Wróć do informacji o e-podręczniku Udostępnij materiał Wydrukuj

Wielokąt

Wielokąt, który ma n- boków, nazywamy n - kątem.

R1cP7ibpHV4RF1
Animacja
A
Ćwiczenie 1
R4MnEN3ZZLuOw1
Zadanie interaktywne.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Obwód wielokąta
Definicja: Obwód wielokąta

Obwód wielokąta to suma długości wszystkich jego boków.

Przykład 1

Stosunek długości dwóch boków prostokąta jest równy 3: 2. Obwód tego prostokąta jest równy 60 dm. Obliczymy pole prostokąta.
Oznaczmy

  • 3x – długość prostokąta (w dm)

  • 2x – szerokość prostokąta (w dm)

    RBWIyAMR3CgCZ1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    Zapisujemy i rozwiązujemy równanie wynikające z treści zadania.

    23x+22x=60
    6x+4x=60
    10x=60
    x=6

    Obliczamy długości boków prostokąta.

  • 36=18dm – długość prostokąta

  • 26=12dm – szerokość prostokąta

Obliczamy pole prostokąta.

P=1812=216 (dm2)

Odpowiedź. Pole prostokąta jest równe 216 dm2.

Ciekawostka
RoH51uvhiMGFe1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Greckie okręty wojenne wyposażone były w żagle prostokątne. Pełniły one rolę pomocniczą, gdyż główny napęd okrętów stanowiły wiosła.

RGoFKDNx49u4r1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Egipcjanie, żeglując po Nilu, posługiwali się żaglami trójkątnym, wykorzystującymi wiatr wiejący z pustyni w poprzek rzeki.

RErUR0x4ajsm21
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Łodzie w północnej Europie korzystały z pojedynczego żagla w kształcie trapezu lub prostokąta.

i57TWwqCTj_d5e198

Przekątne wielokąta

Rs13ESpbLQUgz1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przekątna wielokąta
Definicja: Przekątna wielokąta

Przekątna wielokąta to odcinek łączący dwa wierzchołki tego wielokąta, nieleżące przy tym samym boku.

A
Ćwiczenie 2

Narysuj przekątne wielokąta.

R1Q2xIi7rZime1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 3

Rysunek przedstawia wielokąty z zaznaczonymi przekątnymi.

Rp30ML9wUTHXe1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Uzupełnij tabelę.

Tabela. Dane

wielokąt

liczba przekątnych wychodzących z jednego wierzchołka

liczba przekątnych

czworokąt

pięciokąt

sześciokąt

siedmiokąt

ośmiokąt

Przekątne wielokąta
Twierdzenie: Przekątne wielokąta

Niech n będzie liczbą naturalną większą od 3.
Wielokąt o  n – bokach ma nn-32 przekątnych.

Przykład 2

Obliczymy, ile przekątnych ma stukąt.
Korzystamy ze wzoru na liczbę przekątnych n- kąta.

n=100
nn-32=100100-32=5097=4850

Odpowiedź: Stukąt ma 4850 przekątnych.

Wielokąt wypukły – dowolne dwa jego punkty można połączyć odcinkiem zawartym w  wielokącie.

Rxochgp22FCRV1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wielokąt wklęsły – wielokąt, który nie jest wypukły.

R1SiDbsnfuH5N1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
i57TWwqCTj_d5e330

Suma kątów wielokąta

Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180°.

R4Q4jkm6ty6Qz1
Animacja prezentuje trójkąt A B C, którego kąty A =80 stopni i B =51 stopni.. Kąty A, B, C tworzą kąt półpełny, więc kąt C ma miarę 49 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 4

Każdy wielokąt wypukły można podzielić na trójkąty o wspólnym wierzchołku, który jest zarazem wierzchołkiem wielokąta.

  • Na ile takich trójkątów można podzielić czworokąt? A pięciokąt? A sześciokąt?

