Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Wydrukuj

Budowa walca

Przykład 1

W jakim kształcie są wieże na zdjęciach? Jakie bryły geometryczne przypominają?

R1PSEcIRIhTtV1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 2

Zmieniaj wymiary obracającego się prostokąta. Jaka jest zależność między wysokością otrzymywanego walca a jego tworzącą? Jaka jest zależność między promieniem podstawy walca a długością boku prostokąta prostopadłego do osi obrotu?

R1Ef62TllcZa51
Animacja przedstawia konstrukcję walca na płaszczyźnie. Na płaszczyźnie dany jest punkt O, odcinek OW prostopadły do płaszczyzny i okrąg o środku w punkcie O. Na okręgu leży punkt P. Na płaszczyźnie narysowany jest prostokąt, którego jeden bok zawiera się w promieniu okręgu a drugi leży na osi obrotu. Obracając prostokąt wokół jednego z boków otrzymujemy walec.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

W wyniku obrotu prostokąta wokół prostej przechodzącej przez jeden z boków otrzymujemy bryłę, zwaną walcem.
Walec ma dwie równoległe podstawy w kształcie przystających kół. Odcinek łączący podstawy walca i prostopadły do tych podstaw to wysokość walca. Wysokość jest równa odległości podstaw walca.
Każdy odcinek zawarty w powierzchni bocznej walca o końcach należących do podstaw walca nazywamy tworzącą. Długość tworzącej walca jest równa jego wysokości.

Przykład 3

Określ dla każdego z walców jego wysokość, długość tworzącej, promień podstawy i średnicę podstawy.

R4wKiiebkYdmY1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekroje walca

Przykład 4
RRxZPpCqBmsjI1
Animacja 3D pokazuje baterię elektryczną. Kreślone są krawędzie – powstaje walec. Następnie przekroje skośne i poprzeczne dzielą walce na dwie bryły.
Przykład 5
R1a6j2O8Pmk6L1
Animacja
Przykład 6
R17RQtiriYrJ41
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RP1d9lrLyaIhR1
Animacja przedstawia różne przekroje walca. Oprócz przekroju osiowego i poprzecznego walec ma jeszcze inne przekroje. Ich kształt zależy od kąta nachylenia płaszczyzny przekroju do podstawy.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 7
RKFyxSh44CVLp1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 8

Przekrój osiowy walca jest prostokątem o  szerokości 9 cm. Pole tego przekroju jest równe 108 cm2.
Określ wysokość i promień podstawy walca.
Obliczamy długość prostokąta, będącego przekrojem osiowym walca.

108 cm2 : 9 cm = 12 cm 

Prostokąt, będący przekrojem osiowym walca, ma wymiary 9 cm na 12 cm.
Możliwe są dwa przypadki.

Rwv7uqEMx0IE51
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

I przypadek
Wysokość walca jest równa 9 cm, a promień jego podstawy jest równy 12 cm : 2 = 6 cm.
II przypadek
Wysokość walca jest równa 12 cm, a promień jego podstawy jest równy 9 cm : 2 = 4,5 cm.

Przykład 9

Przekrój osiowy walca jest prostokątem, którego przekątna długości 20 cm jest nachylona do dłuższego boku pod kątem 30°. Wysokość walca jest równa długości tego prostokąta. Oblicz pole podstawy walca.

R3EiPqPnX0deE1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątna dzieli prostokąt, będący przekrojem osiowym walca, na dwa przystające trójkąty prostokątne.
Przeciwprostokątna w tak otrzymanym trójkącie ma długość 20 cm, a jeden z kątów ostrych ma miarę 30°. W takim trójkącie naprzeciw kąta o mierze 30° leży przyprostokątna dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej, czyli w tym przypadku o długości 20 cm : 2 = 10 cm. Druga z przyprostokątnych ma długość 103 cm.

RXRznmwwv52oT1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Promień podstawy walca jest więc równy 10 cm : 2 = 5 cm.
Obliczamy pole koła, będącego podstawą walca.

P=π52
P=25π cm2

Pole podstawy walca jest równe 25π cmIndeks górny 2.

Przykład 10

Obwód przekroju poprzecznego walca jest równy 34π dm2. Stosunek wysokości walca do promienia podstawy jest równy 7 :9. Oblicz wysokość walca.
Obliczamy promień r podstawy walca.

