Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Udostępnij materiał Zapisz jako PDF
itj9D45u2q_d5e82

Trójkąt prostokątny równoramienny

RpM3N2SSD4Tzh1
Animacja
R125FwzHgRPb11
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Aby podać długości boków w trójkącie prostokątnym równoramiennym, wystarczy znać długość tylko jednego z boków.

R1IM0VtVMw6B61
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 1

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równa 6. Oblicz obwód L tego trójkąta. Wymierne przybliżenie obwodu podaj z dokładnością do jednego miejsca po przecinku.

ROx1OVVXbddTK1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W trójkącie równoramiennym przyprostokątne są równe. Oznaczmy przez a długość przyprostokątnej i zapiszmy równość wynikającą z twierdzenia Pitagorasa.

a2+a2=62
2a2=36/:2
a2=18
a=18

Długość przyprostokątnej wyraża się liczbą niewymierną. Możemy w dalszych rozważaniach uwzględniać wartość dokładną: 18 lub 32 (wyłączając czynnik przed znak pierwiastka) lub przybliżoną

18=4,2426.4,24
32=31,412...31,41=4,23

Obliczamy obwód trójkąta.

Tabela. Dane

sposób I

sposób II

L=18+18+6
L=32+32+6
L=218+6
L=32+32+6
L24,24+6
L14=46
L14,48
L14,49

Obwód prostokąta jest równy w przybliżeniu 14,5.

itj9D45u2q_d5e168
Przykład 2

Obliczymy promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym równoramiennym ABC, którego pole jest równe 4,5 cm2.

R13et4BjvMht61
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczymy długość przyprostokątnej, korzystając ze wzoru na pole trójkąta.
P=12ABBC, gdzie AB=BC

12AB2=4,5
AB2=9
AB=3,

bo

AB>0

Promień okręgu opisanego na trójkącie jest równy połowie długości przeciwprostokątnej.

r=AC2
AC=AC2+BC2=9+9=32
r=322
r=1,52 cm

Promień okręgu opisanego na trójkącie ABC jest równy 1,52 cm.

Przykład 3

Sześciokąt ABCDEF zbudowany jest z dwóch przystających równoramiennych trójkątów prostokątnych. Przeciwprostokątna w każdym z tych trójkątów ma długość 12. Stosunek długości odcinków EB do FE jest równy 2:1. Obliczymy obwód wielokąta ABCDEF.
Stosunek długości odcinków EB do FE jest równy 2:1, zatem

  • długość odcinka EB stanowi 23 długości odcinka FB,

  • długość odcinka FE stanowi 13 długości odcinka FB.

EB=23FB,EB=2312=8
EF=13FB,EF=1312=4
R49xdZ3B4uSLJ1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy przez a - długość przyprostokątnej trójkąta ABC. Obliczamy a, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

a2+a2=122
2a2=144
a2=72
a=72
a=362=62

Obliczamy obwód sześciokąta ABCDEF.

L=AF+FE+ED+DC+BC+BA
L=a+EF+a+a+EC-EB+a
L=4a+4+12-8
L=462+4+4
L=462+2

Obwód sześciokąta jest równy 462+2.

itj9D45u2q_d5e278

Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°

Przykład 4

Bok trójkąta równobocznego ABC ma długość 2a. Obliczmy miary kątów i  długości boków trójkąta CDB, gdzie punkt D jest spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka C.

RLC7iRc2mk4g41
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W trójkącie równobocznym każdy kąt ma miarę równą 60°. Kąt ABC jest kątem w trójkącie równobocznym, zatem jego miara jest równa 60°.

DBC=60°

Wysokość CD jest prostopadła do podstawy AB, zatem kąt CDB jest kątem prostym.

CDB=90°

Wysokość w trójkącie równobocznym jest zarazem dwusieczną kąta, zatem kąt DCB ma miarę 60°:2=30°.

DCB=30°

Miary kątów w trójkącie CDB są równe 30°, 60°, 90°.
Trójkąt DBC jest trójkątem prostokątnym, w którym przeciwprostokątna ma długość 2a.
Wysokość CD dzieli podstawę AB na dwa przystające odcinki.

x=DB=12AB=122a=a

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość boku CD, czyli wysokość h trójkąta CDB.

h2+a2=2a2
h2=4a2-a2
h2=3a2
h=a3

bo a>0h>0
Boki trójkąta CDB mają długości: 2a,a,a3.
Wysokość dzieli trójkąt równoboczny na dwa przystające trójkąty prostokątne. Miary kątów w każdym z tych trójkątów są równe: 30°, 60°, 90°.
Jeśli oznaczymy przez 2a długość przeciwprostokątnej w tak otrzymanym trójkącie prostokątnym, to długości pozostałych boków są równe aa3 . Przy czym naprzeciw kąta o mierze 30° leży przyprostokątna, której długość jest dwukrotnie mniejsza od długości przeciwprostokątnej.

Ważne!

