Wirtualne laboratorium WL‑I

Jak wyznaczyć wartość współczynnika załamania światła z pomiaru kąta granicznego?

Zmierz współczynnik załamania światła dla wody na dwa sposoby. W obu doświadczeniach wykorzystasz związek pomiędzy współczynnikiem załamania światła a granicznym kątem całkowitego wewnętrznego odbicia na granicy wody z powietrzem. Czym różnią się te doświadczenia? Przekonaj się.

Doświadczenie 1

Pomiar jednokrotny

Problem badawczy

Celem doświadczenia jest wyznaczenie współczynnika załamania światła w wodzie na podstawie pojedynczego pomiaru granicznego kąta całkowitego wewnętrznego odbicia.

Hipoteza

Pomiar jednokrotny na ogół nie zapewnia zadowalającej dokładności wyniku.

Co będzie potrzebne

Zapoznaj się z opisem: celu eksperymentu, metody pomiarowej oraz wyposażenia wirtualnego laboratorium.

Ćwiczenie 1

Uwaga! Laser jest groźny dla ludzkiego wzroku

Jedną z wad używania lasera, nawet stosunkowo niewielkiej mocy (jak w przypadku wskaźnika laserowego), jest konieczność unikania patrzenia w wiązkę, kierowania wiązki w oczy osób uczestniczących w eksperymencie oraz, co najtrudniejsze, unikania powodowania przypadkowych odbić wiązki laserowej i niezamierzonego trafienia takiej odbitej wiązki w ludzkie oko.

Laser jest jednak w dzisiejszych czasach typowo używanym źródłem światła do doświadczeń z optyki geometrycznej. Ma wiele zalet w porównaniu ze stosowanymi dawniej w tym celu źródłami jak świeczka, światło słoneczne, łuk elektryczny, czy żarówka.

R15buDUa6GLmt

Ćwiczenie 2

Pomiar kąta bez kątomierza

Zapoznaj się z fragmentem instrukcji, w którym opisana jest metoda pomiaru oraz instrukcją postępowania. W razie potrzeby wykonaj jedną czy dwie próby uzyskania prawidłowego ustawienia lasera.

Wiesz zapewne, że typowo używanym przyrządem do pomiaru kątów jest kątomierz. W wirtualnym laboratorium zaproponowano zamiast tego pomiar długości $x$ i $y$ wybranych odcinków. Są one przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego; na ich podstawie wyznaczysz dowolną funkcję trygonometryczną kąta granicznego całkowitego wewnętrznego odbicia $α_{gr}$ .

RHhf5wURmZupb

Odnieś się do propozycji pomiaru długości odcinków – wskaż właściwe uzupełnienie tekstu. W zaproponowanej wersji eksperymentu wyznaczenie współczynnika załamania polega na przeprowadzeniu pojedynczego pomiaru serii pomiarów. Bezpośrednio mierzysz jedną wielkość – kąt graniczny całkowitego wewnętrznego odbicia dwie wielkości – długości

x

y

trzy wielkości - kąt graniczny całkowitego wewnętrznego odbicia oraz długości

x

y

.
Współczynnik załamania światła jest więc wielkością mierzoną pośrednio.
Możliwe byłoby użycie kątomierza do bezpośredniego pośredniego pomiaru kąta granicznego. Wtedy pomiar

x

y

byłby w tym eksperymencie pośredni bezpośredni niepotrzebny, a współczynnik załamania światła pozostałby stałby się wielkością mierzoną bezpośrednio pośrednio.

Ćwiczenie 3

Dlaczego nie kątomierz?

Podaj przynajmniej jeden argument przemawiający za wyborem linijki do pomiaru dwóch długości i wyznaczeniem, na tej podstawie, granicznego kąta całkowitego wewnętrznego odbicia, w miejsce typowego stosowania kątomierza do bezpośredniego pomiaru tego kąta.

