Symulacja interaktywna

Polecenie 1

Spróbujemy narysować teraz wykres funkcji $y = ctg x$ (czytamy: kotangens), którą możemy opisać jako: $ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$ . Zatem $ctg x = \frac{1}{tg x}$ , dla $x \neq \frac{k π}{2}$ , gdzie $k \in ℤ$ . Z tej własności będziemy korzystać w toku dalszej pracy.

Wykres funkcji cotangens w przedziale $(0, \frac{π}{2})$ .

Symulacja interaktywna przedstawia sposób powstawania wykresu funkcji $y = ctg x$ w przedziale $(0, \frac{π}{2})$ .

Zaznaczmy w układzie współrzędnych okrąg o promieniu $1$ . Niech będzie to okrąg o równaniu ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 1$ . Jego środkiem jest punkt $C = (- 3, 0)$ .
Przez leżący na danym okręgu punkt $A$ oraz punkt $C$ prowadzimy prostą, która przecina prostą o równaniu $y = 1$ w punkcie $D$ . Niech $a$ oznacza miarę kąta ostrego $E C D$ mierzoną w radianach.

Punkt $B$ ma współrzędne $(a, ctg a)$ . Prosta przechodząca przez punkt $B$ i prostopadła do osi $X$ przecina ją w punkcie $F = (a, 0)$ .

Ponieważ odcinek $D E$ ma długość $1$ , zatem odcinek $C E$ ma długość $ctg a$ , za pomocą podanej konstrukcji otrzymujemy wykres funkcji $y = ctg a$ przedziale $(0, \frac{π}{2})$ .

RD5TqIiLYPC8K

Na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią X w przedziale

(- 2 π; π)

oraz z pionową osią Y w przedziale

(- 1; 4)

. Na płaszczyźnie zilustrowane jest powyższe wyjaśnienie, przy czym wartość kąta a zmienia się od jednej dziesiątej do jeden i pięćdziesiąt pięć setnych. Im większa wartość a, tym punkt B wytyczający wykres funkcji cosinus, bardziej zbliża się do osi X. Im wartość kąta a jest mniejsza, tym bardziej punkt B zbliża się do zera względem osi X i do plus nieskończoności względem osi Y.

Polecenie 2

Narysuj wykres funkcji cotangens w przedziale $(\frac{π}{2}, π)$ .

Opisz, jak będzie wyglądał wykres funkcji cotangens w przedziale $(\frac{π}{2}, π)$ .

W powyższej konstrukcji zastosowaliśmy miarę kąta z przedziału $(0, \frac{π}{2})$ . Zatem w tym przedziale otrzymaliśmy wykres funkcji $y = ctg a$ .

Teraz skonstruujemy wykres $y = ctg a$ dla $a \in (\frac{π}{2}, π)$ .

Wykorzystamy wzór redukcyjny dla funkcji tangens: $tg (π - a) = - tg a$ dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ . Stąd wynika, że $ctg (π - a) = - ctg a$ . Zależność ta opisuje własność: środkiem symetrii wykresu funkcji $y = ctg a$ jest punkt $(\frac{π}{2}, 0)$ .

Efekty tej symetrii obserwujemy na rysunku.

R1OWFGlbxDM6v

Na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią X w przedziale 0;π oraz z pionową osią Y w przedziale -1,6;2, przy czym współrzędne zaznaczone są co dwie dziesiąte. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji cotangens oraz asymptota pionowa zaznaczona linią przerywaną o równaniu x=π. Wykres ten ma wartości dodatnie na przedziale 0;π2 i ujemne dla argumentów w przedziale π2;π.

Pozostaje jeszcze zauważyć, że dla argumenu $\frac{k π}{2}$ funkcja cotangens przyjmuje wartość $0$ .

Polecenie 3

Narysuj wykres funkcji cotangens w dziedzinie.

Opisz, jak będzie wyglądał wykres funkcji cotangens w dziedzinie.

Zauważmy, że funkcja $y = ctg x$ dla argumentu $\frac{π}{2}$ przyjmuje wartość 0.

Gdy mamy wykres funkcji $y = ctg a$ w przedziale $(0, π)$ , będziemy teraz konstruować wykres funkcji $y = ctg a$ dla $a \neq k π$ , gdzie $k \in ℤ$ . W tym celu skorzystamy z kolejnej własności funkcji tangens: $tg (a + π) = tg a$ , czyli $\frac{1}{tg (a + π)} = \frac{1}{tg a}$ . Własność ta oznacza, że wykres funkcji cotangens powtarza się co $π$ . Zatem funkcja cotangens jest funkcją okresową o okresie zasadniczym $T = π$ . Poniżej został przedstawiony wykres funkcji $y = ctg x$ .

R1J4QJuw66Yen

Na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z poziomą osią X w przedziale -3π;4π oraz z pionową osią w przedziale -5;5. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji cotangens oraz asymptoty pionowe zaznaczone linią przerywaną.

Polecenie 4

Na podstawie wykresu opisz własności funkcji $y = ctg x$ , gdy $x \neq k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Funkcja cotangens jest funkcją okresową o okresie zasadniczym $T = π$ .
Funkcja cotangens jest funkcją nieparzystą.
Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych.
Funkcja cotangens nie ma wartości największej. Funkcja cotangens nie ma wartości najmniejszej.
Miejscami zerowymi są argumenty: $x = \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Funkcja jest malejącą w każdym z przedziałów: $(k π, π + k π)$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Funkcja cotangens nie jest malejąca w swojej dziedzinie.

Polecenie 5

Wskaż środki symetrii i osie symetrii wykresu funkcji $y = ctg x$ .

Środkiem symetrii wykresu jest każdy punkt o współrzędnych $(\frac{k π}{2}, 0)$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Wykres funkcji cotangens nie posiada osi symetrii.

Przeczytaj

Sprawdź się