Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał

Rozpatrzmy układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi xy

a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2,

gdzie a1, b1, c1, a2, a2b2 są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, przy czym pary liczb: a1b1 oraz a2b2 nie są równocześnie równe zero.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest każda para (x, y) takich liczb xy, która spełnia każde z równań układu.

Na podstawie spostrzeżeń poczynionych w przykładach omówionych powyżej zauważmy, że układ równań liniowych

a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2,
  • ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy proste o równaniach

a1x+b1y-c1=0

oraz

a2x+b2y-c2=0

nie są równoległe. Jest tak wtedy i tyko wtedy , gdy współczynniki przy xy nie są proporcjonalne, to znaczy, gdy

a1b2-a2b10
  • ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy proste o równaniach

a1x+b1y-c1=0

oraz

a2x+b2y-c2=0

pokrywają się, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy

a1b2-a2b1=0

i

a1c2-a2c1=0

i

b1c2-b2c1=0
  • nie ma rozwiązań, gdy proste o równaniach a1x+b1y-c1=0

i

a2x+b2y-c2=0

są równoległe i różne, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy

a1b2-a2b1=0

oraz zachodzi choć jeden z warunków

a1c2-a2c10

lub

b1c2-b2c10
Przykład 1

Rozwiążemy układ równań

3x+2y=-1x+5y=4

Zauważmy, że w powyższym przykładzie 35-12=130, więc układ ma jedno rozwiązanie.
W rozwiązaniu zastosujemy metodę podstawiania.
W tym celu wyznaczymy x z drugiego równania.

3x+2y=-1x=4-5y
34-5y+2y=-1x=4-5y
12-15y+2y=-1x=4-5y
-13y=-13x=4-5y
y=1x=4-51

A zatem rozwiązaniem danego układu jest para liczb x=-1y=1. Jest to jedyne rozwiązanie tego układu.

Przykład 2

Rozwiążemy układ równań

7x+5y=13x-2y=-12

Zauważmy, że w powyższym przykładzie

7-2-53=-290,

więc układ ma jedno rozwiązanie.
W rozwiązaniu zastosujemy metodę przeciwnych współczynników.
Pomnożymy obie strony pierwszego równania przez 2, a drugiego przez 5.

14x+10y=215x-10y=-60

Wynika stąd, że

29x=-58,

czyli x=-2.
Wstawiając tę wartość do pierwszego równania układu, otrzymujemy

7-2+5y=1,

skąd y=3.
Wobec tego rozwiązaniem danego układu jest para liczb x=-2y=3. Jest to jedyne rozwiązanie tego układu.