Instrukcja

Zapoznaj się z instrukcją postępowania zawartą w wirtualnym laboratorium.
Na schemacie w poleceniu 2. pokazano jedno z wielu możliwych ustawień lasera, które prowadzi do uzyskania kąta padania światła $α$ na granicę woda‑powietrze praktycznie równego kątowi granicznemu $α_{g r}$ . W rzeczywistości światło wychodzi z wody do powietrza, więc $α < α_{g r}$ . Jednak minimalny obrót lasera w kierunku zgodnym ze wskazówkami zegara spowodowałby już zniknięcie promienia załamanego.

Polecenie 1

R1JYDit1J2ZF3

Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Przeprowadź pomiar zgodnie z zawartą instrukcją.

R1Yz49BO5nBT51

Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Podsumowanie

Opracuj wyniki pomiarów zgodnie z instrukcją zawartą w wirtualnym laboratorium. Oblicz względną niepewność (iloraz niepewności standardowej przez uzyskaną wartość) $u_{w} (n) = \frac{u (n)}{n}$ . Oblicz także różnicę $Δ n_{t} = n_{t} - n$ pomiędzy uzyskaną wartością $n$ a wartością tablicową $n_{t}$ współczynnika załamania światła w wodzie. Oblicz iloraz $\frac{Δ n_{t}}{n_{t}}$ i porównaj go ze względną niepewnością $u_{w} (n)$ .

Polecenie 2

Przypomnij sobie pojęcia „dokładność pomiaru” oraz „precyzja pomiaru”. Są one opisane w e‑materiale „Dokładność i precyzja podczas dokonywania pomiarów”. Zapisz swoje wnioski w postaci odpowiedzi do następujących zagadnień. Podaj krótkie uzasadnienie każdej odpowiedzi.

Czy uzyskany wynik uznajesz za dokładny?
Czy uzyskany wynik uznajesz za precyzyjny?
Czy uzyskany wynik jest zgodny z postawioną hipotezą?
Czy uzyskany wynik uzasadnia powtórzenie pomiaru, w tym wykonanie serii pomiarów?

Doświadczenie 2

Pomiar wielokrotny

Problem badawczy

Celem doświadczenia jest wyznaczenie współczynnika załamania światła w wodzie poprzez wykonanie serii pomiarów.

Hipoteza

Uzyskany wynik jest dokładniejszy – jego niepewność pomiarowa jest mniejsza – niż w przypadku pojedynczego pomiaru.

Co będzie potrzebne

Wykorzystaj wyposażenie dostępne w wirtualnym laboratorium.
Przygotuj arkusz kalkulacyjny z następującymi kolumnami i odpowiednimi formułami. W ostatnim wierszu, po wpisaniu odpowiednich formuł, uzyskasz średnią wartość serii oraz niepewność pomiarową tej średniej.
Możesz zaproponować własną organizację arkusza.

R1OP2faexcUbP

Instrukcja

Ustaw laser w losowym położeniu.
Obróć laser i uzyskaj bieg światła taki, by kąt załamania przy wyjściu z wody do powietrza był możliwie bliski 90°. Zmierz długości $x$ i $y$ boków odpowiedniego trójkąta, zgodnie z instrukcją zamieszczoną w wirtualnym laboratorium. Wpisz wyniki do przygotowanego arkusza kalkulacyjnego.
Bez przesuwania lasera zmień kierunek biegu światła o najmniejszą możliwą wartość tak, by promień światła uległ całkowitemu wewnętrznemu odbiciu na granicy woda‑powietrze. Zmierz długości $x$ i $y$ boków odpowiedniego trójkąta. Wpisz wyniki do przygotowanego arkusza kalkulacyjnego.
Przesuń laser w nowe, losowo wybrane położenie. Przeprowadź pomiary opisane w punktach 2. i 3., łącznie co najmniej w dziesięciu różnych położeniach lasera, do uzyskania co najmniej dwudziestu wyników.

Przeprowadź serię pomiarów zgodnie z instrukcją.

R1Yz49BO5nBT51

Podsumowanie

Opracuj wyniki swoich pomiarów; wykorzystaj przygotowany arkusz kalkulacyjny. W razie potrzeby przypomnij sobie podstawowe pojęcia opisane w e‑materiałach „Wynik serii pomiarów powtarzalnych i jego niepewność standardowa” i „Co to takiego histogram?”.