  • A siedmiokąt? Określ, na ile takich trójkątów można podzielić ośmiokąt i sprawdź swoje przypuszczenia, wykonując odpowiedni rysunek.

  • Czy zauważasz jakąś zależność między liczbą kątów wielokąta a liczbą utworzonych trójkątów?

  • Czy już wiesz, na ile trójkątów można podzielić w ten sposób 1024 – kąt?

    RxqAJjNYzAJbB1
    Animacja pokazuje różne wielokąty, które są podzielone na trójkąty o wspólnym wierzchołku. Suma miar kątów każdego trójkąta wynosi 180 stopni, zatem suma miar kątów wewnętrznych wielokąta jest równa k razy 180 stopni (gdzie k to ilość trójkątów, na które można podzielić dany wielokąt). Wielokąt o n wierzchołkach można podzielić na k = n -2 trójkąty, stąd suma miar kątów wielokąta o n wierzchołkach jest zawsze równa: (n -2) razy 180 stopni.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 3

Podział wielokątów na trójkąty jest przydatny przy określeniu sumy miar kątów dowolnego wielokąta.

  1. Czworokąt podzielony na trójkąty.

    R1ET2lawMyirP1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    Suma miar kątów czworokąta jest równa 2180°=360°.

  2. Pięciokąt podzielony na trójkąty.

    RgDGrl2Cu4h0C1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    Każdy n-kąt wypukły można podzielić na n-2 trójkąty. Suma miar kątów w każdym trójkącie wynosi 180°, a to oznacza, że suma miar kątów w  n-kącie jest równa (n-2)180°.

RedjRFugXNKGJ1
Animacja
Suma miar kątów
Twierdzenie: Suma miar kątów

Niech n będzie liczbą naturalną większą od 2.
Suma miar kątów n – kąta jest równa n-2180°.

A
Ćwiczenie 5

Wyznacz sumę miar kątów

  1. 9- kąta

  2. 102- kąta

Przykład 4

Wyznaczymy miarę kąta sześciokąta foremnego.

R1LnEilBD6DwL1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Suma miar wszystkich kątów sześciokąta wynosi

6-2180°=4180°=720°

W sześciokącie foremnym kąty są równe. Jest ich sześć, zatem miara jednego z nich jest równa

720°:6=120°

Odpowiedź. Miara kąta sześciokąta foremnego jest równa 120°.

Przykład 5

W pewnym wielokącie suma miar kątów jest równa 1440°. Ile boków ma ten wielokąt?
Oznaczmy: x – liczba boków wielokąta ( x – liczba naturalna dodatnia).
Otrzymujemy równanie

x-2180°=1440°

Równanie rozwiązujemy metodą działań odwrotnych.

  • Działaniem odwrotnym do mnożenia jest dzielenie.

x-2180°=1440°/:180° 
x-2=8
  • Działaniem odwrotnym do odejmowania jest dodawanie.

x-2=8/+2 
x=10

Odpowiedź: Wielokąt, którego suma miar kątów jest równa 1440° to dziesięciokąt.

i57TWwqCTj_d5e532

Trapezy

Czworokąty, podobnie jak trójkąty można klasyfikować ze względu na miary ich kątów oraz długości ich boków.

R1AAGrBGY463f1
Animacja przedstawia trapez. Zmieniając położenie wierzchołków, można otrzymać trapez równoramienny, trapez nierównoramienny, trapez prostokątny nierównoramienny i trapez prostokątny równoramienny.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Trapez
Definicja: Trapez

Jeśli czworokąt ma co najmniej jedną parę boków równoległych, to nazywamy go trapezem.

RRiVn2C738VSA1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Boki równoległe trapezu nazywamy jego podstawami, zaś dwa pozostałe boki to ramiona trapezu.

Trapez równoramienny
Definicja: Trapez równoramienny

Trapez, którego ramiona są równe i niebędący równoległobokiem nazywamy trapezem równoramiennym.