Trójkąt prostokątny o kątach 30°,60°,90°

RAVtEJQ2FTp261
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  • 2a – długość przeciwprostokątnej

  • a – długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta 30°

  • a3 - długość przyprostokątnej leżącej przy kącie 30°

Przykład 5

Torba wykonana jest z dwóch jednakowych kawałków skóry. Każdy z nich ma kształt trapezu równoramiennego, w którym ramię i krótsza podstawa mają długość 30 cm, a kąt rozwarty ma miarę 120°.
Ile cm2 skóry zużyto na wykonanie tej torebki?
Obliczymy pole powierzchni jednego z  kawałków skóry, z którego wykonana jest torebka, czyli pole odpowiedniego trapezu.

RQ12Z7Tpqs6gP1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wysokość poprowadzona z  wierzchołka krótszej podstawy podzieliła trapez na czworokąt i trójkąt prostokątny o kątach 30°, 60°, 90°. Przeciwprostokątna w tym trójkącie ma długość 30 cm, zatem x=15 cm (przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta o mierze 30°) i  h=153 cm (przyprostokątna leżąca przy kącie o mierze 30°).
Zatem wysokość trapezu jest równa 153cm, a dłuższa podstawa ma długość

15 cm +30 cm +15 cm = 60 cm.

Obliczamy pole trapezu.

P=60+302153
P=6753
P1170 cm2

Obliczamy, ile cm2 skóry zużyto, aby wykonać torebkę.

21170=2340

Na wykonanie torebki zużyto około 2340 cm2 skóry.

A
Ćwiczenie 1
RGJc7VR6qVgxL1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 2

W trójkącie prostokątnym równoramiennym

R180gWbjktGB7
static
B
Ćwiczenie 3

Kąty trójkąta są równe 45°, 45°, 90°. Najdłuższy bok ma długość m. Oblicz sumę długości krótszych boków.

B
Ćwiczenie 4

Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny. Oblicz obwód L tego trójkąta, wiedząc, że

  1. jego przyprostokątna ma długość 2

  2. przeciwprostokątna ma długość 72

  3. pole jest równe 8

itj9D45u2q_d5e539
B
Ćwiczenie 5

Czy istnieje trójkąt prostokątny równoramienny, którego długości boków wyrażają się liczbami naturalnymi?

classicmobile
Ćwiczenie 6

Czy w  trójkącie ABC bok BC jest najdłuższy? Wybierz poprawną odpowiedź.

R19HtKN5MEb561
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RMVtwCXmnTCiN
static
A
Ćwiczenie 7

Oblicz obwód trapezu.

RImueFdesP6VS1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 8

Miara kąta rozwartego równoległoboku jest równa 135°. Dłuższy bok jest równy 16 dm. Oblicz obwód równoległoboku, wiedząc, że jego wysokość jest równa 2 dm.

A
Ćwiczenie 9
R12et51GfLj9w1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 10

Prawda czy fałsz?

RXcGWU8wGA2a81
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RbAapeqbhNENX
static
itj9D45u2q_d5e734
B
Ćwiczenie 11

W trójkącie prostokątnym stosunek miary kątów ostrych jest równy 2:1. Krótsza przyprostokątna ma długość 10. Oblicz obwód trójkąta.

classicmobile
Ćwiczenie 12

Na podstawie rysunku można stwierdzić, że

R1SEHsw0vxhWb1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R14vqVPc6gbKy
static
B
Ćwiczenie 13

Metalowy element ozdobny ma kształt trapezu przedstawionego na rysunku. Ile m2 blachy potrzeba na jego wykonanie?

R1MBFPgwzXgoB1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 14

Punkty: E, F, G są środkami boków trójkąta równobocznego ABC. Punkt D jest punktem przecięcia środkowych boków tego trójkąta i  DE=2.

RoK2UiEMxpFNf1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz obwód

  1. trójkąta EDB

  2. trójkąta EAB

  3. trójkąta ABC

  4. czworokąta FDEC

B
Ćwiczenie 15

Szerokość prostokąta jest równa 4 dm. Znajdź sumę długości przekątnych tego prostokąta, wiedząc, że przecinają się one pod kątem 120°.

classicmobile
Ćwiczenie 16

Dany jest okrąg o  środku w punkcie S i promieniu 3 m , gdzie m jest liczbą naturalną dodatnią. Z punktu P leżącego poza okręgiem poprowadzono styczne do okręgu, przecinające się pod kątem 120°.
Długość odcinka SP jest równa

RFLJOW9vf1uxI
static
A
Ćwiczenie 17

Przekątna prostokąta długości 8 cm jest nachylona do dłuższego boku pod kątem 30°. Oblicz pole i obwód prostokąta.

C
Ćwiczenie 18

Na trójkącie opisano okrąg o promieniu 7 dm. Oblicz trzy wysokości trójkąta, wiedząc, że miary kątów tego trójkąta są w stosunku 3:2:1.

A
Ćwiczenie 19

Oblicz długość odcinka x w rombie.

Ri8Kf7sXPwTzA1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.