Oblicz średnią wartość uzyskanych wyników $n_{śr}$ .
Oblicz rozrzut wyników, czyli odchylenie standardowe rozkładu $s_{n}$ .
Oblicz $u (n)$ , czyli odchylenie standardowe średniej $s_{n_{ś r}}$ .
Nanieś uzyskane wartości współczynnika załamania światła na histogram.
Uzupełnij histogram o trzy ilościowe cechy rozkładu, obliczone wyżej.
Skomentuj rozkład wyników (czy jest on symetryczny, czy ma jedno maksimum, jak umiejscowione są trzy obliczone cechy ilościowe na tle wyników).

Polecenie 3

Porównaj uzyskany wynik z wynikiem uzyskanym w pierwszym doświadczeniu. Zapisz swoje wnioski w postaci odpowiedzi do następujących zagadnień. Podaj krótkie uzasadnienie każdej odpowiedzi.

Czy drugi wynik uznajesz za dokładniejszy?
Czy drugi wynik uznajesz za bardziej precyzyjny?
Czy potwierdzasz hipotezą postawioną w drugim doświadczeniu?

Kosztowne kroki

Przeprowadzasz eksperyment terenowy, w którym masz określić najbardziej opłacalną ścieżkę pomiędzy dwoma punktami: C, z którego startujesz oraz G, do którego masz dojść. W terenie zaznaczono jeszcze dwa punkty: D oraz F. Wyznaczają one linię prostą, która rozgranicza teren na dwie części. Punkt C leży po stronie drogiej – zrobienie każdego kroku kosztuje Cię dwie chryzolkichryzolkachryzolki. Po przekroczeniu linii granicznej DF, każdy krok kosztuje Cię już tylko jedną chryzolkę.
Linię graniczną przekraczasz w punkcie E. Jego położenie nie jest z góry ustalone – może on leżeć gdziekolwiek na odcinku DF. Każda ścieżka CEG składa się więc z dwóch odcinków: CE oraz EG. Wszystkie możliwe takie ścieżki wypełniają czworobok CDGF, który ogranicza obszar eksperymentu terenowego. Koszt przejścia różnych ścieżek jest na ogół różny. W swoim eksperymencie poszukujesz punktu E takiego, by na ścieżce CEG zapłacić jak najmniej za przejście z punktu C do punktu G.

chryzolka

Fikcyjna złota moneta; wymyślona nazwa zawiera grecki człon ‘chryso-’, znamionujący odniesienie do złota.

Dźwiękowy sygnalizator punktu

Eksperyment odbywa się w dzień bardzo mglisty. Dla polepszenia orientacji, w każdym wierzchołku czworoboku CDGF ustawiono nadajnik przerywanego sygnału akustycznego. Każdy nadaje dźwięk o wysokości odpowiadającej oznaczeniu punktu. Nadajniki pracują na przemian, w rytmie C‑D-F‑G-pauza, więc bez trudu wychwycisz ten ton, który Cię doprowadza do żądanego punktu. Gdy staniesz w punkcie C i ustawisz się twarzą do kierunku, z którego dochodzi dźwięk G, to punkt F znajduje się nieco w prawo, zaś punkt D nieco w lewo.

Przejście na wprost

Ruszasz w kierunku punktu G. Stwierdzasz, że po przejściu 18 kroków stoisz na linii DF – poznajesz to po tym, że te dźwięki dochodzą do Ciebie z przeciwległych stron. Po kolejnych 18 krokach dochodzisz do celu. Bez problemu obliczasz, ile kosztowała Cię ta ścieżka.

Przejście po granicach obszaru

Wracasz do punktu C i kierujesz się prosto ku punktowi D. Cały czas słyszysz dźwięki G i F dochodzące raczej z prawej Twojej strony i od przodu. Ale gdy po 15 krokach dochodzisz do punktu D, słyszysz, że dźwięk F dochodzi dokładnie z prawej strony. Oznacza to, że Twoja ścieżka jest na odcinku CD prostopadła do linii rozgraniczającej DF.
Skręcasz nieco w prawo w punkcie D i docierasz po 25 krokach do punktu G. Ścieżka łamana CDG jest zarówno dłuższa od prostej ścieżki CG, jak i od niej droższa.

