Wróć do informacji o e-podręczniku Udostępnij materiał Wydrukuj

W Europie znajdują się trzy znane trójkątne rynki: w Bonn, Paryżu i  Łowiczu.
Legenda głosi, że na Nowym Rynku w Łowiczu stał kiedyś ratusz, ale zawalił się za sprawą kobiety, którą spalono oskarżoną o czary. Przez długie lata rynek pełnił funkcję targowiska. W czasie wojny jego część włączono do getta. Obecnie na rynku, wokół znajdującej się tam fontanny, organizowane są imprezy kulturalne.

Trójkąt

Trójkąt to wielokąt, który ma trzy boki.

R1A6DRwwhOOej1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  • A, B, C - wierzchołki trójkąta

  • AC,CB, AB – boki trójkąta

  • L= AC+CB+AB – obwód trójkąta

Kąt zewnętrzny trójkąta
Definicja: Kąt zewnętrzny trójkąta

Kątem zewnętrznym trójkąta nazywamy każdy kąt przyległy do kąta wewnętrznego tego trójkąta.

RJmUXAnsYe7G11
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

β, γ – kąty zewnętrzne, przyległe do kąta α

Nierówność trójkąta

Przykład 1

Jak myślisz, czy z każdych trzech odcinków można zbudować trójkąt? Jaka musi być zależność miedzy długościami takich odcinków?
Sprawdź swoje przypuszczenia, wykorzystując poniższą konstrukcję. Zmieniaj długość jednego z odcinków i obserwuj, w jakiej sytuacji można z danych odcinków zbudować trójkąt.

RmZsUcjn0Nm021
Animacja ilustruje nierówność trójkąta. Dane są odcinki a, b i c, które są bokami trójkąta A B C. Należy zmieniając długość jednego odcinka obserwować, czy zawsze da się skonstruować trójkąt.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Trójkąta nie dało się zbudować, gdy jeden z odcinków był dłuższy od sumy dwóch pozostałych odcinków.

Nierówność trójkąta
Twierdzenie: Nierówność trójkąta

W dowolnym trójkącie długość każdego boku jest mniejsza od sumy długości pozostałych boków.
Z odcinków o długościach a, b, c można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy

a<b+c
b<a+c
c<a+b

Rodzaje trójkątów

Trójkąty klasyfikujemy ze względu na miary ich kątów na trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne.

R1OYqLgXrVuvE1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  • Każdy kąt trójkąta ostrokątnego ma miarę mniejszą od 90°.

  • W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ma miarę równą 90°.

  • W  trójkącie rozwartokątnym miara jednego z kątów jest większa od 90°.

A
Ćwiczenie 1

Narysuj kilka trójkątów.

  1. Wskaż w każdym z nich kąt o największej mierze i najdłuższy bok. Określ ich wzajemne położenie.

  2. Wskaż w każdym trójkącie najkrótszy bok i kąt o najmniejszej mierze. Określ ich wzajemne położenie.

Co zauważasz?

Ważne!

W trójkącie różnobocznym naprzeciw najdłuższego boku leży kąt o największej mierze.

A
Ćwiczenie 2
RCbd5R7CwSbhr1
Zadanie interaktywne.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trójkąty można klasyfikować ze względu na długości ich boków.

  • Trójkąt, który ma wszystkie boki tej samej długości nazywamy trójkątem równobocznym.

  • Jeśli w trójkącie dwa boki są tej samej długości, to trójkąt taki nazywamy trójkątem równoramiennym.

  • Trójkąt, w którym wszystkie boki są różnej długości, nazywamy trójkątem różnobocznym.

    R1ECuSJWHEfLd1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

A
Ćwiczenie 3
RELBwPAmwI6mG1
Zadanie interaktywne.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 4
R1t8pbBlMZFaC1
Zadanie interaktywne.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 5
RIoIg9edv1qEu1
Zadanie interaktywne.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Suma kątów w trójkącie

Przykład 2

Czy pamiętasz ile stopni jest równa suma miar kątów trójkąta?

