Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał
Symetralna odcinka
Definicja: Symetralna odcinka

Symetralną odcinka AB nazywamy prostą prostopadłą do tego odcinka i przechodzącą przez jego środek.

Rg8qHjqcbXWzm1
o punkcie leżącym na symetralnej odcinka
Twierdzenie: o punkcie leżącym na symetralnej odcinka

Jeżeli punkt leży na symetralnej odcinka, to jest równoodległy od końców tego odcinka.

Jeżeli punkt płaszczyzny jest równoodległy od końców odcinka, to leży na symetralnej tego odcinka.

RMwWVk0GHzXdw1
Animacja prezentuje dowód na to, że jeżeli punkt jest położony na symetralnej odcinka to jest równoodległy od jego końców. Na odcinku AB prowadzimy jego symetralną, która przecina odcinek w punkcie D. Wybieramy dowolny punkt C leżący na symetralnej odcinka. Łącząc punkt C z końcami odcinka AB tworzymy odcinki CA i CB. Długości tych odcinków są odległościami punktu D od końców odcinka AB. Zauważamy, że trójkąty A D C i B D C są prostokątne i mają wspólny bok DC. Boki AD i BD są równej długości, bo są połowami odcinka AB. Przy wierzchołku D w obu trójkątach jest kąt prosty. Zatem, na mocy cechy bok-kąt- bok trójkąty są przystające, z czego wynika że boki AC i BC, czyli odległości punktu położonego na symetralnej do końców odcinka są równe.

Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne.

o symetralnych boków trójkąta
Twierdzenie: o symetralnych boków trójkąta

Symetralne trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
Punkt ten jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

R1DdQegoGHm371
Dowód
RVs0z01Zb6Rjl1
Animacja prezentuje dowód na wyznaczenie środka okręgu opisanego na trójkącie A B C. Jest to punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta. W trójkącie A B C prowadzimy symetralne boków AB i BC. Zaznaczamy punkt przecięcia S poprowadzonych symetralnych. Długości odcinków AS, BS i CS mają tę samą długość. Ponieważ długości odcinka CS jest równa długości odcinka AS, to symetralna przechodzi przez punkt S. Symetralne boków trójkąta przecinają się w tym samym punkcie. Jeżeli poprowadzimy okrąg o środku w punkcie S i promieniu równym AS, to będzie on przechodził przez wszystkie wierzchołki trójkąta A B C. Jest to okrąg opisany na trójkącie A B C.
Uwaga!

Przypadki szczególne

  1. Trójkąt równoboczny

W trójkącie równobocznym wysokości, dwusieczne kątów, symetralne boków i środkowe pokrywają się. Stąd:

  • środek okręgu wpisanego w trójkąt i środek okręgu opisanego na trójkącie pokrywają się,

  • środek okręgu wpisanego w trójkąt i środek okręgu opisanego na trójkącie leżą w punkcie przecięcia się wysokości,

  • środki okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie leżą w punkcie przecięcia środkowych. Punkt przecięcia środkowych dzieli każdą z nich w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka.

    RrntjSbRStPjH1

    R=23h,r=13h,h=a32,P=a234
  1. Trójkąt prostokątny

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży na przeciwprostokątnej i dzieli ją na dwa odcinki równej długości. Wynika stąd, że długość promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równa połowie długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.

ROnmanG9BfnUK1
Już wiesz

Wzory na pola wielokątów

R8HJBVkSgslZ11
Animacja pokazuje przekształcenie trójkąta A B C o podstawie a i wysokości h, w prostokąt A B D E o bokach a i h. Zauważamy, że pole trójkąta to połowa pola prostokąta o bokach a i h.
RuJlmFl8i3zfa1
Animacja pokazuje przekształcenie trapezu A B C D o podstawach długości a i b oraz wysokości h w równoległobok A D prim A prim D o bokach długości a +b i wysokości h. Pole trapezu to połowa pola równoległoboku o boku długości a +b i wysokości h.
RlsGBKdGAcjkU1
Animacja pokazuje przekształcenie równoległoboku A B C D o podstawie długości a i wysokości h w prostokąt A B E F o bokach a i h. Zauważamy, że pole równoległoboku jest równe polu tego prostokąta.
Przykład 1
RuyQzfQfryugL1
Animacja pokazuje, jak poruszając jednym z wierzchołków czworokąta A B C D (ma narysowane dwusieczne kątów) stworzyć czworokąt, w który da się wpisać okrąg. Zauważamy, że nie zawsze w okrąg można wpisać w czworokąt, czego przykładem jest prostokąt o bokach różnej długości. Aby w czworokąt można było wpisać w okrąg, to dwusieczne jego kątów muszą przecinać się w jednym punkcie. Punkt ten będzie środkiem okręgu wpisanego w czworokąt i stycznym do jego boków.
Przykład 2
R18G2FYaoFI3u1
Animacja pokazuje, jak poruszając jednym z wierzchołków czworokąta A B C D (ma narysowane symetralne boków) stworzyć taki czworokąt, na którym da się opisać okrąg. Jeżeli wierzchołki czworokącie należą do okręgu, to o takim czworokącie mówimy, że został wpisany w okrąg lub że okrąg został opisany na tym czworokącie. Aby czworokąt wpisać w okrąg to symetralne jego boków muszą przecinać się w jednym punkcie. Punkt ten będzie środkiem okręgu opisanego na tym czworokącie.