Wracasz do punktu C i kierujesz się teraz ku punktowi F, do którego docierasz po 25 krokach. Skręcasz nieco w lewo, punkt G masz przed sobą i słyszysz, że dźwięk D dochodzi dokładnie od lewej strony. Na tej podstawie stwierdzasz, że Twoja ścieżka na odcinku FG jest prostopadła do linii granicznej DF. Po 15 krokach trafiasz do punktu G.
Ścieżka łamana CDG jest dłuższa od odcinka CG i jest od niego droższa. Ale łamana CFG, choć ma tę samą długość co CDG, to jest od tej ostatniej droższa! Dlaczego? Bo na ścieżce CFG 25 kroków robisz po terenie drogim, a tylko 15 po terenie tanim. Na ścieżce CDG jest odwrotnie.

Charakterystyczne cechy terenu i ścieżek

Ćwiczenie 1

R1Qiae9aFqM9E

Uzupełnij opis czworoboku CDGF, który wyznacza obszar eksperymentu terenowego. Nie masz raczej wątpliwości, że CDGF jest równoległobokiem. Przecież odcinki CD i 1. CD, 2. 40, 3. 55, 4. 36, 5. 65, 6. 20, 7. 25, 8. CF, 9. 15, 10. 60, 11. DG, 12. 18, 13. CG, 14. 54, 15. 42, 16. DF, 17. FG, 18. 72 mają jednakowe długości – po 1. CD, 2. 40, 3. 55, 4. 36, 5. 65, 6. 20, 7. 25, 8. CF, 9. 15, 10. 60, 11. DG, 12. 18, 13. CG, 14. 54, 15. 42, 16. DF, 17. FG, 18. 72 kroków a odcinki CF i 1. CD, 2. 40, 3. 55, 4. 36, 5. 65, 6. 20, 7. 25, 8. CF, 9. 15, 10. 60, 11. DG, 12. 18, 13. CG, 14. 54, 15. 42, 16. DF, 17. FG, 18. 72 mają po 1. CD, 2. 40, 3. 55, 4. 36, 5. 65, 6. 20, 7. 25, 8. CF, 9. 15, 10. 60, 11. DG, 12. 18, 13. CG, 14. 54, 15. 42, 16. DF, 17. FG, 18. 72 kroków.
Tak więc obie ścieżki, CDG i CFG, mają długość po 1. CD, 2. 40, 3. 55, 4. 36, 5. 65, 6. 20, 7. 25, 8. CF, 9. 15, 10. 60, 11. DG, 12. 18, 13. CG, 14. 54, 15. 42, 16. DF, 17. FG, 18. 72 kroków. Jednak przejście tej pierwszej kosztuje 1. CD, 2. 40, 3. 55, 4. 36, 5. 65, 6. 20, 7. 25, 8. CF, 9. 15, 10. 60, 11. DG, 12. 18, 13. CG, 14. 54, 15. 42, 16. DF, 17. FG, 18. 72 chryzolek, podczas gdy spacer tą drugą kosztuje 1. CD, 2. 40, 3. 55, 4. 36, 5. 65, 6. 20, 7. 25, 8. CF, 9. 15, 10. 60, 11. DG, 12. 18, 13. CG, 14. 54, 15. 42, 16. DF, 17. FG, 18. 72 chryzolek.
Dłuższa przekątna równoległoboku, 1. CD, 2. 40, 3. 55, 4. 36, 5. 65, 6. 20, 7. 25, 8. CF, 9. 15, 10. 60, 11. DG, 12. 18, 13. CG, 14. 54, 15. 42, 16. DF, 17. FG, 18. 72, ma 1. CD, 2. 40, 3. 55, 4. 36, 5. 65, 6. 20, 7. 25, 8. CF, 9. 15, 10. 60, 11. DG, 12. 18, 13. CG, 14. 54, 15. 42, 16. DF, 17. FG, 18. 72 kroków a jej przejście kosztuje 1. CD, 2. 40, 3. 55, 4. 36, 5. 65, 6. 20, 7. 25, 8. CF, 9. 15, 10. 60, 11. DG, 12. 18, 13. CG, 14. 54, 15. 42, 16. DF, 17. FG, 18. 72 chryzolki. Przekątna krótsza, 1. CD, 2. 40, 3. 55, 4. 36, 5. 65, 6. 20, 7. 25, 8. CF, 9. 15, 10. 60, 11. DG, 12. 18, 13. CG, 14. 54, 15. 42, 16. DF, 17. FG, 18. 72, jest prostopadła do boków 1. CD, 2. 40, 3. 55, 4. 36, 5. 65, 6. 20, 7. 25, 8. CF, 9. 15, 10. 60, 11. DG, 12. 18, 13. CG, 14. 54, 15. 42, 16. DF, 17. FG, 18. 72 i FG i ma długość 1. CD, 2. 40, 3. 55, 4. 36, 5. 65, 6. 20, 7. 25, 8. CF, 9. 15, 10. 60, 11. DG, 12. 18, 13. CG, 14. 54, 15. 42, 16. DF, 17. FG, 18. 72 kroków.