RonBQtrKgowf21
Animacja prezentuje w siedmiu krokach dowód na to, że suma miar kątów w trójkącie jest równa 180 stopni. Dany jest trójkąt A B C. Oznaczamy kąty wewnętrzne trójkąta odpowiednio alfa, beta, gamma. Rysujemy prostą równoległą do podstawy AB przechodzącą przez wierzchołek C. W wierzchołku C zaznaczamy dwa kąty zewnętrzne do kąta gamma. Są one równe miarom kątów alfa i beta trójkąta, jako kąty naprzemianległe. Suma kątów alfa, beta i gamma jest równa sumie kątów zewnętrznych i gamma, które tworzą kąt półpełny o wierzchołku C. Ich suma jest równa 180 stopni. Otrzymujemy wzór alfa + beta + gamma = 180 stopni.
R4Q4jkm6ty6Qz1
Animacja prezentuje trójkąt A B C, którego kąty A =80 stopni i B =51 stopni.. Kąty A, B, C tworzą kąt półpełny, więc kąt C ma miarę 49 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Suma miar kątów trójkąta
Twierdzenie: Suma miar kątów trójkąta

Suma miar kątów trójkąta jest równa 180°.

RBFsGGoPObeUY1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

Wniosek

  • Jeżeli w trójkącie jeden z kątów jest rozwarty, to każdy z pozostałych kątów jest kątem ostrym.

  • Jeżeli w trójkącie jeden z kątów jest prosty, to każdy z pozostałych kątów jest ostry. Suma miar tych kątów ostrych jest równa 90°.

α<90°,β<90°
α+β=90°
Przykład 3

Znajdź miarę kąta α.

R16gVfbNiC2d41
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Układamy i rozwiązujemy odpowiednie równanie.
Suma kątów trójkąta jest równa 180°.

α+80°+30°=180°
α+110°=180°
α=180°-110°
α=70°

Odpowiedź. Miara kąta α jest równa 70°.

Przykład 4

W trójkącie równoramiennym jeden z kątów ma miarę 40°. Oblicz miary pozostałych kątów.
W trójkącie równoramiennym miary dwóch kątów są równe. Ponieważ nie wiemy, czy szukane kąty są równe, czy różne – rozpatrzymy dwa przypadki.
Skorzystamy z tego, że suma kątów w trójkącie jest równa 180°.

  • Przypadek I

Kąt o mierze 40° jest kątem między ramionami trójkąta.

R1WiuC6bliTgm1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
α+α+40°=180°
2α=180°-40°
2α=140°/:2
α=70°

Odpowiedź. Miary pozostałych kątów trójkąta są równe 70°70°.

  • Przypadek II

Kąt o mierze 40° jest kątem przy podstawie trójkąta.

RsBLfkX5fdClA1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
β+40°+40°=180°
β+80°=180°
β=180°-80°
β=100°

Odpowiedź. Miara kąta β jest równa 100°.

i5vfddYyU2_d5e448

Wysokości trójkąta

Wysokość trójkąta
Definicja: Wysokość trójkąta

Wysokością trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta z prostą, zawierającą przeciwległy bok i prostopadły do tej prostej. Trójkąt ma trzy wysokości.

R3MBAta805rMa1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 5

Jakie jest wzajemne położenie prostych, zawierających wysokości trójkąta?

R1UsyzFaEt65V1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że proste, w których zawierają się wysokości rozpatrywanego trójkąta przecięły się w jednym punkcie.
Czy proste zawierające wysokości trójkąta przecinają się zawsze w  jednym punkcie? Okazuje się, że tak, niezależnie od rodzaju trójkąta.

i5vfddYyU2_d5e523
Ortocentrum trójkąta
Definicja: Ortocentrum trójkąta

Punkt, w którym przecinają się proste zawierające wysokości trójkąta nazywamy ortocentrum trójkąta i oznaczamy go najczęściej dużą literą H.

Przykład 6

Zmieniając położenie wierzchołków trójkąta, zbuduj trójkąt prostokątny, ostrokątny lub rozwartokątny. Sprawdź w każdym przypadku, gdzie znajduje się ortocentrum trójkąta.
Jakie jest położenie ortocentrum trójkąta ostrokątnego? A prostokątnego? A rozwartokątnego?