R6AdJWT9lBrje1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

W trapezie równoramiennym

  • przekątne są równe

  • miary kątów leżących przy tej samej podstawie są równe

Trapez prostokątny
Definicja: Trapez prostokątny

Trapez, w którym przynajmniej jeden kąt ma miarę 90°, nazywamy trapezem prostokątnym.

R140BgRpKjYcJ1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W trapezie prostokątnym ramię prostopadłe do podstawy jest zarazem wysokością.

R1WYatkevEzJV1
Animacja
A
Ćwiczenie 6
R5PhMlPI9PwRt1
Zadanie interaktywne.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Suma kątów leżących przy ramieniu trapezu
Twierdzenie: Suma kątów leżących przy ramieniu trapezu

Suma miar kątów leżących przy jednym z ramion trapezu jest równa 180°.

i57TWwqCTj_d5e668
A
Ćwiczenie 7

Uzasadnij, że suma miar kątów przy jednym z ramion trapezu jest równa 180°.

RfgSONNP38hTh1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 8

Oblicz pole każdego z trapezów. Przyjmij jako jednostkę pola pole jednej kratki.
Czy pamiętasz, jakim wzorem wyraża się pole trapezu?

REpXMxPiX90Va1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zapamiętaj!

Pole trapezu o podstawach a, b i wysokości h wyraża się wzorem.

R1Pv0DyFd1CEP1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
P=12a+bh
Przykład 6

Obwód trapezu równoramiennego jest równy 22 cm. Jedna podstawa ma długość 3 cm, a druga jest trzykrotnie dłuższa. Wysokość jest o 1 cm krótsza od długości ramienia. Oblicz pole trapezu.
Zaznaczamy na rysunku sytuację przedstawioną w zadaniu, oznaczając a – długość ramienia trapezu. Dłuższa podstawa jest równa

33 cm = 9 cm
R1d0aVrGwJaZW1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Znajdziemy najpierw długość ramienia trapezu. Obwód trapezu jest równy 22 cm, zatem

2a+3+9=22
2a+12=22
2a=22-12
2a=10
a=10:2a=5

Ramię trapezu ma długość 5 cm.
Wysokość jest o 1 cm krótsza niż ramię, więc ma długość

5 cm  1 cm = 4 cm

Obliczamy pole trapezu, korzystając z odpowiedniego wzoru.

P=12a+bh
P=123+94
P= 24 cm2

Odpowiedź: Pole trapezu jest równe 24 cm2.

Przykład 7

Pole trapezu równoramiennego ABCD jest równe 72 cm2. Wysokość trapezu jest dwa razy dłuższa od krótszej podstawy i wynosi 8 cm. Oblicz długości odcinków, na jakie wysokość poprowadzona z wierzchołka D dzieli podstawę AB.

R19W4vgPMLoY21
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy długość a krótszej podstawy

a= 8 cm:2 =4 cm

Obliczamy długość drugiej podstawy, korzystając ze wzoru na pole trapezu.

a+b2h=P
4+b28=72
(4+b)4=72/:4
4+b=18
b=18-4
b=14

Druga podstawa ma długość 14 cm.
Zauważmy, że gdy poprowadzimy wysokości z wierzchołków CD to podzielą one dłuższą podstawę na trzy części. Środkowa z nich jest równa krótszej podstawie, dwie pozostałe mają równe długości.
Oznaczmy: x – długość jednej z tych części.

x+4+x=14
2x=14-4
2x=10 /:2
x=5

Wysokość DE podzieliła dłuższą podstawę na odcinki AEEB, z których jeden ma długość 5 cm, a drugi

14 cm  5 cm= 9 cm
i57TWwqCTj_d5e850

Równoległoboki

Równoległobok
Definicja: Równoległobok

Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych, nazywamy równoległobokiem.

R1XGLM1IPaopf1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Romb
Definicja: Romb

Jeśli w równoległoboku wszystkie boki są równe, to równoległobok nazywamy rombem.

