Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Przykład 1

Obliczymy wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej fx=x2-4x+1 w każdym z podanych przedziałów

  1. -4,1

  2. -1,3

  3. 4,7

Ustalmy własności funkcji f, gdy jest ona określona dla każdej liczby rzeczywistej.
Ponieważ współczynnik przy x2 we wzorze funkcji f jest dodatni, więc wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do góry. Wierzchołek W tej paraboli ma współrzędne

xW=--421=2,yW=f2=22-42+1=-3.

Zatem najmniejszą wartością funkcji f jest

f2=-3.

Najmniejszą wartość funkcji f można też obliczyć, korzystając ze wzoru na drugą współrzędną wierzchołka paraboli

q=-Δ4a.

Zauważmy, że

  • maksymalnym przedziałem, w którym funkcja f jest malejąca, jest -,2,

  • maksymalnym przedziałem, w którym funkcja f jest rosnąca, jest 2,+

    R1UE63UCDZbWJ1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  1. Przedział -4,1 jest zawarty w przedziale -,2, więc funkcja f jest w tym przedziale malejąca.
    Oznacza to, że
    największą wartością funkcji f w przedziale -4,1 jest wartość w lewym krańcu tego przedziału, czyli f-4=33,
    najmniejszą wartością funkcji f w przedziale -4,1 jest wartość w prawym krańcu tego przedziału, czyli f1=-2.

  2. Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli należy do przedziału -1,3, więc najmniejszą wartością funkcji f w przedziale -1,3 jest f2=-3.
    W przedziale -1,2 funkcja f jest malejąca, a w przedziale 2,3 ta funkcja jest rosnąca. Wobec tego do ustalenia wartości największej funkcji f w przedziale -1,3 wystarczy porównać wartości f-1 oraz f3.
    Obliczamy:
    f-1=6f3=-2.Oznacza to, że największą wartością funkcji f w przedziale -1,3 jest f-1=6.

  3. Przedział 4,7 jest zawarty w przedziale 2,+, więc funkcja f jest w tym przedziale rosnąca.
    Wobec tego

  • największą wartością funkcji f w przedziale 4,7 jest wartość w prawym krańcu tego przedziału, czyli f7=22,

  • najmniejszą wartością funkcji f w przedziale 4,7 jest wartość w lewym krańcu tego przedziału, czyli f4=1.

    RAyHIsnxt3hRu1
    "Animacja prezentuje wykres funkcji kwadratowej f(x) = z kwadrat -4x +1 w układzie współrzędnych. Ramiona skierowane do góry, dwa miejsca zerowe i wierzchołek w punkcie o współrzędnych (2, -3). W kolejnych krokach w wybranych trzech przedziałach należy określić: maksymalny przedział, w którym funkcja jest malejąca
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 2

Obliczymy najmniejszą wartość funkcji kwadratowej fx=-x2+6x+2 w przedziale -2,5.
Współczynnik przy x2 we wzorze funkcji f jest ujemny, zatem wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół.
Wierzchołek W tej paraboli ma współrzędne

xW=-62-1=3,yW=f3=-32+63+2=11.

Zatem w przedziale -2,3 funkcja f jest rosnąca, a w przedziale 3,5 funkcja f jest malejąca.
Oznacza to, że najmniejszą wartością funkcji f jest f-2 lub f5.
Obliczamy:

f-2=-14, f5=7.

Najmniejszą wartością funkcji f w przedziale -2,5 jest więc 14.

RC1o6YOiSObqo1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 3

Obliczymy największą wartość funkcji kwadratowej fx=-x2-8x+4 w przedziale -3,2.
Współczynnik przy x2 we wzorze funkcji f jest ujemny, zatem wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół. Pierwsza współrzędna wierzchołka W tej paraboli jest równa

xW=--82-1=-4
RgN4ZWAvS1Axx1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja ta jest zatem rosnąca w przedziale (-,-4 i malejąca w przedziale -4,). Ponieważ przedział -3,2 jest zawarty w przedziale -4,), więc funkcja f jest w tym przedziale malejąca. Największą wartość funkcja f przyjmuje w lewym krańcu tego przedziału. Największą wartością funkcji f w przedziale -3,2 jest f-3=19.

