Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Przykład 1
  • Twierdzenie

Jeżeli trójkąt prostokątny jest równoramienny, to jego kąty ostre mają równe miary.

  • Twierdzenie odwrotne

Jeżeli kąty ostre w trójkącie prostokątnym mają równe miary, to trójkąt ten jest równoramienny.

  • Równoważność

Trójkąt prostokątny jest równoramienny wtedy i tylko wtedy, gdy jego kąty ostre mają równe miary.

Jeżeli twierdzenie jest prawdziwe i twierdzenie do niego odwrotne też jest prawdziwe, to utworzona z nich równoważność jest również prawdziwa.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Wiemy już, że zamiana założenia z tezą nie zawsze prowadzi do twierdzenia prawdziwego.
W przypadku twierdzenia Pitagorasa twierdzenie odwrotne jest też prawdziwe.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie: Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku, to trójkąt ten jest prostokątny.

W zastosowaniach praktycznych posługujemy się poniższą wersją twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.

Ważne!

Jeżeli liczby a, b, c będące długościami boków trójkąta (gdzie c – długość najdłuższego z boków) spełniają warunek

a2+b2=c2,

to trójkąt ten jest prostokątny.

Znając długości boków trójkąta i wykorzystując twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa, można stwierdzić, czy trójkąt jest prostokątny.

Przykład 2

Sprawdzimy, czy trójkąt o bokach długości 15, 17, 8 jest prostokątny.
Ustalamy, że najdłuższy bok trójkąta ma długość 17.

  • Obliczamy kwadrat liczby 17.

172= 289
  • Obliczamy sumę kwadratów długości dwóch krótszych boków.

152+82=225+64=289
  • Porównujemy znalezione liczby.

289=289

Na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa stwierdzamy, że trójkąt o bokach długości 15,178 jest trójkątem prostokątnym.

Przykład 3

Sprawdzimy, czy trójkąt o bokach długości 2, 3, 23 jest trójkątem prostokątnym.

  • Oznaczmy

a=2 
b=3 
c=23 - długość najdłuższego boku

  • Sprawdzimy, czy a2+b2=c2.

  • Obliczamy sumę kwadratów długości krótszych boków i  kwadrat długości najdłuższego boku.

a2+b2=22+32=4+9=13
c2=232=43=12
  • Porównujemy znalezione liczby.

1312,

czyli

a2+b2c2

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa stwierdzamy, że trójkąt nie jest trójkątem prostokątnym (gdyby był prostokątny, to musiałaby być prawdziwa równość a2+b2=c2).

Trójki pitagorejskie

  • Starożytni Egipcjanie wyznaczali kąt prosty, wykorzystując trójkąt prostokątny o bokach długości 3, 4, 5, nazywany obecnie trójkątem egipskim.

  • Hindusi posługiwali się trójkątem o bokach długości: 5, 12, 13.

  • W obu przypadkach długości boków trójkątów wyrażały się liczbami naturalnymi.

  • Trójki liczb naturalnych a,b,c , które wyrażają długości boków trójkąta prostokątnego, nazwano trójkami pitagorejskimi. Na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa można stwierdzić, że poszukiwanie ich sprowadza się do rozwiązania równania

a2+b2=c2
  • Odkrycie ogólnej metody znajdowania tych liczb przypisuje się matematykowi greckiemu Diofantosowi, żyjącemu w III wieku n.e. w  Aleksandrii. Wyznaczał on trójki pitagorejskie według wzoru

a=m2-n2
b=2mn
c=m2+n2,

gdzie m, n dowolne liczby naturalne względnie pierwsze, które nie są jednocześnie nieparzyste i takie, że m>n.
Na przykład.
Niech m=3, n=2

a=32-22=9-4=5
b=232=12
c=32+22=9+4=13

Trójkę pitagorejską tworzą liczby: 5,12,13.
Niektóre trójki pitagorejskie

Tabela. Dane
 a
3
5
7
9
11
15
b
4
12
24
40
60
8
c
5
13
25
41
61
17
A
Ćwiczenie 1

Zapisz dowolną trójkę pitagorejską.

  1. Pomnóż każdą z  zapisanych liczb przez tę samą dowolną liczbę naturalną większą od 1.
    Sprawdź, czy utworzone w ten sposób liczby tworzą trójkę pitagorejską. Co zauważasz?