Ważne!
  • Jeśli kąty w równoległoboku są równe, to taki równoległobok jest prostokątem.

  • Aby równoległobok był prostokątem, wystarczy, aby jeden jego kąt był prosty.

Przypomnijmy kilka ważnych własności równoległoboku.

  • Punkt przecięcia przekątnych równoległoboku dzieli każdą z nich na połowę,

    R17lLZcphXebm1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  • Przekątna równoległoboku dzieli go na dwa jednakowe trójkąty,

    R1Z3ZF99AlCi71
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  • Punkt przecięcia przekątnych wyznacza środek symetrii równoległoboku,

    RDIV95zwtPOo31
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  • Przeciwległe kąty równoległoboku mają równe miary,

    R18V8N0iHtFr71
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  • Suma miar kątów leżących przy jednym boku równoległoboku jest równa 180°.

    Rhw3mUSjeAgg91
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Równoległobok ma dwie wysokości. W prostokącie wysokości są zarazem długościami boków.

RxeTHWE9rOAaS1
Animacja
Pole równoległoboku
Twierdzenie: Pole równoległoboku

Pole równoległoboku jest równe iloczynowi wysokości równoległoboku i długości podstawy, do której ta wysokość została poprowadzona.

RjaGzoKKXiqW61
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole kwadratu oraz pole rombu można obliczyć inaczej.

  • Pole kwadratu jest równe połowie kwadratu długości jego przekątnej.

  • Pole rombu jest równe połowie iloczynu długości jego przekątnych.

    R121btmsnpW0Z1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 8

Pole równoległoboku ABCD jest równe 24 dm2, a długości jego boków są równe 6 dm12 dm.
Przekątne równoległoboku przecinają się w punkcie S.

  1. Oblicz wysokości równoległoboku.

  2. Oblicz pole trójkąta ABC.

  3. Oblicz wysokość trójkąta ASB.

Rozwiązanie.

  1. Równoległobok ma dwie wysokości. Przyjmijmy oznaczenia takie, jak na rysunku. Korzystamy ze wzoru na pole równoległoboku – zapisujemy odpowiednie równości, z których wyznaczamy wysokości h oraz H.

    RrGtJHAoOpFuX1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    h12=24H6=24 h=2H=4 Odpowiedź: Wysokości równoległoboku są równe 2 dm4 dm.

  2. Przekątna dzieli równoległobok na dwa takie same trójkąty. Zatem pole trójkąta ABC jest równe połowie pola równoległoboku.

    RjLgPdXM0HUgL1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    P=242=12 dm2Odpowiedź: Pole trójkąta ABC jest równe 12 dm2.

  3. RVr5Njp47TQ1j1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    Wysokość trójkąta ASB stanowi połowę długości wysokości h równoległoboku.

    22=1

    Odpowiedź: Wysokość trójkąta ASB jest równa 1 dm.

i57TWwqCTj_d5e1087

Czworokąty osiowosymetryczne

Przykład 9

Zastanów się, które czworokąty mają oś symetrii. Sprawdź swoje przypuszczenia, zmieniając położenie wierzchołków czworokątów.
Zmieniaj położenie punktów A,B, H,E. Punkty C, D, G, F są obrazami tych punktów w symetrii osiowej.
Jakie czworokąty możemy uzyskać?

RObrS4FvDxO9R1
Animacja pokazuje czworokąty osiowosymetryczne. Osią symetrii czworokąta jest albo jego przekątna albo prosta przechodząca przez środki jego przeciwległych boków. Zmieniając położenie wierzchołków deltoidu A B C D możemy otrzymać kwadrat lub romb. Zmieniając położenie wierzchołków prostokąta E F G H możemy otrzymać kwadrat lub trapez.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Deltoid
Definicja: Deltoid

Deltoidem nazywamy czworokąt, którego jedna z przekątnych leży na jego osi symetrii.