2πr=34π/:2π
r=17 dm

Korzystamy z tego, że stosunek wysokości H walca do promienia jego podstawy jest równy 7 : 9.

Hr=79
H17=79
H=1199
H=1329 dm

Wysokość walca jest równa 1329 cm.

i9xorS27vT_d5e251

Siatka walca. Pole powierzchni walca

RBArzW7o4VWUf1
Animacja 3D pokazuje stojące na stole kubki w kształcie walca. Kreślone są krawędzie jednego kubka – powstaje walec, który następnie rozkłada się na siatkę walca.
RFZ8Sqwf8pfjJ1
Animacja 3D pokazuje siatkę walca, która składa się w walec. Następnie walec zamienia się w kubek. Na stole stoją kubki w kształcie walca.
Przykład 11

Obserwuj, jak wraz ze zmianą wysokości i promienia podstawy walca, zmieniają się wymiary figur tworzących siatkę walca. Co zauważasz?

RSnhL9adCIxWY1
Animacja przedstawia walec i jego siatkę. Wysokość walca jest równa H a promień podstawy wynosi R. Na siatkę walca składają się dwie podstawy koła o promieniu R oraz prostokąt, którego długość jest równa obwodowi podstawy czyli 2 pi R i szerokość będąca wysokością walca. Zmieniając wysokość walca i promień podstawy zauważamy, że zmienia się wielkość walca i proporcjonalnie wymiary jego siatki.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Siatka walca składa się z dwóch przystających kół i prostokąta. Promień każdego z tych kół jest równy promieniowi podstawy walca. Boki prostopadłe prostokąta są równe odpowiednio wysokości walca i obwodowi koła, będącego podstawą.

R14de92tKU1KS1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

Pole P powierzchni walca o wysokości H i promieniu podstawy r jest równe

P=2Pp+Pb

gdzie

  • Pp - pole podstawy

  • Pb - pole powierzchni bocznej.

  • P=2πr2+2πrH

Przykład 12

Ile cm2blachy zużyto na wykonanie metalowej puszki w kształcie walca o wysokości 20 cm i średnicy 8 cm? Wynik podaj z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
Promień podstawy walca jest równy 8 cm : 2 =4 cm. Obliczamy, ile blachy zużyto na wykonanie denka puszki.

P=πr2
Pp=π42
Pp=16π cm2

Obliczamy, ile blachy użyto na wykonanie powierzchni bocznej puszki.

Pb=2π420
Pb=160π cm2

Teraz obliczamy, ile blachy użyto na wykonanie całej puszki.

P=216π+160π=192π

Liczbę π zastępujemy jej przybliżeniem.

P1923,14=602,88
P602,88 cm2

Na wykonanie puszki zużyto około 602, 88 cmIndeks górny 2 blachy.

Przykład 13

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyźnie jest prostokątem o wymiarach 15 cm x 24 cm. Oblicz promień podstawy walca, wiedząc, że wysokość walca jest równa 15 cm.
Obwód koła, który jest podstawą walca, jest równy długości prostokąta, w kształcie którego jest powierzchnia boczna walca.

2πr=24
r=242π=12π

Promień podstawy walca jest równy 12π cm.

Przykład 14

Tort ma kształt walca o wysokości 25 cm i średnicy podstawy 30 cm. Na pokrycie 100 cm2 powierzchni tortu potrzeba 8 dag polewy. Oblicz, ile dag polewy należy przygotować na pokrycie powierzchni tortu.
Polewą będzie pokryta podstawa górna walca, w kształcie którego jest tort i jego powierzchnia boczna. Obliczamy pole powierzchni do pokrycia.

P=2π30225+π3022
P=750π+225π=975π
P9753,14=3061,5
P3061,5 cm2

Obliczamy, ile dag polewy potrzeba.

3061,5:1008=30,6158=244,92

Liczbę π zaokrągliliśmy z dołu, zatem żeby nie zbrakło polewy, należy przygotować jej trochę więcej niż 244,92 dag.

i9xorS27vT_d5e421
A
Ćwiczenie 1

Kwadrat obracamy wokół prostej p. Określ wysokość i promień podstawy tak otrzymanego walca.