Przykład 4

Obliczymy wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej fx=3x-4x+5 w przedziale -2,1.
Przekształcamy wzór funkcji f do postaci iloczynowej.

fx=3x-43x+5

Współczynnik przy x2we wzorze funkcji f jest równy 3, zatem wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę.
Miejscami zerowymi funkcji f są liczby -5 oraz 43. Pierwsza współrzędna wierzchołka W tej paraboli jest równa

xW=-5+432=-116=-156.

więc należy do przedziału -2,1. Oznacza to, że liczba

f-116=3-116-43-116+5=-36112=-30112

jest najmniejszą wartością funkcji f w przedziale -2,1.
Aby ustalić wartość największą, obliczamy wartości funkcji w obu krańcach danego przedziału

f-2=-30

oraz

f1=-6.

Wobec tego 6 jest największą wartością funkcji f w przedziale -2,1.

Przykład 5

Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie x z przedziału -4,1 różnicę tej liczby i kwadratu liczby o 2 mniejszej od niej. Wyznaczymy wzór funkcji f oraz obliczymy jej największą wartość w przedziale -4,1.
Z treści zadania wynika, że funkcja f określona jest wzorem

fx=x-x-22.

Przekształcamy ten wzór

fx=x-x2-4x+4

stąd

fx=-x2+5x-4.

Jest to więc funkcja kwadratowa, a w jej wzorze współczynnik przy x2 jest ujemny. Wykresem funkcji f jest więc parabola o ramionach skierowanych w dół.
Pierwsza współrzędna wierzchołka W tej paraboli jest równa

xW=-52-1=52,

więc liczba xW nie należy do przedziału -4,1.
W przedziale -4,1 funkcja f jest rosnąca, co oznacza, że największą wartością funkcji f jest wartość w prawym krańcu tego przedziału, czyli f1=0.

R746sliMe213h1
Animacja prezentuje różne funkcje kwadratowe f(x) równa się a razy x kwadrat + b razy x +c. Dla dowolnie wybranych współczynników a, b, c szkicuje się wykres funkcji. Wybieramy końce przedziału domkniętego a z indeksem dolnym jeden i a z indeksem dolnym dwa. Następnie na wykresie funkcji pokazuje się wybrany przedział domknięty, wierzchołek paraboli oraz zaznaczony jest fragment wykresu funkcji w wybranym przedziale. W kolejnym kroku, poruszając się po paraboli w wybranym przedziale domkniętym, obserwujemy wartości funkcji. Na wykresie pokazują się wartości funkcji w lewym i prawym końcu przedziału i druga współrzędna wierzchołka. Analizując otrzymane wartości należy podać największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale domkniętym.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
ipzjMCMVgH_d5e270
Przykład 6

Ustalimy, jaki jest możliwie największy iloczyn dwóch liczb, o których wiadomo, że suma pierwszej z nich i podwojonej drugiej jest równa 12.
Oznaczmy przez y pierwszą z tych dwóch liczb, a przez x – drugą z nich.
Wiadomo, że 2x+y=12. Z tej zależności wyznaczamy y=12-2x.
Iloczyn I tych dwóch liczb zapiszemy w zależności od zmiennej x

Ix=12-2xx.

Otrzymaną funkcję kwadratową I zmiennej x zapisujemy wzorem w postaci ogólnej

Ix=-2x2+12x.

Ponieważ współczynnik przy x2 jest ujemny, więc wykresem funkcji I jest parabola skierowana ramionami do dołu.
Pierwsza współrzędna wierzchołka W tej paraboli jest równa

xW=-122-2=3.

Oznacza to, że dla x=3 iloczyn I jest największy. Jest on wtedy równy

I3=-232+123=18.

Zauważmy, że gdy x=3, to

y=12-23=6
Przykład 7

Z prostokątnego arkusza tektury o wymiarach 5 dm7 dm wycięto w rogach kwadraty, tak aby po odpowiednim sklejeniu otrzymać otwarte pudełko. Jaka powinna być długość boku wycinanego kwadratu, aby po sklejeniu pole powierzchni bocznej pudełka było największe? Oblicz największe pole powierzchni bocznej sklejonego pudełka.

R14fHCVL6nFh91
Animacja ilustruje rozwiązanie przykładu. Dany jest prostokąt o bokach 5 dm i 7 dm. Po wycięciu kwadratów w narożnikach prostokąta, otrzymujemy jego boki równe 5 -2x oraz 7 -2x. Wobec tego, pole powierzchni bocznej pudełka można zapisać wzorem: P z indeksem dolnym b (x) = 2x razy (5 -2x) +2x razy (7 -2x) =-8x kwadrat +24x. Zależność tę przedstawia wykres funkcji kwadratowej w układzie współrzędnych. Największe pole powierzchni bocznej otrzymujemy dla x =1,5 dm i wynosi ono 18 decymetrów kwadratowych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 8

Suma długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa 10. Obliczymy najmniejszą wartość kwadratu długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Oznaczmy przez x długość jednej z przyprostokątnych trójkąta, a przez y – długość drugiej z nich.
Wiadomo, że x+y=10. Z tej zależności wyznaczamy y=10-x.
Stosując twierdzenie Pitagorasa, zapisujemy kwadrat k długości przeciwprostokątnej tego trójkąta
kx=x2+10-x2, gdzie x0,10.
Otrzymaną funkcję kwadratową k zmiennej x zapisujemy wzorem w postaci ogólnej

kx=2x2-20x+100.