RwKCBWtLp3p3L1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Własności deltoidu:

  • Oś symetrii deltoidu jest symetralną drugiej przekątnej.

  • Przekątne deltoidu są prostopadłe.

  • Dwa sąsiednie boki deltoidu są tej samej długości.

  • Kąty między różnymi bokami są równe.

Ciekawostka
Rz2ZteuQNRlcP1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ciekawostka

Latawce prawdopodobnie wynaleziono w Chinach ok. 500 r. p.n.e. Początkowo były budowane w kształcie ptaków lub bajkowych zwierząt, np. smoków. Często używano ich w czasie działań wojennych, aby przestraszyć wroga. W Polsce w tym celu wykorzystywano latawce w bitwie pod Legnicą w 1241 r. Przez wieki latawce były pomocne w  badaniach meteorologicznych, ratownictwie morskim, wykonywaniu zdjęć z powietrza.
Latawce mogą się wznieść na wysokość 9,5 km.
Obecnie latawce mają najczęściej kształt deltoidów.

i57TWwqCTj_d5e1171
A
Ćwiczenie 9

Podłoga ma kształt kwadratu o boku długości 2,5 m. Drzwi mają szerokość 1 m. Ile sztuk listew przypodłogowych o długości 3,5 m każda należy kupić, aby umocować je wzdłuż ścian?

A
Ćwiczenie 10

Latawiec ma kształt deltoidu. Długości jego przekątnych wynoszą 40 cm oraz 80 cm. Ile tubek farby należy kupić, aby pomalować go z obu stron, jeśli wiadomo, że jedna tubka farby wystarczy na pomalowanie 0,1 m2 powierzchni?

A
Ćwiczenie 11

Prostokątna patchworkowa serwetka o wymiarach 1,2 m0,6 m zszyta jest z  jednakowych kolorowych kwadratów o boku długości 0,2 m. Oblicz, ile takich kwadratów użyto na wykonanie serwetki.

B
Ćwiczenie 12

Jakie najmniejsze pole powierzchni musi mieć prostokątna korkowa tablica, na której chcemy przypiąć 15 zdjęć o wymiarach 12 cm20 cm?

A
Ćwiczenie 13

Jeden bok równoległoboku, którego obwód wynosi 36 cm, jest dwa razy krótszy od drugiego boku. Oblicz długości boków tego równoległoboku.

A
Ćwiczenie 14

Oblicz obwód czworokąta, w którym

  1. najkrótszy bok ma długość 8 cm, a każdy następny jest o 6 cm dłuższy od poprzedniego,

  2. najdłuższy bok ma długość 46 dm, a każdy następny jest o 5 dm krótszy od poprzedniego,

  3. jeden z boków ma długość 6,5 m, przekątne są prostopadłe i równe.

A
Ćwiczenie 15

Obwód kwadratu K wynosi 7, a obwód kwadratu K1 jest równy 8. Oblicz

  1. stosunek długości boku kwadratu K do długości boku kwadratu K1

  2. różnicę pola kwadratu K1 i kwadratu K

i57TWwqCTj_d5e1352
B
Ćwiczenie 16

Obwód rombu jest równy 24 cm. Przekątna podzieliła romb na dwa trójkąty równoboczne. Oblicz obwód jednego z tych trójkątów.

classicmobile
Ćwiczenie 17

Ile przekątnych ma dziesięciokąt?

R1xpw4kNnOUlt
static
A
Ćwiczenie 18
R1eZsgOhOcOIq1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
C
Ćwiczenie 19

Czy wielokąt może mieć 31 przekątnych? Odpowiedź uzasadnij.

B
Ćwiczenie 20

Podaj przykład

  1. wielokąta, w którym przekątne są równe.

  2. wielokąta foremnego, w którym przynajmniej dwie przekątne mają różne długości.

A
Ćwiczenie 21

Obwód sześciokąta foremnego jest równy 27. Jaką długość ma najdłuższa przekątna w tym sześciokącie?