R18fsMg84FQlc1
Animacja pokazuje w dziesięciu krokach konstruowanie ortocentrum trójkąta. Dany jest trójkąt A B C, w którym poprowadzono proste zawierające wysokości trójkąta, czyli proste poprowadzone z wierzchołka trójkąta prostopadłe do prostej zawierającej jego przeciwległy bok. Dla ułatwienia proste nazwijmy wysokościami trójkąta. Zmieniając położenie wierzchołków trójkąta należy obserwować wysokości, czy zawsze przecinają się w jednym punkcie. Zauważamy, że zawsze, niezależnie od kształtu trójkąta, trzy proste zawierające jego wysokości, przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten nazywamy ortocentrum trójkąta. Gdy trójkąt jest ostrokątny to jego ortocentrum znajduje się w jego wnętrzu, gdy prostokątny to leży na środku przeciwprostokątnej, a gdy rozwartokątny, wówczas znajduje się poza trójkątem.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

W trójkącie ostrokątnym ortocentrum leży we wnętrzu trójkąta.
W trójkącie prostokątnym ortocentrum leży w wierzchołku kąta prostego.
W trójkącie rozwartokątnym ortocentrum leży na zewnątrz trójkąta.

Przykład 7

Opiszmy na trójkącie okrąg i utwórzmy ortocentrum H trójkąta.
Przekształcamy ortocentrum trzykrotnie w symetrii osiowej względem każdego z boków tego trójkąta.
Otrzymujemy punkty: H1, H2, H3. Gdzie leżą te punkty?

R1VI9iHXVsJYp1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Otrzymane punkty H1, H2, H3 leżą na okręgu opisanym na trójkącie.

Przykład 8

Wyznaczamy środki boków trójkąta. Znajdujemy obrazy ortocentrum H tego trójkąta w symetrii środkowej względem wyznaczonych punktów.
Otrzymujemy punkty: H'1, H'2, H'3. Gdzie leżą te punkty?

ReYQqYSdK795c1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyznaczone punkty H'1, H'2, H'3 leżą na okręgu opisanym na trójkącie.

Przykład 9

Na rysunku zaznaczony jest trójkąt, jego ortocentrum, okrąg opisany na trójkącie i sześć punktów uzyskanych w poprzednich konstrukcjach.
Dorysowujemy punkty przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta z symetralnymi boków.
Gdzie leżą te punkty?

RvHwW9aQ92HWJ1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Okazuje się, że punkty przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta z symetralnymi jego boków leżą na okręgu opisanym na tym trójkącie, w środkach łuków o końcach odpowiednio H'1H1, H'2H2,  oraz H'3H3.

Własność ta została odkryta w Polsce kilka lat temu. Ponieważ wszystkie punkty, które rozważaliśmy, leżą na okręgu opisanym na trójkącie, okrąg ten został nazwany polskim okręgiem dwunastu punktów trójkąta.

i5vfddYyU2_d5e643

Dwusieczne kątów trójkąta

Dwusieczna kąta
Definicja: Dwusieczna kąta

Dwusieczną kąta trójkąta nazywamy półprostą o początku w wierzchołku tego kąta, która dzieli ten kąt na dwa kąty o jednakowych miarach.

R1WVGn1nHTSy81
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wiemy już, że dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Przykład 10

Narysujmy trójkąt. Skonstruujmy symetralne jego boków, dwusieczne jego kątów i okrąg opisany na tym trójkącie.
Zwróć uwagę na położenie punktu przecięcia prostej zawierającej dwusieczną kąta z symetralną boku leżącego naprzeciw tego kąta.

RolJCvRprxwGk1
Animacja ilustruje odpowiedź na pytanie: gdzie leżą punkty w których przecinają się symetralne boków trójkąta z odpowiadającymi im prostymi zawierającymi dwusieczne kątów. Dany jest trójkąt A B C i okrąg opisany na tym trójkącie. Kreślimy dwusieczne kątów i symetralne boków trójkąta A B C, które przecinają się w punktach P, Q i R.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Punkty przecięcia prostych, na których leżą dwusieczne kątów trójkąta z symetralnymi boków trójkąta leżą na okręgu opisanym na trójkącie.

i5vfddYyU2_d5e712

Środek ciężkości trójkąta

Kolejnym punktem związanym z trójkątem, bardzo ważnym nie tylko dla matematyków, ale przede wszystkim dla fizyków, jest środek ciężkości trójkąta.
Można powiedzieć w uproszczeniu, że najczęściej środek ciała pokrywa się ze środkiem jego masy. Informacja o tym, gdzie znajduje się ten punkt jest bardzo ważna w budownictwie czy architekturze. Ale również w skokach spadochronowych, balecie, czynnościach czy zawodach wymagających ustalenia takiego punktu podparcia, aby zachować równowagę.