Parabola o równaniu y=2x2-20x+100 ma ramiona skierowane do góry, a pierwsza współrzędna jej wierzchołka jest równa

xW=--2022=5.

Ponieważ 50,10, więc najmniejszą wartością funkcji k jest

k5=50.

Zauważmy, że wtedy ten trójkąt jest równoramienny, a każda z przyprostokątnych ma długość 5.

Przykład 9

Właściciel sklepu z odzieżą sprowadza z hurtowni koszulki, płacąc po 12 zł za sztukę i sprzedaje średnio 200 sztuk miesięcznie po 20 zł. Zaobserwowano, że każda kolejna obniżka ceny sprzedaży koszulki o 50 groszy zwiększa sprzedaż miesięczną o 20 sztuk. Jaką cenę sprzedaży jednej koszulki powinien ustalić właściciel sklepu, aby jego miesięczny zysk był największy?
Przyjmijmy, że cenę koszulki obniżano x razy o 50 groszy. Wtedy cena sprzedaży jednej koszulki to 20-0,5x zł, co oznacza, że wówczas zysk właściciela sklepu to 8-0,5. Z obserwacji wynika, że przy tak ustalonej cenie w ciągu miesiąca zostanie sprzedanych 200+2x koszulek. Zatem miesięczny zysk w złotych właściciela sklepu jest równy

8-0,5x20x+200,

gdzie x jest dodatnią liczbą całkowitą.
Rozpatrzmy funkcję f określoną wzorem

fx=8-0,5x20x+200.

Jest to funkcja kwadratowa, której wzór możemy zapisać w postaci iloczynowej fx=-10x-16x+10.
Parabola będąca wykresem funkcji f ma ramiona skierowane do dołu, a pierwsza współrzędna jej wierzchołka jest równa

xW=-10+162=3.

Zatem dla x=3 funkcja f osiąga wartość największą, równą f3=1690.
Dla tej wartości x spełnione są warunki zadania. Wynika z tego, że sprzedawca osiągnie największy miesięczny zysk w kwocie 1690 zł, kiedy ustali, że cena sprzedaży jednej koszulki jest równa 18 zł 50 groszy.
Uwaga. W powyższym przykładzie funkcja f nie jest modelem opisującym zysk ze sprzedaży koszulek. Natomiast korzystając z jej własności, umiemy wskazać taką dodatnią liczbę całkowitą x, dla której zysk, wyrażający się wzorem 8-0,5x20x+200, jest największy.

Przykład 10

Wykażemy, że jeśli a>0b>0 oraz a+b=2, to a2+b22.
Z zależności a+b=2 wyznaczamy b=2-a.
Zapisujemy sumę S kwadratów liczb ab jako funkcję zmiennej a.
Sa=a2+2-a2, gdzie a0,2.
Otrzymaną funkcję kwadratową S zmiennej a zapisujemy wzorem w postaci ogólnej

Sa=2a2-4a+4.

Parabola o równaniu y=2x2-4x+4 ma ramiona skierowane do góry, a pierwsza współrzędna jej wierzchołka jest równa

xW=--422=1.

Ponieważ 10,2, więc najmniejszą wartością funkcji S jest

S1=2.

Oznacza to, że jeśli a>0b>0 oraz a+b=2, to a2+b22.

ipzjMCMVgH_d5e419
classicmobile
Ćwiczenie 1

Jaka jest największa wartość funkcji kwadratowej fx=-x2+3 w przedziale -2,1?

RWkeM6fr7br5c
static
classicmobile
Ćwiczenie 2

Jaka jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej fx=x-3x+5 w przedziale -3,0?

R13FUDOPg64Kx
static
classicmobile
Ćwiczenie 3

Najmniejsza wartość funkcji kwadratowej fx=2-xx+4 w przedziale -2,1 jest równa

R4kRWKF6DsGM6
static
classicmobile
Ćwiczenie 4

Największa wartość funkcji kwadratowej fx=-x2+8x-3 w przedziale -5,-2 jest równa

RkzEEAI4QWYPu
static
classicmobile
Ćwiczenie 5

Najmniejsza wartość funkcji kwadratowej fx=x2-4x+c w przedziale 0,3 jest równa 1. Wtedy

R1KID6LqoXZWn
static
A
Ćwiczenie 6

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej f.

