Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał

Analizując wykresy dwóch funkcji liniowych, zaznaczone w tym samym układzie współrzędnych, możemy stwierdzić, czy wykresy te mają punkty wspólne.

Przykład 1

Rysunek przedstawia wykresy funkcji fx=3x-1gx=x+1.
Z rysunku odczytamy, że wykresy funkcji przecinają się w punkcie (1, 2).

R1e7r3NR5I2iQ1

Obliczając wartość każdej z funkcji dla argumentu 1, stwierdzamy, że

f1=31-1=2, 

a także

g(1)=1+1=2. 

Wykresy funkcji fg nie są prostymi równoległymi. Punkt (1, 2) jest ich jedynym punktem wspólnym.
Nie zawsze jednak można z rysunku dokładnie odczytać współrzędne punktu przecięcia wykresów dwóch funkcji liniowych.

Przykład 2

Rysunek przedstawia wykresy funkcji fx=4x-9gx=-3x+2.

RqGp46qdbk58o1
Przykład 3

Rozwiążemy układ równań

2x-y=-4x+2y=3
  • I sposób

Wyznaczymy z drugiego równania niewiadomą x

x=3-2y.

Następnie wykorzystujemy otrzymany związek w pierwszym równaniu, skąd otrzymujemy

23-2y-y=-4
6-4y-y=-4
-4y-y=-4-6
-5y=-10
y=2

Wobec tego

x=3-22=-1

Rozwiązaniem danego układu jest więc para liczb x=-1 oraz y=2.

  • II sposób

Rozwiążemy dany układ metodą graficzną.
Wyznaczymy y z każdego równania układu

2x+4=y2y=-x+3
y=2x+4y=-12x+32

Proste o równaniach y=2x+4y=-12x+32 nie są równoległe, więc przecinają się w jednym punkcie.
Rysunek przedstawia obie te proste w układzie współrzędnych.

R1eBLxSDFgCye1

Odczytujemy z rysunku, że te proste przecinają się w punkcie -1, 2.
Wobec tego układ równań

2x-y=-4x+2y=3

ma jedno rozwiązanie, parę liczb x=-1 oraz y=2.

Przykład 4

Rozwiążemy układ równań

4x-y=-53x=-6
  • I sposób

Z drugiego równania natychmiast wynika, że x=-2. Po wstawieniu otrzymanej wartości x do pierwszego równania otrzymujemy y=-8+5, skąd y=-3.
Para x=-2y=-3 jest więc jedynym rozwiązaniem danego układu.

  • II sposób

Rozwiążemy dany układ metodą graficzną.
Z pierwszego równania wyznaczamy y, ale w drugim równaniu ta niewiadoma nie występuje.
Zapisujemy więc drugie równanie w postaci x=-2.

y=4x+5x=-2

Zauważmy, że równanie x=-2 opisuje zbiór wszystkich takich punktów, których pierwsza współrzędna jest równa 2.
Jest to więc równanie prostej równoległej do osi Oy, przecinającej oś Ox w punkcie (0, -2).
Rysunek przedstawia proste o równaniach y=4x+5x=-2 w układzie współrzędnych.

R1PtVFU74GOYZ1

Odczytujemy z niego, że te proste przecinają się w punkcie -2, -3).
Oznacza to, że układ równań

4x-y=-53x=-6

ma jedno rozwiązanie, parę liczb x=-2 oraz y=-3.

Przykład 5

Para x=1y=-1 jest rozwiązaniem układu równań 4x-6y=10-6x+9y=-15, ponieważ dla x=1y=-1 jest

4x=6y=41-6-1=4+6=10

oraz

-6x+9y=-61+9-1=-6-9=-15.

Nie jest to jedyne rozwiązanie tego układu, co stwierdzimy, wyznaczając y z każdego z równań układu

4x-10=6y9y=6x-15
y=23x-53y=23x-53

Oba równania opisują tę samą prostą, a zatem układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jest nim każda para liczb rzeczywistych xy, która spełnia równanie y=23x-53.
Rysunek przedstawia prostą o równaniu y=23x-53.

R10BqQZaM2pVv1
Przykład 6

Pokażemy, że układ

6x+15y=3014x+35y=140

nie ma rozwiązań.
Wyznaczamy y z każdego z równań układu

15y=-6x+3035y=-14x+140
y=-25x+2y=-25x+4.

Proste o równaniach y=-25x+2y=-25x+4 są równoległe i różne, więc dany układ nie ma rozwiązań.
Rysunek przedstawia obie te proste w układzie współrzędnych.

RC1da3s3xjpRU1
RB60UyXtYQTGm1
Animacja pokazuje interpretację geometryczną czterech różnych układów równań liniowych. Układ pierwszy złożony z równań 2x +2y =2 i 2x minus y =-4, na wykresie w postaci dwóch prostych y = minus x +1 i y =2x +4, które przecinają się w jednym punkcie o współrzędnych (-1, 2). Układ jest oznaczony i ma dokładnie jedno rozwiązanie. Układ drugi złożony z równań -4x +2y =2 i 6x -3y =-3, na wykresie w postaci dwóch pokrywających się prostych y =2x +1. Układ jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań. Rozwiązaniem układu są wszystkie punkty leżące na prostej. Układ trzeci złożony z równań -6x +3y =9 i 4x -2y =2, na wykresie w postaci dwóch prostych równoległych y =2x +3 i y =2x -1. Układ jest sprzeczny, brak rozwiązań i brak punktów wspólnych. Układ czwarty złożony z równań 0x +0y =0 i 0x +0y =0. Rozwiązaniem układu są wszystkie punkty leżące na płaszczyźnie układu współrzędnych.