W trójkącie środek ciężkości zawsze leży w jego wnętrzu. Odnajdujemy go, konstruując najpierw środki boków trójkąta, a następnie łącząc odcinkiem każdy wierzchołek trójkąta z środkiem przeciwległego boku. Te trzy odcinki, które przecinają się w jednym punkcie nazywamy środkowymi boków trójkąta. Ten punkt wyznacza właśnie środek ciężkości trójkąta.

Środkowa boku trójkąta
Definicja: Środkowa boku trójkąta

Środkową boku trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Trójkąt ma trzy środkowe.

R1HW8awZWulbV1
Animacja pokazuje w sześciu krokach wyznaczanie środka ciężkości trójkąta. Środek ciężkości danej figury to taki punkt, który skupia całą masę tej figury. Znaczy to, że podkładając w tym miejscu palec, możemy utrzymać całą figurę w położeniu równowagi. Dany jest trójkąt A B C. W celu odnalezienia jego środka ciężkości tworzymy środki jego boków. Jeżeli połączymy środki każdego boku trójkąta z przeciwnym mu wierzchołkiem trójkąta, to okazuje się, że te trzy odcinki przecinają się w jednym punkcie. Odcinki te nazywamy środkowymi trójkąta. Punkt przecięcia środkowych trójkąta wyznacza jego środek ciężkości. Zmieniając położenie wierzchołków zauważamy, że środek ciężkości trójkąta zawsze znajduje się wewnątrz trójkąta. Zauważamy też ważną własność trójkąta. Środek ciężkości trójkąta dzieli każdą środkową tego trójkąta w stosunku dwa do jednego, przy czym końcem dłuższego odcinka jest wierzchołek trójkąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Środkowe boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, zwanym środkiem ciężkości trójkąta.

Środek ciężkości trójkąta
Twierdzenie: Środek ciężkości trójkąta

Środek ciężkości trójkąta dzieli każdą z środkowych tego trójkąta w stosunku 2 :1, licząc od wierzchołka.

R19g5WgmTs4DA1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 11

Środkowe trójkąta równobocznego przecinają się w punkcie odległym od boku o 3 cm. Obliczymy wysokość tego trójkąta.

RTSU55SVN3NYs1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W trójkącie równobocznym środkowe boków są zarazem jego wysokościami. Zatem odległość punktu przecięcia środkowych od wierzchołka jest dwa razy większa od odległości tego punktu od boku. Czyli

x=23 cm = 6 cm. 

Wysokość h jest więc równa

= 6 cm + 3 cm = 9 cm

Odpowiedź. Wysokość trójkąta jest równa 9 cm.

Przykład 12

Narysujemy kilka trójkątów, niebędących trójkątami równobocznymi. Zaznaczmy w każdym z nich ortocentrum, środek okręgu opisanego i środek ciężkości.
Zaobserwuj wzajemne położenie tych trzech punktów.

RPYTCacMONj8V1
Animacja pokazuje w pięciu krokach prostą Eulera. W danym trójkącie A B C tworzymy jego trzy punkty charakterystyczne: środek okręgu opisanego na trójkącie O, środek ciężkości S i ortocentrum H trójkąta. Zmieniając położenie wierzchołków trójkąta zauważamy, że punkty O, S, H też zmieniają położenie, ale zawsze leżą na jednej prostej. Tę prostą nazywamy prostą Eulera. Środek ciężkości znajduje się zawsze pomiędzy środkiem okręgu opisanego na trójkącie i ortocentrum trójkąta. Obliczając iloraz długości odcinków OS i SH zauważamy, że środek ciężkości leży dwukrotnie bliżej środka okręgu opisanego niż ortocentrum.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Zauważamy, że ortocentrum trójkąta, środek okręgu opisanego i środek ciężkości leżą na jednej prostej.
Własność tę odkrył w XVIII wieku szwajcarski matematyk Leonard Euler. Na jego cześć nazwaną tę szczególną prostą – prostą Eulera.
Leonard Euler uznawany jest za jednego z najwybitniejszych matematyków wszech czasów. Mimo utraty wzroku w wieku około 50 lat, nadal pracował twórczo, wykorzystując swoją fenomenalną pamięć i umiejętność wykonywania obliczeń w pamięci.

