Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Wydrukuj

Odległość punktów na osi liczbowej

Przykład 1

Odległością punktów A=(a)B=(b), zaznaczonych na osi liczbowej, jest długość odcinka AB.
Długość ta jest równa wartości bezwzględnej różnicy współrzędnych punktów AB.

Rut5U6xJ1qg0U1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 2
RN9Ba0eYofawD1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RIpdHWqafgpFa1
Animacja pokazuje odcinki AB i CD leżące w układzie współrzędnych. Należy określić długość dwóch odcinków AB i CD.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
ROqww5cMNAXnQ1
"Animacja pokazuje punkty o współrzędnych L =(0, 5), K =(0, -1), P =(-3, 0), R =(5, 0), leżące w układzie współrzędnych. Dla różnych współrzędnych punktów A, B, C i D należy podać długość odcinków AB i CD, korzystając ze sposobu obliczania długości odcinka równoległego do jednej z osi. Podany przykład obliczenia dla punktów o współrzędnych L =(0, 5), K =(0, -1), P =(-3, 0), R =(5, 0). Gdy dwa punkty leżą na osi liczbowej OX lub OY lub na prostej równoległej do jednej z tych osi, wówczas ich długości obliczamy następująco: długość odcinka KL =wartość bezwzględna (y z indeksem dolnym L minus y z indeksem dolnym K) = wartość bezwzględna [5 –( -1)] =wartość bezwzględna (5 +1) =6
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Ważne!

Własności odległości punktów
Jeśli A, B, C są dowolnymi punktami na płaszczyźnie, to

  • AB0 oraz AB=0 wtedy i tylko wtedy, gdy A=B

  • AB=BA

  • ACAB+ BC

Ostatnia nierówność nazywa się warunkiem budowy trójkąta.

Odcinek w układzie współrzędnych

W przypadku, gdy odcinek AB leży w układzie współrzędnych na jednej z osi liczbowych, jego długość jest równa odległości punktów AB.

RsLV71q1fknTy1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 3

Znajdziemy długości odcinków ABCD, gdy = -4,2, B= 2, 2, C=3, 4, D=(3,-3).

R3M3X6YcwbXOQ1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odcinek AB jest równoległy do osi X. Jego długość jest równa wartości bezwzględnej różnicy pierwszych współrzędnych punktów AB.

|AB|=|2-(-4)|=6

Odcinek CD jest równoległy do osi Y. Jego długość jest równa wartości bezwzględnej różnicy drugich współrzędnych punktów CD.

|CD|=|-3-4|=7 
Ciekawostka

W praktyce, chcąc przejść z jednego miejsca do drugiego, rzadko poruszamy się po trasie, jaką wyznaczylibyśmy na planie jako najkrótszą. Na drodze bowiem znajdują się różne przeszkody, np. domy, jeziora, itp. Schemat ulic w miastach często przypomina kratownicę. Najkrótsza odległość w mieście będzie więc nieco inna niż ta, teoretyczna, wykorzystywana na lekcjach geometrii.
W tym przypadku do obliczenia odległości posługujemy się tzw. metryką miejską. W tej metryce najkrótsza droga między dwoma punktami to najkrótsza z możliwych do pokonania dróg między tymi punktami.

iLDJRxO76u_d5e202

Wielokąty w układzie współrzędnych

W niektórych wypadkach, aby obliczyć długości boków wielokąta, wygodnie jest umieścić go w układzie współrzędnych. Dla uproszczenia obliczeń staramy się, aby wierzchołki wielokąta miały współrzędne całkowite (jeśli jest to możliwe).

Przypomnijmy wzory na pola i obwody wielokątów.

