Wróć do informacji o e-podręczniku Udostępnij materiał Wydrukuj
Ri2mwkSO8AqPK1
Animacja
Wielokąt foremny
Definicja: Wielokąt foremny

Wielokątem foremnym nazywamy wielokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe.

RaVNhDhBqWW5N1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
imiHFXvYdD_d5e131

Trójkąt foremny

Ważne!

Trójkąt równoboczny jest wielokątem, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe.
Jest on przykładem wielokąta foremnego.

Przykład 1

Zauważmy, że środki okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym pokrywają się. Środek okręgu wpisanego (opisanego) leży w punkcie przecięcia wysokości trójkąta.
Tylko w trójkącie równobocznym punkt przecięcia się symetralnych oraz dwusiecznych leży w punkcie przecięcia wysokości.
Punkt przecięcia dzieli taki odcinek w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka trójkąta.
Zatem promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest dwa razy dłuższy od promienia okręgu wpisanego w  ten trójkąt.

Re0ZrtUW5L5kF1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Czworokąt foremny

Zapamiętaj!
  • Czworokąt, który jest wielokątem foremnym to kwadrat.

  • Na kwadracie można opisać okrąg i w kwadrat można wpisać okrąg.

RjGaPMoXl7xwU1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  • Promień okręgu wpisanego w kwadrat jest równy połowie długości boku kwadratu.

  • Promień okręgu opisanego na kwadracie jest równy połowie długości jego przekątnej.

Przykład 2

Narysuj na kartce kwadrat

  • zaznacz jego przekątne,

  • wytnij ten kwadrat,

  • odrysuj go na kartce,

  • połóż wycięty kwadrat tak, aby pokrywał rysunek,

  • obróć wycięty kwadrat o 45° wokół punktu przecięcia przekątnych,

  • obrysuj figurę, która powstała z kwadratu narysowanego i  wyciętego.

Jak myślisz, czy powstały wielokąt jest wielokątem foremnym?

imiHFXvYdD_d5e275

Pięciokąt foremny

Następny wielokąt foremny to pięciokąt foremny.

RvBuL1JhC4bBM1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wielu wybitnych matematyków poszukiwało najprostszych sposobów konstrukcji tego wielokąta przy pomocy cyrkla i linijki. Poniżej przedstawiona jest jedna z  najbardziej znanych konstrukcji. Spróbuj wykonać ją w zeszycie.

R1a2Zq74uFqPB1
Animacja
Przykład 3

Obliczymy miary kątów pięciokąta.
W tym celu dzielimy go na trójkąty równoramienne.

R1Sn7IRMmvTNc1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kąt miedzy równymi ramionami każdego z tych trójkątów to piąta część kąta 360°.

α=15 360°=72°

Zatem kąt przy podstawie trójkąta:

β=180°-72°2=54°

Kąt pięciokąta jest dwukrotnie większy od kąta β

γ=2 54°=108°

Każdy kąt pięciokąta foremnego ma więc miarę 108°.

imiHFXvYdD_d5e371

Sześciokąt foremny

Zauważmy, że w trójkącie równobocznym każdy z kątów ma miarę 60°. Możemy więc takie trójkąty ułożyć w ten sposób, aby miały jeden punkt wspólny tak, jak na rysunku.

R1RHkjoZ7df6Y1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Powstanie wtedy sześciokąt o równych bokach. Każdy kąt tego wielokąta ma miarę

260°=120°

Jest to więc wielokąt foremny. Nazywamy go sześciokątem foremnym.
Zauważmy, że długość boku sześciokąta jest równa połowie dłuższej przekątnej.

Przykład 4

Sześciokąt foremny można skonstruować, dzieląc okrąg na równe części.
Opis konstrukcji

  • Rysujemy okrąg M o promieniu a.

  • Na okręgu zaznaczamy dowolny punkt A.

  • Z punktu A wykreślamy okrąg o promieniu a (wystarczy narysować łuk tego okręgu).

  • Punkt przecięcia okręgów oznaczamy B.

  • Z punktu B wykreślamy okrąg o promieniu a.