i5vfddYyU2_d5e850
A
Ćwiczenie 6

Narysuj odcinki: = 3 cm, b=4 cm, c=4 cm, d = 5 cm, e= 6 cm.
Skonstruuj trójkąt z odcinków

  1. ,b, b

  2. a, b, d

  3. a, d, e

classicmobile
Ćwiczenie 7

Z których odcinków o długościach a, b, c można zbudować trójkąt?

R1XMjRPqktVxQ
static
classicmobile
Ćwiczenie 8

Odcinki = 7 cm, b = 5 cm, c są bokami trójkąta. Długość odcinka c może być równa

R15AUDK42NhLG
static
classicmobile
Ćwiczenie 9

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1OQ3vf0NQy8Y
static
classicmobile
Ćwiczenie 10

Trójkąt prostokątny może być

R15qUlRHFuwUo
static
i5vfddYyU2_d5e1071
B
Ćwiczenie 11

Trójkąt ABC ma trzy osie symetrii. Długość części dwusiecznej jednego z kątów trójkąta zawartej w trójkącie ma długość 4 cm. Oblicz

  1. sumę wysokości trójkąta

  2. miary kątów trójkąta

A
Ćwiczenie 12

Oblicz obwód trójkąta, w którym jeden bok ma długość 8 cm, a każdy następny jest o 6 cm dłuższy od poprzedniego.

A
Ćwiczenie 13

Obwód trójkąta równobocznego wynosi 66 cm. Oblicz długość jego boku.

B
Ćwiczenie 14

Dwa boki trójkąta równoramiennego mają długości 3 cm6 cm. Oblicz długość trzeciego boku trójkąta.

A
Ćwiczenie 15

Odcinek o długości 5 cm podzielono na trzy części tak, że długość każdej części wyraża się dodatnią liczbą naturalną. Z otrzymanych odcinków zbudowano trójkąt. Oblicz długości boków trójkąta.

A
Ćwiczenie 16
RbiGk7F2baYdB1
Zadanie interaktywne.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 17

Czy trójkąt ABC jest równoramienny? Wybierz poprawną odpowiedź.

RzTFfhLojsQEs1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1JysaxgbIoki
static
classicmobile
Ćwiczenie 18

Suma kątów ostrych trójkąta prostokątnego wynosi

R1OEZsgzcYXgT
static
B
Ćwiczenie 19

Uzupełnij zdania, wpisując odpowiednie miary kątów.

  1. Kąt zewnętrzny, przyległy do kąta przy podstawie trójkąta równoramiennego ma miarę 150°. Największy z kątów tego trójkąta jest równy …

  2. Kąt między ramionami trójkąta równoramiennego ma miarę 30°. Miara jednego z pozostałych kątów tego trójkąta jest równa …

  3. W trójkącie równoramiennym miara jednego z kątów jest dwa razy większa od miary drugiego. Wtedy najmniejszy kąt tego trójkąta ma miarę …

B
Ćwiczenie 20

Wysokość poprowadzona do podstawy AB w trójkącie równoramiennym ABC ma długość 10 cm. Kąt przy podstawie trójkąta ma miarę 45°. Oblicz długość podstawy AB.

B
Ćwiczenie 21

Można wykazać, że w  trójkącie prostokątnym o kątach ostrych o miarach 30°60° długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta o mierze 30° jest równa połowie długości przeciwprostokątnej.
Korzystając z tej własności, rozwiąż poniższe zadania.

  1. Dany jest trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości 12 cm i kątach ostrych o miarach 30°,60°. Oblicz długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta o mierze 30°.

  2. Dany jest trójkąt prostokątny, w którym najdłuższy bok ma długość 5 cm, a najkrótszy 2,5 cm. Oblicz miary katów ostrych tego trójkąta.

  3. Jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ma miarę 60°. Przyprostokątna leżąca naprzeciw drugiego z kątów ostrych ma długość 9 cm. Uzasadnij, że długość drugiej przyprostokątnej jest mniejsza od 27 cm.

classicmobile
Ćwiczenie 22

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R14o8WjtkBrcu
static
A
Ćwiczenie 23

Uzupełnij zdanie.