A
Ćwiczenie 1
R1QIPplO5rKK91
Animacja pokazuje różne prostokąty leżące na kratownicy. Należy podać obwód każdego prostokąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 2
RSIizVZE1bGSZ1
Animacja pokazuje różne kwadraty leżące na kratownicy. Należy podać obwód każdego kwadratu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 3
RTDhqThy3Wto21
Animacja pokazuje prostokąt leżący na kratownicy. Należy przesunąć jeden wierzchołek tak, aby utworzyć inny prostokąt o podanym obwodzie.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 4
R9TMbu7DcYrZq1
Animacja pokazuje kwadrat leżący na kratownicy. Należy przesunąć jeden wierzchołek tak, aby utworzyć inny kwadrat o podanym obwodzie.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 5
R1TvoZHpjcYUz1
Animacja pokazuje prostokąt leżący na kratownicy. Należy przesunąć jeden wierzchołek tak, aby utworzyć prostokąt o podanym obwodzie.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 6
R1J6yv5e2z38K1
Animacja pokazuje sześciokąt A B C D E F leżący na kratownicy. Należy podać obwód sześciokąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 7
RReH1u0ZmjRdI1
Animacja pokazuje łamaną A B C D E, która tworzy wielobok. Należy, posługując się linijką z miarą centymetrową, zmierzyć długość podanego wieloboku. Długość łamanej zwyczajnej zamykającej wielobok nazywamy obwodem wieloboku.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 8
R1eNG5hiW4s0R1
Animacja pokazuje różne wielokąty wklęsłe leżące na kratownicy. Należy przesunąć jeden wierzchołek tak, aby utworzyć inny wielokąt o podanym obwodzie.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iLDJRxO76u_d5e346
Przykład 4

W układzie współrzędnych dane są punkty: A=(-4,-1), B=(-2,2), C=(3,2). Znajdziemy taki punkt D, aby wielokąt ABCD był równoległobokiem.

RgYoSITOf0tLk1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy: D=(a,b).
Zauważmy, że |BC|=|3-(-2)|=5. W równoległoboku długości boków przeciwległych są równe, a boki równoległe. Odcinek AD leży na prostej równoległej do prostej BC, a więc i do osi X. Zatem |AD|=5.
Korzystając z tego, znajdziemy pierwszą współrzędną punktu D.

|a-(-4)|=5|a+4|=5

Z rysunku widać, że liczba a jest dodatnia, zatem większa od -4. Ponieważ
a+4=5, więc a+4=5 lub a+4=-5. Stąd
a=1 lub a=-9.
Ponieważ a>-4, więc a=1.
Liczba b jest równa drugiej współrzędnej punktu A (bo odcinek AD jest równoległy do osi X), więc b= -1.
Odpowiedź: Szukanym punktem jest punkt D=(1,-1).

R1dNKeaUYN1Xl1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 5
R15veSfj97VLC1
Animacja pokazuje punkty A, B, C i D leżące w punktach kratowych kratownicy. Należy przesunąć punkt D tak, aby otrzymany czworokąt był równoległobokiem A B C D. Punkt D można tak umieścić, że tworzą się dwa różne równoległoboki.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
RsTIYfmT9cG5L1
Animacja pokazuje prostokąt A B C D. Należy przesunąć punktem C lub D tak, aby kąt między przekątnymi prostokąta wynosił 90 stopni. Zauważamy, że gdy kąt między jego przekątnymi jest kątem prostym. to wszystkie boki prostokąta są tej samej długości.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iLDJRxO76u_d5e412
A
Ćwiczenie 9
RMXYFrJVNYROQ1
Zadanie interaktywne.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeśli na obu osiach układu współrzędnych jest ta sama jednostka, to za jednostkę pola przyjmujemy kwadrat o boku, którego długość jest równa jednostce każdej osi.

Przykład 6

Obliczymy pole trapezu ABCD, gdzie A=(-4,1), B=(4,1), C=(1,-2), D=(-1,-2).

R1b2OP282nVZR1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  • sposób I

Zauważmy, że trapez jest równoramienny, więc jego pole jest równe polu prostokąta BEDF, długości 5 i szerokości 3. Zatem pole tego prostokąta, a więc i pole trapezu jest równe 15.