  2. Pomnóż każdą z  zapisanych liczb przez tę samą, dowolną liczbę dodatnią.
    Sprawdź, czy utworzone w ten sposób liczby tworzą trójkę pitagorejską. Co zauważasz?

istTiT5cXv_d5e378

Określanie rodzaju trójkąta z wykorzystaniem twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa

Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa wynika, że jeżeli suma pól kwadratów zbudowanych na krótszych bokach trójkąta jest równa polu kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku, to trójkąt ten jest prostokątny.

Zastanowimy się teraz, czy można określić rodzaj trójkąta, wiedząc, że suma pół kwadratów zbudowanych na krótszych bokach trójkąta jest mniejsza (albo większa ) od pola kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku.

A
Ćwiczenie 2
RB79OeABx3QwR1
Animacja pokazuje trójkąt A B C, na bokach którego zbudowane są kwadraty o podanych polach. Zmieniamy położenie wierzchołków trójkąta A B C tak, aby bok AC był najdłuższym bokiem i aby suma pól kwadratów zbudowanych na bokach AB i BC była większa od pola kwadratu zbudowanego na boku AC. Zauważamy, że taka zależność zachodzi dla trójkąta ostrokątnego. Następnie zmieniamy położenie wierzchołków trójkąta A B C tak, aby suma pól kwadratów zbudowanych na bokach AB i BC była mniejsza od pola kwadratu zbudowanego na boku AC. Zauważamy, że taka zależność zachodzi dla trójkąta rozwartokątnego.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Na bokach trójkąta ABC skonstruowane są kwadraty.
Zmień czterokrotnie położenie wierzchołków trójkąta ABC, tak aby w każdym przypadku bok AC był najdłuższym bokiem i aby suma pól kwadratów zbudowanych na bokach ABBC była większa od pola kwadratu zbudowanego na boku AC. Określ w każdym przypadku rodzaj otrzymanego trójkąta (prostokątny, ostrokątny czy rozwartokątny). Zapisz twierdzenie, które możesz sformułować na podstawie obserwacji.

  1. Sformułuj też twierdzenie odwrotne i sprawdź na 3 przykładach, czy jest prawdziwe.

  2. Powtórz ten sam eksperyment , tak zmieniając położenie wierzchołków trójkąta ABC, aby suma pól kwadratów zbudowanych na bokach ABBC była mniejsza od pola kwadratu zbudowanego na boku AC.

  3. Sformułuj odpowiednie twierdzenie i twierdzenie do niego odwrotne.

Ważne!

Na podstawie przeprowadzonych eksperymentów możemy sformułować dwie pary twierdzeń:

  • Jeżeli suma pól kwadratów zbudowanych na krótszych bokach trójkąta jest większa od pola kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku, to trójkąt jest ostrokątny.

  • Jeżeli trójkąt jest ostrokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na krótszych bokach trójkąta jest większa od pola kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku.

  • Jeżeli suma pól kwadratów zbudowanych na krótszych bokach trójkąta jest mniejsza od pola kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku, to trójkąt jest rozwartokątny.

  • Jeżeli trójkąt jest rozwartokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na krótszych bokach trójkąta jest mniejsza od pola kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku.

Twierdzenia sformułowaliśmy na podstawie obserwacji, ale można udowodnić, że twierdzenia te są prawdziwe.

Rodzaje trójkątów a długości boków
Twierdzenie: Rodzaje trójkątów a długości boków

Niech liczby a,b,c, gdzie c>ac>b będą długościami boków trójkąta.

  • Trójkąt ten jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy a2+b2 =c2.

  • Trójkąt ten jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy a2+b2 >c2.

  • Trójkąt ten jest rozwartokątny wtedy i tylko wtedy, gdy a2+b2 <c2.

Przykład 4

Trójkąt o bokach długości 6, 7,8 jest ostrokątny, bo

62+72=85>64=82.

Trójkąt o bokach długości 4, 4, 7 jest rozwartokątny, bo

42+42=32<49=72.
A
Ćwiczenie 3

Sformułuj twierdzenie odwrotne do podanego twierdzenia. Czy twierdzenie to jest prawdziwe, czy fałszywe?

  1. Jeżeli dwa trójkąty są przystające, to odpowiadające sobie boki obu trójkątów mają równe długości.

  2. Jeżeli kąty xy są kątami przyległymi, to ich suma jest równa kątowi półpełnemu.

  3. Jeżeli trójkąt jest równoboczny, to środek okręgu opisanego na tym trójkącie jest punktem wspólnym trzech wysokości tego trójkąta.

classicmobile
Ćwiczenie 4

Czy trójkąt o bokach długości k, d, c jest prostokątny?

