równa

S10=a11-q101-q=121-2101-2=121-210-1=12210-1=1024-12=10232=51112
Przykład 2

Oblicz sumę wyrazów od ósmego do dwunastego ciągu geometrycznego (an), w którym a1=3 oraz q=-2.
Suma, którą należy obliczyć, to a8+a9++a12. Zrobimy to dwoma sposobami.

  • sposób I

Zauważmy, że wystarczy obliczyć sumy S12 oraz S7, odpowiednio dwunastu i siedmiu początkowych wyrazów tego ciągu, a następnie od pierwszej z obliczonych sum odjąć drugą.

S12=a11-q121-q=31--2121--2=31-2123=1-212=1-4096=-4095
S7=a11-q71-q=31--271--2=31+273=1+27=1+128=129

Zatem

a8+a9++a12=S12-S7=-4095-129=-4224
  • sposób II

Zauważmy, że ciąg, którego kolejnymi wyrazami są a8, a9, , a12, to pięciowyrazowy ciąg geometryczny, którego pierwszym wyrazem jest ósmy wyraz ciągu (an), i którego iloraz jest taki sam, jak iloraz ciągu (an) czyli q=-2. Zatem

a8+a9++a12=a81-q51-q=a1q71-q51-q=3-271-251--2=-31281+253=-12833=-4224
Przykład 3

Dany jest ciąg geometryczny (an), w którym a1=27 oraz a4=1. Ile początkowych wyrazów tego ciągu trzeba dodać, żeby otrzymać 4013?
Na początek obliczmy iloraz tego ciągu. Ponieważ a4=a1q3, więc q3=a4a1=127. Stąd q=13. Pozostaje obliczyć n, dla którego Sn= 4013. Ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego otrzymujemy

271-13n1-13=4013

Równanie to przekształcamy równoważnie

271-13n23=1213
1-13n=12132723
13n=1-242243
13n=1243
13n=135

Stąd n=5. Zatem należy dodać pięć początkowych wyrazów ciągu (an).

Przykład 4

Suma n początkowych wyrazów ciągu an jest określona wzorem Sn=3n+1-3 dla każdej liczby całkowitej n1.

  1. Oblicz czwarty wyraz ciągu an.

  2. Udowodnij, że ciąg an jest geometryczny oraz oblicz iloraz tego ciągu.

Rozwiązanie

  1. Zauważmy, że czwarty wyraz ciągu jest równy S4-S3, czyli
    a4=35-3-34-3=35-34=343-1=812=162

  2. Wyznaczmy wzór na n‑ty wyraz ciągu an. Postępujemy podobnie jak w punkcie a). Dla każdej liczby całkowitej n>1 otrzymujemy

an=Sn-Sn-1=3n+1-3-3n-3=3n+1-3n=3n3-1=23n=63n-1

To oznacza, że an jest ciągiem geometrycznym, w którym pierwszy wyraz jest równy a1=6 a iloraz q=3.

Przykład 5

Stosunek sumy ośmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego do sumy jego czterech początkowych wyrazów jest równy 82. Oblicz iloraz tego ciągu.
Trzeba zauważyć najpierw, że q0. Gdyby q=0 to S8=8a1, S4=4a1, więc S8S4=8a14a1=282. Wobec tego ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyznaczamy sumę ośmiu i sumę czterech jego początkowych wyrazów

S8=a11-q81-q,S4=a11-q41-q

Ich stosunek jest równy 82, zatem

82=a11-q81-qa11-q41-q=1-q81-q4=1-q41+q41-q4=1+q4

Stąd q4=81, czyli q=3 lub q=-3.

ilt8Dxv1rf_d5e266
A
Ćwiczenie 1

Oblicz sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (an) określonego wzorem an=51232n.

A
Ćwiczenie 2

Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (an), w którym a3=-4 oraz a6=32.

A
Ćwiczenie 3

Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów o numerach parzystych ciągu geometrycznego (an), w którym a1=3 oraz q=12.

A
Ćwiczenie 4

Łamana o długości 1270 mm składa się z odcinków, z których pierwszy odcinek ma długość 640 mm, a każdy następny jest dwa razy krótszy od poprzedniego. Oblicz, z ilu odcinków składa się ta łamana.

A
Ćwiczenie 5

Oblicz sumę 7 wyrazów ciągu geometrycznego (an), w którym a1=818 oraz q=23.

A
Ćwiczenie 6

Oblicz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego (an) o ilorazie q=2, jeżeli suma S8=30+302.

A
Ćwiczenie 7

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego (an)  jest równy -8, iloraz tego ciągu jest równy 12 oraz suma pierwszych n wyrazów jest równa-1534 .Wyznacz n-ty wyraz tego ciągu geometrycznego.

A
Ćwiczenie 8

Ile wyrazów ciągu geometrycznego an, który jest dany wzorem ogólnym an=-2n+1, trzeba zsumować, żeby otrzymać -340?

A
Ćwiczenie 9

W pewnym sześciowyrazowym ciągu geometrycznym suma wyrazów stojących na pozycjach nieparzystych jest równa 63, a suma wyrazów stojąca na pozycjach parzystych jest równa 126 . Wyznacz szósty wyraz tego ciągu.

A
Ćwiczenie 10

Oblicz sumę wyrazów od szóstego do dziesiątego ciągu geometrycznego (an), w którym a1=5 oraz q=2.

ilt8Dxv1rf_d5e575
A
Ćwiczenie 11

Wyznacz piąty wyraz ciągu geometrycznego, w którym S2=21 oraz S3=129.

A
Ćwiczenie 12

Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (an) o numerach nieparzystych, w którym a1=7 oraz q=-12.

A
Ćwiczenie 13

W pewnym ciągu suma n początkowych wyrazów wyraża się wzorem Sn=4n+1-4. Wykaż, że jest to ciąg geometryczny.

A
Ćwiczenie 14

Stosunek sumy dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego do sumy pierwszych pięciu wyrazów ciągu geometrycznego jest równy 33. Oblicz iloraz tego ciągu.

A
Ćwiczenie 15

Wykaż, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi równość
5-3+52-32+53-33++5n-3n=5n+1-23n+1+14.

A
Ćwiczenie 16

Uzasadnij, że suma wszystkich potęg liczby 3 o wykładnikach naturalnych mniejszych od 10 jest równa 310-12.

A
Ćwiczenie 17

Wiedząc, że w pewnym ciągu geometrycznym pierwszy wyraz jest równy a1, ostatni wyraz jest równy an oraz suma wszystkich n wyrazów jest równa Sn, wyznacz sumę odwrotności wyrazów tego ciągu.

B
Ćwiczenie 18

Wykaż, że różnica liczb 11...12n-22...2n, gdzie w zapisie odjemnej występuje 2n jedynek, a w zapisie odjemnika n dwójek, jest kwadratem liczby naturalnej.

B
Ćwiczenie 19

Oblicz sumę 2+22+222++222n, gdzie w zapisie ostatniego składnika występuje n dwójek.