RN8TjiBx5nKqp1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  • sposób II

Obliczamy długości a, b podstaw oraz wysokość h trapezu i korzystamy ze wzoru

P=12(a+b)h
R1LbcRmPqY9yX1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
a=|AB|=|4-(-4)|=8 b=|CD|=|1-(-1)|=2 h=|DE|=|1-(-2)|=3
P=128+23=15

Odpowiedź: pole trapezu jest równe 15.

classicmobile
Ćwiczenie 10

Narysuj układ współrzędnych i zaznacz w nim punkty: A=(3,8), B=(-4,8), C=(-4,2). Połącz kolejno te punkty. Figura, którą otrzymasz to

R1Ij6vHebghFg
static
classicmobile
Ćwiczenie 11

Punkty A, B, C, D są kolejnymi wierzchołkami kwadratu: A=(-3, 0), B=(2,0), C=(-3, 5). Wierzchołek D ma współrzędne

R1TbrF7dAzjyW
static
B
Ćwiczenie 12

Zaznacz w układzie współrzędnych podane punkty: A=(-2, 1), B=(5, 3), C=(2, 5) oraz taki punkt D, aby otrzymany czworokąt był:

  1. równoległobokiem, który nie jest prostokątem

  2. trapezem równoramiennym, który nie jest równoległobokiem

  3. deltoidem

  4. prostokątem, który nie jest kwadratem

  5. kwadratem

  6. rombem, który nie jest kwadratem

Uzasadnij swój wybór. Czy w każdym przypadku udało ci się znaleźć rozwiązanie?

A
Ćwiczenie 13

Dane są punkty: K=(1,3), L=(2,1), M=(3,0), N=(0,-4), P=(3,-4). Które z tych punktów leżą wewnątrz trapezu ABCD o wierzchołkach: A=(0,-6), B=(4,1), C=(4,5), D=(0,3 )?

classicmobile
Ćwiczenie 14

W układzie współrzędnych umieszczono równoległobok, tak jak na rysunku.

R1G5flkmBStH81
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RtExaRjANNy0K
static
A
Ćwiczenie 15

Narysuj w układzie współrzędnych prostokąt, którego przekątne przecinają się w punkcie P=(4,5) i jeden z jego wierzchołków ma współrzędne (-2,3). Odczytaj współrzędne pozostałych wierzchołków tego prostokąta.

iLDJRxO76u_d5e714
A
Ćwiczenie 16
Rfx2EAhdP8UYX1
Animacja pokazuje różne prostokąty leżące na kratownicy, wierzchołki w punktach kratowych. Należy podać pola tych figur.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 17
RYF121yWAIpSl1
Animacja pokazuje różne wielokąty wklęsłe leżące na kratownicy. Należy przesunąć jeden wierzchołek tak, aby utworzyć inny wielokąt o danym obwodzie.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 18
RWUcAHn3OGGta1
Aplet Geogebry
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 19
R1J5HFLYlfWIN1
Aplet Geogebry
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 20
R7vOstgC5xb001
Aplet Geogebry
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 21
R1YHpM0vKEWHD1
Aplet Geogebry
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 22
R1bbMn91stNpq1
Aplet Geogebry
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
B
Ćwiczenie 23

Pole trójkąta ABC jest równe 24. Podstawą trójkąta jest odcinek AB, gdzie A=(-3,-2) i B=(1,-2). Znajdź współrzędne punktu C, wiedząc, że trójkąt ABC jest

  1. równoramienny

  2. prostokątny

  3. różnoboczny

Czy w każdym przypadku istnieje tylko jedno rozwiązanie?

A
Ćwiczenie 24

Zaznacz w układzie współrzędnych punkty: O=(0,0), A=(3,0), B=(5,4), C=(0,4), D=(-2,0). Oblicz pole

  1. czworokąta OABC

  2. czworokąta ABCD

classicmobile
Ćwiczenie 25

Pole trójkąta ABC, gdzie A=(-6,0), B=(0,-4), C=(2,0), jest równe

R1NYcolukfcnB
static
B
Ćwiczenie 26

Ania narysowała w układzie współrzędnych prostokąt ABCD o wierzchołach: A=(4,2), B=(4,-3),
C=(-2,-3), D=(-2,2). Natomiast Basia narysowała prostokąt KLMN, zamieniając miejscami współrzędne w każdym z punktów: A, B ,C, D. Oblicz pole prostokąta ABCD i prostokąta KLMN. Co zauważasz?

C
Ćwiczenie 27

Punkty A=(a,a+4)B=(a-3,a-2), gdzie a jest liczbą naturalną, są wierzchołkami kwadratu ABCD. Znajdź współrzędne wierzchołków CD. Oblicz pole i obwód kwadratu.