Chwila refleksji nad kosztami

Ćwiczenie 2

Czy zatem odcinek CG, który jest ścieżką najkrótszą, jest także ścieżką najtańszą? Przeanalizuj tabelę 1., która zawiera wyniki Twojego pomiaru. Podane są w niej parametry sześciu różnych łamanych ścieżek typu CEG, w tym dwóch skrajnych. Jest także odcinek CG odpowiadający ścieżce najkrótszej. Punkt E zawsze leży na przekątnej DF, w różnych odległościach od punktu D. Każdej ścieżce odpowiada więc jedna odległość DE.

Tabela 1.
odległość DE (kroki)	długość CE (kroki)	długość EG (kroki)	długość EG (kroki)	koszty CEG (chryzolki)
0	15,0	25,0	40,0	55,0
3	15,3	22,7	38,0	53,3
6	16,2	20,5	36,7	52,9
10	18,0	18,0	36,0	54,0
14	20,5	16,2	36,7	57,2
17	22,7	15,3	38,0	60,7
20	25,0	15,0	40,0	65,0

RaViANQF46vgS

Najtańsza ścieżka- położenie punktu E

Masz już zapewne wyrobione przekonanie, że musi istnieć ścieżka najtańsza. Jak jednak ją znaleźć wśród nieskończenie wielu innych ścieżek? Jak określić odległość DE i tym samym położenie punktu E, by koszt przebycia ścieżki CEG był jak najmniejszy? Jedna możliwość polega na wykonaniu tabeli za pomocą arkusza kalkulacyjnego. Dla wielu różnych odległości DE można obliczyć odległości CE oraz EG - oba odcinki są przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych CDE oraz EFG (Rys. d2).

RpQZV9dNafdGt

Rysunek przedstawia schemat położeń nadajników sygnału akustycznego z naniesioną najtańszą ścieżką CEG oraz kątami alfa i BETA. Nadajniki umieszczone są na wierzchołkach równoległoboku. DF stanowi krótszą przekątną i na tym właśnie odcinku zaznaczono punkt E. Dodatkowo zaznaczono dwa kąty. Kąt DCE to alfa, natomiast kąt EGF to beta. — Rys. d2. Schemat położeń nadajników sygnału akustycznego z naniesioną najtańszą ścieżką CEG oraz kątami $α$ i $β$
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Na tej podstawie łatwo obliczyć koszt dla każdej ścieżki. Odpowiednie zagęszczanie odległości DE w okolicach ścieżki najtańszej pozwoli na określenie poszukiwanego punktu E z dowolną dokładnością. Przeanalizuj przykładową tabelę z wynikami takich obliczeń.