RIbKNoW4B9C1C1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na podstawie tego wykresu ustal i zapisz wartość największą oraz wartość najmniejszą funkcji f w podanym przedziale.

  1. -1,1

  2. 0,3

  3. 4,5

A
Ćwiczenie 7

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej f.

RKLb9mkFUKnlh1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na podstawie tego wykresu ustal i zapisz wartość największą oraz wartość najmniejszą funkcji f w podanym przedziale.

  1. -6,-4

  2. -5,-2

  3. -1,0

A
Ćwiczenie 8

Oblicz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej fx=x+12-5 w podanym przedziale.

  1. -4,-2

  2. -3,0

  3. 2,5

A
Ćwiczenie 9

Oblicz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej fx=-2x-32+1 w podanym przedziale.

  1. -1,0

  2. 1,4

  3. 5,6

ipzjMCMVgH_d5e806
A
Ćwiczenie 10

Oblicz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej fx=x2-10x+7 w podanym przedziale.

  1. -1,3

  2. 4,6

  3. 7,10

A
Ćwiczenie 11

Oblicz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej fx=-x2-2x+5 w podanym przedziale.

  1. -5,-3

  2. -2,0

  3. 1,4

A
Ćwiczenie 12

Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej fx=x+2x-5 w  przedziale -1,0.

A
Ćwiczenie 13

Oblicz największą wartość funkcji kwadratowej fx=x+13-x w przedziale 0,4.

A
Ćwiczenie 14

Oblicz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej fx=2x-1x+3 w przedziale -3,1.

A
Ćwiczenie 15

Oblicz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej fx=x+25-2x w przedziale -1,0.

A
Ćwiczenie 16

Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie x z przedziału -2,3 sumę tej liczby i jej kwadratu. Wyznacz wzór funkcji f oraz oblicz:

  1. jej wartość najmniejszą w przedziale -2,3

  2. jej wartość największą w przedziale -2,3

A
Ćwiczenie 17

Ustal, jaka jest możliwie najmniejsza suma kwadratów dwóch liczb, o których wiadomo, że suma pierwszej z nich i podwojonej drugiej jest równa 5.

ipzjMCMVgH_d5e1013
A
Ćwiczenie 18

Jaki jest największy iloczyn dwóch liczb, o których wiadomo, że suma podwojonej pierwszej z nich i siedmiokrotności drugiej jest równa 56. Jakie to liczby?

A
Ćwiczenie 19

Wśród wszystkich prostopadłościanów o podstawie kwadratowej, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 12, jest taki, który ma największe pole powierzchni całkowitej. Oblicz długość krawędzi podstawy tego prostopadłościanu.

A
Ćwiczenie 20

Siatką o długości 98 m mamy ogrodzić działkę w kształcie prostokąta. Na ogrodzonym terenie przy jednym boku od strony siatki przewidujemy ścieżkę o szerokości 1 m, pozostałą część ma zajmować klomb kwiatowy. Jak dobrać wymiary działki, aby klomb kwiatowy zajmował powierzchnię największą z możliwych? Oblicz tę największą powierzchnię.

A
Ćwiczenie 21

Właściciel sklepu spożywczego zamawia chleb w piekarni, płacąc 1,30 zł za kilogramowy bochenek. Kiedy ustalił cenę sprzedaży chleba na 2 zł, sprzedawał dziennie 60 bochenków. Zauważył jednak, że każda obniżka ceny o 5 gr zwiększa liczbę sprzedanych bochenków o 10. Jaką cenę za jeden bochenek powinien ustalić właściciel sklepu, aby jego dzienny zysk ze sprzedaży chleba był największy?

A
Ćwiczenie 22

Wykaż, że jeśli a>0b>0 oraz a+b=10, to ab25.

A
Ćwiczenie 23

Wykaż, że jeśli a>0b>0 oraz 2a+b=6, to ab92.

A
Ćwiczenie 24

Wykaż, że jeśli a>0b>0 oraz 3a+5b=30, to ab15.

A
Ćwiczenie 25

Wykaż, że jeśli a>0b>0 oraz a+b=8, to a2+b232.

A
Ćwiczenie 26

Wykaż, że jeśli a>0b>0 oraz a+3b=20, to a2+b240.

A
Ćwiczenie 27

Wykaż, że jeśli a>0b>0 oraz 5a+2b=58, to a2+b2116.