Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Wydrukuj
Przykład 1
Rc0LAI8Z48Wh11
Animacja
Zapamiętaj!
  • Równaniem z dwiema niewiadomymi nazywamy równanie, w którym występują dwie niewiadome.

Na przykład:

5x+y=x2+6
z2=4x
x2+5x+6=y
y3=-x
  • Równaniem pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi nazywamy równanie, w którym obie niewiadome występują w pierwszej potędze.

Na przykład:

-x+y=9
-2x+4=-y
7y-t=9
-2z-x=10
  • Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań.

    RGilgA04jaXdc1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapamiętaj!
  • Układem równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi nazywamy dwa równania pierwszego stopnia z co najwyżej dwiema niewiadomymi, połączone spójnikiem „i”, który symbolizuje klamra.

Na przykład

2x=82x+y=62a+5b=8a+2b=36x-t=12x=5t
  • Układy równań wykorzystujemy do zapisywania i rozwiązywania takich zadań, w których należy zastosować więcej niż jedną niewiadomą.

iU7n0aZOWe_d5e424
classicmobile
Ćwiczenie 1

Spośród poniższych układów równań wybierz układy równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

R1Ld3FwRqU1QB
static
A
Ćwiczenie 2

Zapisz układ równań, który opisuje podaną sytuację. Skorzystaj z rysunku.

RgGOGnoHUt6ZA1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  1. Asia, kupując 4 kg truskawek i 0,5 kg malin, zapłaciła 23,50 zł, a  Maciek, kupując 2 kg truskawek i 1 kg malin, zapłacił 23 zł.

  2. Marysia, kupując 0,25 kg borówek i 1 kg czereśni, zapłaciła 14 zł, a Jacek, kupując 0,5 kg czereśni i 1 kg borówek, zapłacił 24,50 zł.

  3. Ala, kupując 3 kg truskawek i 1 kg borówek, zapłaciła 32 zł, a Krzyś, kupując 5 kg truskawek i 0,5 borówek, zapłacił 30 zł.

A
Ćwiczenie 3

Zapisz układ równań, który opisuje podaną sytuację. Skorzystaj z rysunku.

  1. Beata, kupując 1 szampon i 3 kremy do twarzy, zapłaciła 92 zł, a Alicja, kupując 1 krem i 2 szampony, zapłaciła 54 zł. Oznacz
    x- cena jednego szamponu do włosów []
    y - cena jednego kremu do twarzy []

  2. R1YJnbl8UzR5O1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    x - masa większego klocka [kg]y - masa mniejszego klocka [kg]

  3. Agnieszka, kupując 3 opakowania ptasiego mleczka i 4 mleczne czekolady, zapłaciła 51,60 zł. Natomiast Bartek, kupując 3 mleczne czekolady i 2 opakowania ptasiego mleczka, zapłacił 35,20 zł.
     x - cena jednego opakowania ptasiego mleczka []
    y - cena jednej mlecznej czekolady []

  4. R1YNEV6Lmlebg1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    b - masa jednej brzoskwini [kg]g - masa jednej gruszki [kg]

iU7n0aZOWe_d5e632
classicmobile
Ćwiczenie 4

Które zdanie opisuje układ równań x-4=4yx-y-2=x+2y2?

R1Ro1b0x0UKV4
static
RP4L0jt9U6hgt1
Animacja
A
Ćwiczenie 5

Zapisz układy równań opisujące sytuację przedstawioną na rysunkach.

  1. R1ekb5U0vxEvj1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  2. R1R5gZ6wICBea1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  3. R216ODB7e8PuF1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

B
Ćwiczenie 6

Uzupełnij wyrażenia, aby otrzymany układ równań opisywał poniższą sytuację.

  1. Za stół i 4 krzesła zapłacono 5600 zł. Cena krzesła jest trzykrotnie mniejsza od ceny stołu.
    s - cena stołu (w )
    k - cena krzesła (w )
    s=  s+4k= 

  2. Za zeszyt i 5 ołówków zapłacono 10,50 zł. Dwa zeszyty kosztują tyle, co pięć ołówków.
    z - cena jednego zeszytu (w )
    o- cena jednego ołówka (w )
    2z=    + =10,50

  3. Mama i tata mają razem 75 lat. Tata jest o 5 lat starszy od mamy.
    m - wiek mamy
    t - wiek taty
    m+5=  + =75

  4. Ania jest o 10 lat młodsza od swojego brata. Za dwa lata będzie od niego 5 razy młodsza.
    a - wiek Ani
    b - wiek brata Ani
    a= a+2= 

  5. Zosia i Ala mają razem 13 lat. Za 5 lat będą miały razem 23 lata.
    z - wiek Zosi
    a - wiek Ali
    + =13+ =23

B
Ćwiczenie 7

Uzupełnij wyrażenia, aby otrzymany układ równań opisywał poniższą sytuację.