Tabela 2.
odległość DE (kroki)	długość CE (kroki)	długość EG (kroki)	długość CEG (kroki)	koszty CEG (chryzolki)
5	15,8	21,2	37,0	52,8
5,2	15,876	21,072	36,948	52,824
5,4	15,942	20,932	36,874	52,817
5,5	15,9765	20,8626	36,8391	52,8156
5,55	15,9938	20,8279	36,8217	52,8155
5,6	16,0112	20,7933	36,8045	52,8157
5,8	16,082	20,655	36,737	52,820
6	16,2	20,5	36,7	52,9

Można wskazać trasę przecinającą granicę pomiędzy obszarem droższym i tańszym w odległości DE = 5,55 kroków. Jej łączna długość to nieco ponad 36,82 kroku. Koszt jej przebycia jest mniejszy od kosztów dla dwóch tras „sąsiednich”, choć różnica to zaledwie jedna czy dwie dziesięciotysięczne chryzolki. Punkty E tych tras sąsiednich są oddalone o pięć setnych kroku od punktu E trasy optymalnej.
Gdyby taka dokładność była dla Ciebie niewystarczająca, zawsze możesz poszukiwać tras jeszcze tańszych. Znajdziesz je wewnątrz przedziału 5,5 kroku do 5,6 kroku, ale musisz podzielić ten przedział na więcej niż dwie części.

Najtańsza ścieżka - kąty $α$ i $β$

Ćwiczenie 3

Wróć do ścieżki CEG, pokazanej na rys. d2. Przyjmij, że jest to ścieżka najtańsza, wyróżniona w tabeli 2. Zwróć uwagę, że położenie punktu E na przekątnej równoległoboku CDGF jednoznacznie określa dwa kąty: ECD, nazwijmy go $α$ oraz EGF, nazwijmy go $β$ .

R12d0rUJYWJVK

Przyjmij oznaczenia jak na rys. d2 oraz dane z tabeli 2. Wtedy:

\sin α = \frac{| D E |}{| C E |} = \frac{5, 5}{15, 9938} \approx 0, 347009

\sin β = \frac{| E F |}{| E G |} = \frac{20 - 5, 5}{20, 8279} \approx 0, 693781

Po zaokrągleniu do trzech cyfr znaczących otrzymamy $sin α = 0,347$ oraz $sin β = 0,694$ .

\frac{\sin α}{\sin β} = \frac{0, 347009}{0, 693781} \approx 0, 500171

Po zaokrągleniu do trzech cyfr znaczących otrzymamy $\frac{\sin α}{\sin β} = 0, 500$ . Zwróć uwagę, że podanie dwóch zer na miejscach setnych i tysięcznych jest konieczne dla spełnienia wymogu ujawnienia trzech cyfr znaczących.

Co to ma wspólnego ze światłem?

Jeśli światło wyszło z punktu A i trafiło do punktu B, to – zgodnie ze współczesną wiedzą – przeszło po drodze, na której czas przelotu jest najkrótszy. Dokładniej: czas przelotu jest lokalnie najkrótszy. Znaczy to, że na wszystkich hipotetycznych drogach blisko sąsiadujących z tą rzeczywistą, czas przelotu byłby choć odrobinę dłuższy. Zasadę tę znamy jako zasadę Fermata.

Prawo Snella, dotyczące załamania światła na granicy dwóch ośrodków, jest szczególnym przypadkiem zasady Fermata.
Czas przelotu jest dla światła odpowiednikiem łącznych kosztów w Twoich przemarszach. Czas ten zależy od prędkości światła w każdym z ośrodków – im mniejsza prędkość, tym czas przelotu dłuższy. Ta matematyczna analogia pozwala przeprowadzić dla światła takie same obliczenia, jakie przeprowadziliśmy dla Twoich torów. Na ich podstawie można z góry określić jedyną rzeczywistą ścieżkę promienia świetlnego. Punktem wyjścia do tych obliczeń jest wyrażenie wiążące całkowity czas przelotu $t$ z długościami odcinków w każdym z dwóch ośrodków (odpowiednio CE i EG) i prędkościami światła w tych ośrodkach:

t = t_{1} + t_{2} = \frac{| C E |}{v_{1}} + \frac{| E G |}{v_{2}}

Ćwiczenie 4

RzJ5ae7BfJLzz

Przyjmij, że w Twoim eksperymencie terenowym ceny kroków na poszczególnych odcinkach oznaczamy jako