RaMHFUxH6mrG21
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 2

Prostokąt o wymiarach 10 cm x 4 cm obracamy wokół dłuższego boku. Średnica podstawy tak otrzymanego walca jest równa

RSN8Q6Br6egzW
static
A
Ćwiczenie 3

Uzupełnij zdania.

  1. Przekrój osiowy walca jest kwadratem o polu 0,25 dm2. Promień podstawy tego walca jest równy … dm.

  2. Przekrój osiowy walca jest kwadratem. Pole podstawy walca jest równe 81π. Wysokość tego walca jest równa …

  3. Przekrój osiowy walca jest kwadratem. Średnica podstawy walca jest równa 12 cm. Wysokość walca jest równa … cm.

A
Ćwiczenie 4

Uzupełnij.

Tabela. Dane

Wysokość walca

Średnica podstawy walca

Pole przekroju osiowego

Pole przekroju płaszczyzną równoległą do podstawy

Długość przekątnej przekroju osiowego

 5 
 30π 
16π 
10
 12
120
1,2
1,44π 
B
Ćwiczenie 5
Rft9LAGt0pZsw1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 6

Pole powierzchni całkowitej walca jest równe 748. Promień podstawy walca jest równy 7. Przyjmij π=227. Wtedy wysokość walca jest równa

R18hUzoCYnHob
static
B
Ćwiczenie 7

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyźnie jest prostokątem o wymiarach 10 dm x 12 dm. Oblicz pole powierzchni całkowitej walca. Rozważ dwa przypadki.

classicmobile
Ćwiczenie 8

Dany jest prostokąt o wymiarach 6 cm na 8 cm. W wyniku obrotu tego prostokąta wokół prostej, na której leży dłuższy bok, otrzymano walec W, a  w wyniku obrotu tego prostokąta wokół prostej, na której leży krótszy bok, otrzymano walec W1.
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1dvpNVHk71V3
static
A
Ćwiczenie 9

Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 42 cm. Przekątna ta tworzy kąt o mierze 45° z jednym z boków prostokąta, będącego przekrojem osiowym walca. Oblicz pole powierzchni całkowitej walca.

A
Ćwiczenie 10

Kwadrat o boku długości 16 cm obrócono wokół jednego z boków. Oblicz pole powierzchni bocznej tak otrzymanego walca.

i9xorS27vT_d5e745
A
Ćwiczenie 11

Walec powstał w wyniku obrotu prostokąta wokół jednego z  jego boków. Przekątna tego prostokąta ma długość 5 cm i jest nachylona do jego boku pod kątem 60°. Oblicz pole powierzchni bocznej walca.

classicmobile
Ćwiczenie 12

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1QaHemvO31Bi
static
C
Ćwiczenie 13

Udowodnij, że wszystkie przekroje poprzeczne walca są przystającymi kołami.

C
Ćwiczenie 14

Prostokąt o wymiarach a cm x b cm obrócono wokół boku o długości a cm i  otrzymano walec W1. Ten sam prostokąt obrócono wokół boku o długości b cm i  otrzymano walec W2. Walce W1W2 mają równe pola całkowite. Wykaż, że prostokąt ten jest kwadratem.

B
Ćwiczenie 15

Dwa prostokąty P1P2są podobne w skali 1:2. Prostokąt P1 ma wymiary 5 cm x 10 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej walca powstałego w wyniku obrotu prostokąta P2 wokół dłuższego boku.

A
Ćwiczenie 16

Oblicz pole przekroju osiowego walca otrzymanego w wyniku obrotu prostokąta o wymiarach 20 cm x 5 cm wokół krótszego boku.

B
Ćwiczenie 17

Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 122 i tworzy z płaszczyzną podstawy walca kąt o mierze 45°. Oblicz pole powierzchni całkowitej walca.

C
Ćwiczenie 18

Udowodnij, że stosunek powierzchni bocznej dowolnego walca do powierzchni przekroju osiowego tego walca jest zawsze taki sam.

A
Ćwiczenie 19

Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 10 cm, a wysokość walca 8 cm. Oblicz pole powierzchni otrzymanej po rozwinięciu tego walca na płaszczyźnie.

A
Ćwiczenie 20

Pole powierzchni całkowitej walca jest równe 216π. Wysokość walca jest równa średnicy jego podstawy. Oblicz promień podstawy walca oraz jego wysokość.