  • Punkt przecięcia okręgów (różny od punktu A) oznaczamy C.

  • Postępujemy w podobny sposób, aż do uzyskania punktów D, E, F leżących na okręgu M.

  • Łączymy kolejne punkty odcinkami.

  • Otrzymany wielokąt ABCDEF jest szukanym sześciokątem foremnym.

Otrzymany sześciokąt jest wpisany w okrąg (każdy z jego wierzchołków leży na okręgu).

R167rseKJqaNm1
Animacja

Siedmiokąt foremny

Siedmiokąt można narysować, wykorzystując konstrukcję neusis, co oznacza po grecku „dopasowanie”.

RbkpYfF75H8by1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ciekawostka

Siedmiokąt foremny jest przykładem wielokąta foremnego, którego nie można skonstruować za pomocą tylko linijki i cyrkla. Udowodnił to wybitny niemiecki matematyk Karol Gauss (1777-1855), który tym samym położył kres wielowiekowym wysiłkom matematyków, próbujących znaleźć taką konstrukcję.

RJ0wc7wvLsc7V1
Aplet Geogebry
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Uwaga!

Własności wielokąta foremnego:

  • wszystkie boki równe

  • wszystkie kąty równe

  • można na nim opisać okrąg

  • można weń wpisać okrąg

  • środki okręgu wpisanego i opisanego pokrywają się

  • przekątne nie muszą być równe

Wielokąty gwiaździste

Wykorzystując niektóre wielokąty foremne, można budować wielokąty, zwane gwiaździstymi.
Najpopularniejszym z nich jest pięciokąt gwiaździsty znany od czasów starożytnych pod nazwą pentagramu. Rysunek pentagramu był znakiem rozpoznawczym uczniów Pitagorasa.

Przykład 5

Na bazie siedmiokąta można wykreślić siedmiokąt gwiaździsty zwany z greckiego heptagramem.

R1AtlAvd6q5jA1
Animacja ilustruje dwa różne siedmiokąty gwiaździste. Otrzymujemy je kreśląc przekątne siedmiokąta foremnego - omijając za każdym razem jeden lub dwa wierzchołki.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Tworząc formy gwiaździste, kreślimy przekątne wielokąta, omijając za każdym razem tę samą liczbę wierzchołków. Inną gwiazdę otrzymamy, gdy będziemy omijać dwa wierzchołki, inną, gdy trzy.

RMekUxg2H5L7C1
Animacja ilustruje trzy różne dziewięciokąty gwiaździste. Otrzymujemy je kreśląc przekątne dziewięciokąta foremnego - omijając za każdym razem jeden, dwa lub trzy wierzchołki.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 6

Zastanówmy się, czy wielokąty foremne są figurami środkowosymetrycznymi. Sprawdzimy to za pomocą komputera.
Przesuwając punkty odpowiednioP1, P2,… po bokach wielokątów, obserwujmy zmianę położenia punktów P1, P2,…. Punkty P1, P2,… leżą w tej samej odległości od punktów S1, S2 … co punkty P1, P2,…

RUyDVuHeZFmT31
Animacja pokazuje, że środek symetrii mają tylko wielokąty foremne o parzystej liczbie wierzchołków. Pokazano na przykładzie: trójkąta równobocznego, kwadratu, pięciokąta foremnego i sześciokąta foremnego.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Zauważmy, że środek symetrii mają tylko wielokąty foremne o parzystej liczbie wierzchołków.

A
Ćwiczenie 1

Znajdź miary kątów siedmiokąta foremnego i oblicz sumę miar tych kątów.

Ciekawostka

Większość ciał stałych ma budowę krystaliczną. Charakteryzuje się ona regularnym ułożeniem atomów, które tworzą tzw. siatkę krystaliczną. Bardzo często atomy w krysztale ułożone są w  wierzchołkach wielokątów foremnych, a te z kolei tworzą struktury mające kształt brył nazywanych wielościanami foremnymi.

imiHFXvYdD_d5e551
A
Ćwiczenie 2

Które spośród wielokątów na rysunku to wielokąty foremne?