RgrEoOZdAuw07
static
classicmobile
Ćwiczenie 5

Trójkątem prostokątnym jest trójkąt o bokach długości

RlFKzoMl2DpXD
static
classicmobile
Ćwiczenie 6

Liczba n jest liczbą naturalną dodatnią. Trójkątem prostokątnym jest trójkąt o bokach długości

R1SixSgU4iqKW
static
classicmobile
Ćwiczenie 7

Liczba a jest dodatnia i większa od 1. Czy trójkąt o bokach podanej długości jest prostokątny?

R1ZZSajhUtO9U
static
classicmobile
Ćwiczenie 8

Boki trójkąta prostokątnego mają długości a, 11, 61, gdy

R1VAI9Np9EtWO
static
classicmobile
Ćwiczenie 9

Czy trójkąt o podanym stosunku długości boków jest prostokątny?

R18Nm6fJUMpKw
static
A
Ćwiczenie 10

Trawnik ma kształt trójkąta, którego boki pozostają w stosunku 25:24:7. Na ogrodzenie trawnika zużyto 224 m płotka. Sprawdź, czy trawnik ma kształt trójkąta prostokątnego.

A
Ćwiczenie 11

Znajdź sumę długości przekątnych pd prostokąta o bokach długości ab.

  1. a= 9 cm, b= 12 cm 
    p+d=cm

  2. a= 2 cm, b= 5 cm 
    p + d =cm

  3. a= 3 cm, b= 33 cm 
     p+d =cm

  4. a= 9 dm, b= 40 dm 
    p+d=cm 

A
Ćwiczenie 12

Podaj przykłady pary liczb naturalnych, które mogą być długościami boków trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątna ma długość 100.

istTiT5cXv_d5e869
A
Ćwiczenie 13

W trójkącie prostokątnym jeden z boków ma długość 2 cm, a drugi jest o 1 cm dłuższy. Oblicz pole trójkąta. Rozpatrz wszystkie możliwości.

A
Ćwiczenie 14

Boki trójkąta pitagorejskiego mają długości: n,n2-12,n2+12 , gdzie n jest liczbą naturalną nieparzystą, większą od 1.
Znajdź obwód i pole tego trójkąta, gdy

  1. n=3

  2. n=9

  3. n=11

A
Ćwiczenie 15
  1. Wykaż, że liczby a, b, c postaci
    a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2,gdzie m, n to dowolne liczby naturalne względnie pierwsze, które nie są jednocześnie
    liczbami nieparzystymi i takie, że m>n, są długościami boków trójkąta prostokątnego.

  2. Wykaż, że mnożąc przez tę samą liczbę dodatnią, każdą z liczb

a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2,

tworzących trójkę pitagorejską, otrzymujemy również trójkę pitagorejską.

A
Ćwiczenie 16

Sprawdź dla trzech dowolnych liczb naturalnych n>1, czy liczby postaci

2n+1, 2n2+2n, 2n2+2n+1

mogą być długościami boków trójkąta prostokątnego.

A
Ćwiczenie 17

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego są równe m+1 i 4, gdzie m jest liczbą dodatnią. Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość m+3. Znajdź liczbę m.

A
Ćwiczenie 18

Znajdź liczbę m<16, dla której liczby m-5, m-4, m-3 są długościami boków trójkąta prostokątnego.
Rozwiąż zadanie algebraicznie i graficznie.

R1KgACskdlhma1
Animacja pokazuje trójkąt A B C o bokach długości m -5, m -4, m -3. Zauważamy, że zmieniając długość odcinka m zmieniają się długości boków trójkąta. Dla m =8 otrzymujemy trójkąt prostokątny. Rozwiązanie zadania.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 19

Czy równoległobok o bokach długości

R2Eu5i7Akl8Oy
static
A
Ćwiczenie 20

Sprawdź czy istnieje romb o boku długości 13 oraz przekątnych długości 1024.

A
Ćwiczenie 21

Na podstawie AB trójkąta ABC obrano punkt D. Odcinek AC ma długość 5, odcinek CD ma długość 3, natomiast AD ma długość 4. Wykaż, że CD jest wysokością trójkąta ABC.

A
Ćwiczenie 22

W trójkącie równobocznym ABC punkt D jest środkiem podstawy AB. Wykaż, że odcinek CD jest wysokością tego trójkąta.