A
Ćwiczenie 22

Pole rombu jest równe 60. Jedna z jego przekątnych ma długość 15. Oblicz długość drugiej przekątnej.

A
Ćwiczenie 23

Przekątne rombu pozostają w stosunku 2:1. Ich suma jest równa 12. Oblicz pole tego rombu .

classicmobile
Ćwiczenie 24

Suma miar kątów wielokąta może być równa

RP2ns4g3D6zbn
static
A
Ćwiczenie 25

Zapisz, ile wynosi suma miar kątów wewnętrznych wielokąta, który ma

  1. 1024 wierzchołki

  2. 53 boki

  3. 64 kąty

classicmobile
Ćwiczenie 26

Suma kątów wewnętrznych czworokąta wynosi

RXL264SqqmA1m
static
B
Ćwiczenie 27

Wyznacz miary kątów

  1. trapezu prostokątnego, w którym kąt ostry ma miarę 40°

  2. trapezu równoramiennego, w którym największy kąt ma miarę 150°

  3. równoległoboku, w którym różnica miar kątów jest równa 50°

  4. trapezu, w którym dwa kąty mają miary 88°22°

A
Ćwiczenie 28

Ile boków ma wielokąt o danej sumie miar kątów?

  1. 4680°

  2. 1260°

  3. 720°

classicmobile
Ćwiczenie 29

Na rysunku przedstawiony jest trapez.

R11ZSR4OYrtre1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole trapezu wynosi

RkmRR9RSDc7GM
static
B
Ćwiczenie 30

Oblicz pole każdego z wielokątów. Przyjmij za jednostkę pole jednej kratki.

RE9jGrjZ2z7Az1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
B
Ćwiczenie 31

Pole wielokąta jest równe 12. Oblicz długość odcinka x.

R1UM9UpPwsAvk1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
i57TWwqCTj_d5e1860
B
Ćwiczenie 32

Pole trapezu równoramiennego ABCD wynosi 45 cm2. Oblicz długość krótszej podstawy trapezu.

Rq8jtScX1kkMm1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 33

Przekątne równoległoboku przecinają się w odległości 3 mm od dłuższego boku. Oblicz długość tego boku, jeśli pole równoległoboku wynosi 54 mm2.

classicmobile
Ćwiczenie 34

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RLKv7406KSbiN
static
A
Ćwiczenie 35

Dokończ poniżesz zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Pole pewnego czworokąta to iloczyn długości sąsiednich boków. Czworokątem tym może być …

A
Ćwiczenie 36

Narysuj czworokąt, który ma

  1. jedną oś symetrii

  2. dwie osie symetrii

  3. cztery osie symetrii

B
Ćwiczenie 37

Uzupełnij zdania.

  1. Spośród równoległoboków oś symetrii mają tylko te, które są …

  2. Osiami symetrii rombu są jego …

  3. Osiami symetrii prostokąta są …

  4. Kwadrat ma … osie symetrii, są nimi …

B
Ćwiczenie 38

Narysuj deltoid, który nie jest rombem i którego pole jest równe 24 cm2.

A
Ćwiczenie 39

Jedna z przekątnych rombu ma taką samą długość jak jego bok. Wyznacz miary kątów w tym rombie.

A
Ćwiczenie 40

Czy istnieje trapez, który ma dokładnie jeden kąt prosty?

A
Ćwiczenie 41

Przekątna kwadratu ma długość 5 cm. Oblicz pole kwadratu.

C
Ćwiczenie 42

Jaką figurę otrzymasz, jeśli połączysz środki sąsiednich boków prostokąta? Odpowiedź uzasadnij.

B
Ćwiczenie 43

Pole prostokąta jest równe 40 cm2. Oblicz pole czworokąta, którego wierzchołki są środkami boków tego prostokąta.

C
Ćwiczenie 44

Uzasadnij, że czworokąt, którego przekątne przecinają się w połowie długości, jest równoległobokiem.