Wróć do informacji o e-podręczniku Udostępnij materiał Wydrukuj
Pitagorasa
Twierdzenie: Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej

a2+b2=c2.
R1NhwQt45irzA1
Dowód
RvKOejl119lWC1
Animacja prezentuje dowód twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a, b oraz przeciwprostokątnej c. Przedłużając przyprostokątne a i b budujemy kwadrat o boku a +b.   Jednocześnie budujemy kwadrat oparty na przeciwprostokątnej c. Okazuje się, że jest on wpisany w kwadrat o bokach długości a +b.  Kwadrat o boku a +b składa się z kwadratu o bok c oraz 4 trójkątów prostokątnych. Po obliczeniu pól każdej z figur zauważamy, że c do potęgi drugiej jest równe a do potęgi drugiej plus b do potęgi drugiej.  Pole kwadratu opartego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól dwóch kwadratów opartych na przyprostokątnych a i b trójkąta prostokątnego.

Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne do Twierdzenia Pitagorasa.

odwrotne do twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie: odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Przykład 1

Sprawdź, czy trójkąt o bokach 9, 1215 jest trójkątem prostokątnym.
Jeżeli trójkąt będzie prostokątny, to przeciwprostokątną będzie najdłuższy z boków. Obliczmy kwadraty długości boków.
92=81, 122=144, 152=225 i zauważmy, że

92+122=81+144=225=152

Zatem z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa ten trójkąt jest trójkątem prostokątnym.

Związki miarowe wynikające z twierdzenia Pitagorasa

R1UMQR0yyM2nq1

Przekątna w kwadracie o boku a ma długość

a2+a2=2a2=a2.

Zatem w trójkącie równoramiennym prostokątnym długości boków pozostają w zależności.

R1RCPWo4Ki3C61

Rozważmy teraz trójkąt równoboczny o boku a. Jego wysokość liczymy w następujący sposób

h=a2-a22=a2-a24=3a24=a32

Pole trójkąta równobocznego o boku a jest więc równe

P=12ah=12aa32=a234
RDdjd6XZtQ8bv1

Oznaczmy przez x najkrótszy z boków trójkąta prostokątnego, w którym kąty ostre mają miary 30°60°. Wtedy długości boków tego trójkąta są równe x, 2x, x3. O takim trójkącie mówi się czasami, że jest to „trójkąt piękny”.

RaH1oNb2YqJP81