  1. W trójkącie równobocznym miara kąta ostrego jest równa… stopni.

  2. W trójkącie prostokątnym równoramiennym miara kata ostrego jest … razy mniejsza od miary kata prostego.

  3. Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty . W każdym z tych trójkątów największy z kątów ma miarę … stopni.

B
Ćwiczenie 24

Narysuj trójkąt równoboczny ABC i zaznacz jego wysokość. Wysokości podzieliły trójkąt ABC na 6 trójkątów. Oblicz miary kątów każdego z tych trójkątów.

A
Ćwiczenie 25

Wyznacz miarę kąta przy wierzchołku C w trójkącie ABC, jeśli

  1. ∡A=45°, |∡B|=125°

  2. |∡A|=|∡B|=45°

  3. |∡A|=90°,|∡B|=5°

B
Ćwiczenie 26

W trójkącie ABC kąt ABC jest dwukrotnie większy od kąta BAC. Kąt ACB jest trzykrotnie większy od kąta BAC.
Wyznacz miary kątów tego trójkąta.

C
Ćwiczenie 27

Środek okręgu opisanego na trójkącie nie należy do tego trójkąta. Gdzie znajduje się ortocentrum trójkąta?

C
Ćwiczenie 28

Ortocentrum pewnego trójkąta leży w wierzchołku tego trójkąta. Gdzie znajduje się środek okręgu opisanego na tym trójkącie?

i5vfddYyU2_d5e1565
B
Ćwiczenie 29

Miary kątów trójkąta ABC są takie same jak miary kątów trójkąta EFG. Czy obwody tych trójkątów są równe? Dlaczego?

C
Ćwiczenie 30

W  trójkącie ABC środek ciężkości jest odległy od środków jego boków odpowiednio o  5 cm, 3 cm,7 cm. Oblicz sumę odległości tego środka ciężkości od wierzchołków trójkąta.

C
Ćwiczenie 31

Odległość ortocentrum trójkąta KLM od jego środka ciężkości wynosi 6 cm. Jaka jest odległość środka ciężkości od środka okręgu opisanego na tym trójkącie?

C
Ćwiczenie 32

Odległość ortocentrum od środka okręgu opisanego na pewnym trójkącie jest równa 6 cm. Jaka jest odległość tego ortocentrum od środka ciężkości tego trójkąta?

A
Ćwiczenie 33

Czy spodki dwóch wysokości trójkąta mogą nie należeć do tego trójkąta? Jeśli to możliwe, narysuj taki trójkąt. Jeśli nie, odpowiedź uzasadnij.

A
Ćwiczenie 34

Oblicz pole trójkąta, wiedząc, że

  1. podstawa trójkąta jest równa m, a wysokość poprowadzona do tej podstawy jest równa 2 m,

  2. trójkąt jest prostokątny i jego przyprostokątne są równe 6 cm8 cm,

  3. podstawa trójkąta jest równa wysokości poprowadzonej do tej podstawy i wynosi 7 m.

A
Ćwiczenie 35

Pole trójkąta jest równe 24 cm2.

  1. Podstawa trójkąta ma długość 6 cm. Oblicz długość wysokości poprowadzonej do tej podstawy.

  2. Wysokość trójkąta jest równa 8 cm. Oblicz długość podstawy trójkąta, na którą poprowadzono tę wysokość.

A
Ćwiczenie 36

Narysuj wszystkie wysokości trójkąta.

R8FZTdAYJZS4h1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 37

Znajdź ortocentrum trójkąta.

R1ORLAy2szgmB1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 38

Wyznacz środek ciężkości trójkąta.

RZa1fxxA5mgUt1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 39

Znajdź dwusieczne kątów trójkąta.

RU93t65tfQhtA1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 40

Znajdź symetralne boków trójkąta.

RFrpKpELZWAtv1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
K
Ćwiczenie 41

Wytnij z kartonu dowolny trójkąt. Wyobraź sobie, że to blat stolika, a długopis ma być nogą stolika. Zaznacz na „blacie” miejsce, w którym należy przymocować „nogę”. Sprawdź, czy dobrze jest ono wyznaczone, ustawiając odpowiednio długopis i trójkąt.