  1. Masa 3 opakowań ciastek i 7 paczek cukierków jest równa 134 dag. Masa jednego opakowania ciastek jest 20 razy większa niż masa jednej paczki cukierków.
    x - masa jednego opakowania ciastek dag
    y - masa jednego opakowania cukierków dag
     + = = 

  2. Liczba x jest 3 razy mniejsza od liczby y. Średnia arytmetyczna liczb xy jest dwa razy większa od liczby x.
    x - wartość pierwszej liczby
    y - wartość drugiej liczby
     +  = = 

  3. Na wycieczkę pojechało a dziewcząt i b chłopców, razem 25 osób. Liczba chłopców jest o połowę większa od liczby dziewcząt.
    a - liczba dziewcząt
    b - liczba chłopców
     + = = + 

  4. W skarbonce jest m monet dwuzłotowych i n monet pięciozłotowych, razem 128 zł. Liczba monet pięciozłotowych jest o 6 mniejsza od liczby monet dwuzłotowych.
    m - liczba monet dwuzłotowych
    n - liczba monet pięciozłotowych
     + == + 

iU7n0aZOWe_d5e866
B
Ćwiczenie 8

Połącz w pary podane zdania z układami równań, które je opisują.

Tabela. Dane
1

Liczba a jest o 4 większa od trzeciej części liczby b. Średnia arytmetyczna liczb ab jest o 1 mniejsza od liczby b.

A
a=3b+4a+b2=a-b-2
2

Liczba a jest o 4 mniejsza od trzeciej części liczby b. Podwojona średnia arytmetyczna liczb ab jest o 1 większa od liczby b.

B
a=13b+4a+b2=b-1
3

Liczba a jest o 4 większa od potrojonej liczby b. Średnia arytmetyczna liczb ab jest o 2 mniejsza od różnicy liczb ab.

C
a=3b-4a+2b2= a-1
4

Liczba a jest o 4 mniejsza od potrojonej liczby b. Średnia arytmetyczna liczby a i podwojonej liczby b jest o 1 mniejsza od liczby a.

D
a=13b-4a+b22=b+1
classicmobile
Ćwiczenie 9

Jedno opakowanie kawy rozpuszczalnej jest droższe o 2 zł od trzech opakowań herbaty. Za dwa opakowania kawy i 5 opakowań herbaty należy zapłacić 70 zł. Który układ równań należy rozwiązać, aby wyznaczyć cenę tych produktów?

RuayCf7n1Bp6f
static
classicmobile
Ćwiczenie 10

Suma 10% liczby x20% liczby y jest równa 19, a 30% sumy liczb xy jest równe 36,6. Który układ równań należy rozwiązać, aby wyznaczyć wartości tych liczb?

R12Puw8MHLP49
static
classicmobile
Ćwiczenie 11

W skarbonce jest 11,4 zł w monetach pięciogroszowych, dwudziestogroszowe oraz 3 monety dwuzłotowe. Średnia arytmetyczna liczby wszystkich monet w skarbonce jest równa 14.
Wskaż układy równań opisujące sytuację przedstawioną w zadaniu.

R1Ikh3gAF9UZ4
static
classicmobile
Ćwiczenie 12

Cztery lata temu Adam był 3 razy starszy od Agnieszki, a za 4 lata będzie od niej 2 razy starszy. Który układ równań należy rozwiązać, aby wyznaczyć wiek Adama i Agnieszki?

RSK9nBBxHiHpO
static
B
Ćwiczenie 13

Zapisz układ równań, który opisuje następującą sytuację.

  1. Różnica dwóch liczb wynosi 20. Znajdź te liczby, wiedząc, że jeżeli większą z nich zwiększymy o 10, a mniejszą zwiększymy trzykrotnie, to otrzymamy liczby równe.

  2. Liczba x jest o 4 mniejsza od liczby y. Połowa sumy liczb xy jest o 1 większa od liczby x.

  3. Liczba o 30% większa od liczby x jest o 20 większa od liczby y. Liczba o 20% mniejsza od liczby y jest równa liczbie x.

  4. Czwarta część liczby x stanowi 8% liczby y. Liczba o 50% większa od liczby x jest o 10  mniejsza od 50% liczby y.

B
Ćwiczenie 14

Ustal niewiadome i zapisz układ równań, który opisuje następującą sytuację.

  1. Marysia, kupując w księgarni ołówek i długopis, zapłaciła 5,2 zł. Justyna, kupując 4 takie same ołówki i taki sam długopis, zapłaciła 8,8 zł.

  2. W nadmorskim pensjonacie znajdują się pokoje czteroosobowe i trzyosobowe oraz 44 pokoi dwuosobowych, razem 90 pokoi. Pensjonat może przyjąć 236 wczasowiczów.

  3. Marek i Ala dostają co miesiąc kieszonkowe od swoich rodziców. W ciągu roku rodzeństwo otrzymało 660 złotych. Miesięczne kieszonkowe Marka jest o 15 zł niższe od kieszonkowego Ali.

  4. W pewnym gospodarstwie hodowano gęsi, których pilnowały mniejsze psy. Zwierzęta miały razem 300 nóg i 135 głów.

  5. Skrzynia z narzędziami waży 24 kg. Masa narzędzi jest siedmiokrotnie większa niż masa pustej skrzyni.

B
Ćwiczenie 15

Zapisz układy równań opisujące sytuację przedstawioną na rysunku.

RekaZx4S7zsbr1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.