c_{1}

c_{2}

. Koszt przebycia całej ścieżki oznaczamy symbolem

k

, zaś koszt przebycia każdego z odcinków symbolami

k_{1}

k_{2}

. Wskaż, w poszczególnych punktach, prawidłowe warianty. 1. Całkowity koszt przebycia drogi CEG w Twoim eksperymencie wyraża się jako: a)

k = k_{1} + k_{2} = c_{1} \cdot | C E | + c_{2} \cdot | E G |

k = k_{1} + k_{2} = \frac{1}{c_{1}} \cdot | C E | + \frac{1}{c_{2}} \cdot | E G |

2. Jednostką ceny kroku, czyli wielkości

c_{1}

oraz

c_{2}

jest: a) chryzolka b) krok c) chryzolka na krok d) krok na chryzolkę 3. Odpowiednikiem ceny kroku w Twoim eksperymencie jest, dla rozchodzenia się światła, a) prędkość b) odwrotność prędkości 4. Gdyby światło rozchodziło się po ścieżce takiej jak CEG, w dwóch różnych ośrodkach, np. wodzie i powietrzu, to a) odcinek CE, w którym kroki są droższe, odpowiadałby biegowi światła w wodzie, a odcinek EG w powietrzu b) odcinek CE, w którym kroki są droższe, odpowiadałby biegowi światła w powietrzu, a odcinek EG w wodzie

1. Dla uzyskania kosztu przebycia każdego fragmentu ścieżki - czyli $k_{1}$ i $k_{2}$ - musimy pomnożyć liczbę kroków - czyli miarę długości odcinka - przez cenę pojedynczego kroku. Dzielenie przez cenę kroku prowadziłoby do wyniku absurdalnego: im cena kroku wyższa tym całkowity koszt byłby mniejszy.

2. Koszt przejścia ścieżki wyrażamy w chryzolkach, zaś długość odcinka w krokach. Jednostką ceny musi zatem być chryzolka dzielona przez krok (w skrócie chryzolka na krok). Zapewnia to, że iloczyn jednostek ceny i jednostek odległości jest równy jednostkom kosztów. Formalnie wyrażamy to tak:

k_{1} = c_{1} \cdot | C E | \Rightarrow [k_{1}] = [c_{1}] \cdot [| C E |] \Rightarrow [c_{1}] = \frac{[k_{1}]}{[| C E |]} = \frac{chryzolki}{krok}

3. Porównaj wyrażenie z pierwszego punktu ćwiczenia z wyrażeniem wiążącym całkowity czas przelotu z długościami odcinków w każdym z dwóch ośrodków. Zauważ, że w tym ostatnim wyrażeniu długość odcinka jest dzielona przez prędkość. Oznacza to, że im większa prędkość światła w ośrodku, tym mniejszy czas przelotu. Prędkość spełnia więc dla światła rolę odwrotną niż cena kroku w Twojej wędrówce. Dlatego odpowiednikiem ceny kroku jest odwrotność prędkości.

4. Wyjaśnienie podane w punkcie trzecim pokazuje, że odcinkowi droższemu w Twojej wędrówce musi - w przypadku rozchodzenia się światła - odpowiadać odcinek, na którym światło porusza się wolniej. Prędkość światła w wodzie jest mniejsza niż w powietrzu, zatem odcinek CE odpowiada biegowi światła w wodzie, zaś odcinek EG biegowi światła w powietrzu.

Bieg światła różni się od marszu człowieka

Podstawowa różnica polega na tym, że Twoje ścieżki CEG są wszystkie realne. Nic Ci nie zabrania wyruszyć z punktu C w dowolnym kierunku, a po minięciu granicznej linii DF skierować się prosto ku punktowi G. Natomiast różne promienie świetlne zostają wyemitowane z punktu C w różnych kierunkach, w postaci wiązki. Jednak po trafieniu na granicę pomiędzy ośrodkami w postaci odcinka, promienie nie zbiegną się w jednym punkcie. Spośród promieni, które ulegną załamaniu tylko jeden trafi w wyznaczony punkt G. Będzie to ten promień, dla którego stosunek prędkości w ośrodkach będzie równy stosunkowi sinusów kąta padania i załamania. Pozostałe miną punkt G. Ale dla każdego promienia z osobna obowiązuje zasada Fermata, a kąty padania i załamania światła na granicy pomiędzy ośrodkami, $α$ i $β$ , spełniają warunek określony prawem Snella:

\frac{\sin α}{\sin β} = \frac{v_{1}}{v_{2}}

Ćwiczenie 5

RRjOTiHCjU6Qd

Całkowite wewnętrzne odbicie - tylko dla światła

Kolejną różnicą pomiędzy Twoim eksperymentem a biegiem światła jest występowanie zjawiska całkowitego wewnętrznego odbicia. Przyjmij, że zrezygnowaliśmy ze wskazania punktu G jako celu Twojej wędrówki. Wyruszasz jednak w kierunku punktu G i po 18 krokach docierasz do punktu P leżącego w połowie odcinka DF. Czy odcinek CP, przebyty w terenie droższym, jest pierwszą częścią jakiejkolwiek ścieżki lokalnie najtańszej? Dokąd ona prowadzi po tańszej stronie, za punktem P? Ku jakiemu punktowi?

Na pewno nie ku punktowi G – to wiemy. Ale znamy kąt $α$ . Spróbujmy więc wyznaczyć kąt $β$ . Wskaże on kierunek Twojego marszu po przekroczeniu granicy DF. Skorzystajmy z prawa Snella, dostosowanego do eksperymentu terenowego:

\sin β = \sin α \cdot \frac{c_{1}}{c_{2}}

Bez trudu obliczamy $\sin α = \frac{| D P |}{| C P |} = \frac{10}{18}$ . W takim razie

\sin β = \frac{10}{18} \cdot \frac{2}{1} = \frac{10}{9} \Rightarrow β = ?

Taki kąt nie istnieje! Sinus kąta nie może przyjmować wartości większej od jedynki. Nie jest wszak możliwe, by przyprostokątna w trójkącie prostokątnym była dłuższa od przeciwprostokątnej.

Jak interpretować taki wynik? Tylko w ten sposób, że nie istnieje kierunek dalszego Twojego marszu zapewniający dotarcie dokądkolwiek po ścieżce lokalnie najtańszej. Inaczej rzecz ujmując: gdyby wskazano Ci jakikolwiek punkt A, leżący po stronie tańszej, to ścieżka CPA na pewno nie będzie najtańszym sposobem dotarcia z C do A. Powodem jest położenie punktu P – leży on za daleko od punktu D. Przez to związany z nim kąt $α$ jest zbyt duży przy ustalonej wartości ilorazu $\frac{c_{1}}{c_{2}}$ .

Ćwiczenie 6

Wyznacz, we własnym zakresie, największą wartość kąta $α$ , przy której możliwe jest wyznaczenie kąta $β$ .

Maksymalna wartość sinusa kąta $β$ to 1. Zatem

(\sin β)_{m} = 1

W takim razie maksymalna wartość sinusa kąta $α$ wyraża się, za pomocą prawa Snella, jako

(\sin α)_{m} = (\sin β)_{m} \cdot \frac{c_{2}}{c_{1}} = 1 \cdot \frac{c_{2}}{c_{1}} = \frac{1}{2}

Tak więc maksymalny kąt $α_{m} = 30 °$ .

Twoje wędrówki nie muszą odbywać się po ścieżkach lokalnie najtańszych. Natomiast tory światła muszą być zgodne z zasadą Fermata. Jeśli więc światło przechodzi przez granicę między ośrodkami, to kierunek jego rozchodzenia się w nowym ośrodku musi być zgodny z prawem Snella. Gdy kąt padania światła jest na tyle duży, że kąta załamania nie da się określić, to na granicy między ośrodkami światło ulega wyłącznie odbiciu. Nie przechodzi ono do drugiego ośrodka. Maksymalny kąt padania światła, obliczony przez Ciebie w ostatnim ćwiczeniu, nazywamy w optyce kątem granicznym całkowitego wewnętrznego odbicia.

Przeczytaj

Sprawdź się