RstPQUsyG7SUE1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 3

Skonstruuj kwadrat

  1. o boku długości 4 cm

  2. którego obwód jest równy 20 cm

  3. którego przekątna ma długość 4 cm

A
Ćwiczenie 4

Odpowiedz na pytania.

  1. Czy wielokąty foremne są osiowosymetryczne?

  2. Ile osi symetrii ma trójkąt równoboczny?

  3. Ile osi symetrii ma kwadrat? A pięciokąt foremny?

  4. Ile osi symetrii ma n-kąt foremny?

Skonstruuj sześciokąt foremny.
Wykorzystując konstrukcję sześciokąta foremnego, skonstruuj dwunastokąt foremny.

A
Ćwiczenie 5

Zapisz ile przekątnych ma

  1. kwadrat

  2. pięciokąt foremny

  3. sześciokąt foremny

  4. n-kąt foremny

A
Ćwiczenie 6

Bok sześciokąta foremnego ma długość 6 cm.

  1. Oblicz obwód tego sześciokąta.

  2. Uzasadnij, że każda z przekątnych tego sześciokąta ma długość nie większą od 12 cm.

  3. Oblicz sumę kątów tego sześciokąta.

  4. Jak znaleźć środek okręgu wpisanego w ten sześciokąt?

  5. Czy wykorzystując ten sześciokąt, można zbudować wielokąt gwiaździsty? Jeśli tak – narysuj go.

A
Ćwiczenie 7

Określ ile boków ma wielokąt foremny, którego miara kąta jest równa

  1. 60°

  2. 90°

  3. 120°

  4. 150°

A
Ćwiczenie 8

Na kwadracie można opisać okrąg. Czy to jedyny czworokąt, na którym można opisać okrąg? Narysuj inne czworokąty, na których można opisać okrąg.

A
Ćwiczenie 9

Narysuj sześciokąt foremny o boku 3 cm i opisz na nim okrąg.

imiHFXvYdD_d5e804
C
Ćwiczenie 10

Ile form gwiaździstych ma jedenastokąt i trzynastokąt foremny? Które z tych form można wykreślić jednym pociągnięciem ołówka?

classicmobile
Ćwiczenie 11

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R2EgV6oFnx18H
static
B
Ćwiczenie 12

Suma kątów wielokąta foremnego jest równa 720°, a jego obwód 24 cm. Oblicz długość jego boku.

B
Ćwiczenie 13

Narysuj kwadrat. Zaznacz środki jego boków. Połącz zaznaczone punkty tak, aby otrzymać czworokąt. Czy otrzymany czworokąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

B
Ćwiczenie 14

Narysuj kwadrat. Podziel każdy z jego boków na trzy równe części. Połącz punkty podziału tak, aby otrzymać ośmiokąt. Czy otrzymany ośmiokąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

B
Ćwiczenie 15

Narysuj trójkąt równoboczny. Zaznacz środki jego boków. Połącz zaznaczone punkty tak, aby otrzymać trójkąt. Czy otrzymany trójkąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

A
Ćwiczenie 16

Narysuj trójkąt równoboczny. Podziel każdy z jego boków na trzy równe części. Połącz punkty podziału tak, aby otrzymać sześciokąt. Czy otrzymany sześciokąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

B
Ćwiczenie 17

Wysokość w trójkącie równobocznym ma długość 6 cm. Jaką długość ma promień okręgu wpisanego w ten trójkąt? A opisanego na tym trójkącie?

A
Ćwiczenie 18

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy 5 dm. Jaką długość ma promień okręgu opisanego na tym trójkącie? Jaką długość ma wysokość tego trójkąta?

A
Ćwiczenie 19

Promień okręgu wpisanego w kwadrat ma długość 10 mm. Oblicz pole i obwód kwadratu.

A
Ćwiczenie 20

Promień okręgu opisanego na kwadracie ma długość 8 mm. Oblicz pole kwadratu.

K
Ćwiczenie 21

Zapoznaj się z metodami konstrukcji wielokąta przy pomocy cyrkla i linijki.