Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał
Własności podobieństwa
Twierdzenie: Własności podobieństwa

Jeżeli trójkąt A'B'C' jest podobny do trójkąta ABC w skali podobieństwa k, to stosunek obwodów tych trójkątów jest równy skali podobieństwa, a stosunek ich pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa

LA'B'C'LABC=k
PA'B'C'PABC=k2.

Rozważmy trójkąty prostokątne A'B'C' oraz ABC podobne w skali k. Wysokości tych trójkątów zaznaczone na rysunku są równe odpowiednio h'h.

RN2FbhGaDQtNr1

Zauważmy, że skoro trójkąt A'B'C' jest podobny do trójkąta ABC, to

C'A'CA=k

oraz

ACD=A'C'D', CDA=C'D'A'=90°.

Stąd

CAD=C'A'D'=90°-A'C'D'.

Na mocy cechy podobieństwa kąt-bok-kąt trójkąt A'C'D' jest podobny do trójkąta ACD i skala podobieństwa wynosi k. Stąd

h'h=k,

czyli stosunek długości wysokości w trójkątach podobnych jest taki sam jak stosunek długości boków.

PA'B'C'=12c'h'=12kckh=12chk2=PABCk2
PA'B'C'PABC=k2

Stosunek pól trójkątów podobnych jest więc równy kwadratowi skali podobieństwa.

LA'B'C'=a'+b'+c'=ka+kb+kc=ka+b+c=kLABC
LA'B'C'LABC=k

Stosunek obwodów trójkątów podobnych jest równy skali podobieństwa.

Rozważmy dowolny trójkąt ABC. Zaznaczmy w nim środki dwóch boków i połączmy je odcinkiem. Taki odcinek nazywamy linią środkową trójkąta.

R18hGN0krjeUx1

Zauważmy, że trójkąty DCEABC są podobne na mocy cechy bok-kąt-bok. Kąt DCE jest wspólny dla obu trójkątów oraz

DCAC=ECBC=12.

Z definicji podobieństwa wynika, że DEAB=12 . Mamy też równość kątów

∢CDE=∢CAB, ∢CED=∢CBA.

Ponieważ punkty C, D, A są współliniowe, więc kąty CDECAB są odpowiadające. Stąd wynika równoległość DEAB.

R1FZe8VFdTFbW1
o linii środkowej trójkąta
Twierdzenie: o linii środkowej trójkąta

Odcinek łączący środki dwóch boków w trójkącie jest równoległy do trzeciego boku trójkąta i jest od niego dwa razy krótszy.

R1EnaQRQH9cxe1
Animacja pokazuje w sześciu krokach dowód na podaną regułę. W trójkącie A B C zaznaczono środki boków AC i BC. Otrzymane punkty D i E połączono tworząc odcinek DE. Zauważamy, że punkt D podzielił bok AC na dwie równe części. Punkt E podzielił bok BC na dwie równe części. Stosunek długości boku DC i AC oraz EC i BC wynosi 1 do 2. Wynika z tego, że w trójkątach A B C i D E C boki AC i DC oraz BC i EC są proporcjonalne. Kąt przy wierzchołku C jest kątem wspólnym dla obu trójkątów. Trójkąty A B C i D E C są podobne na mocy cechy bkb, więc boki DE i AB pozostają w stosunku 1 do 2. Z podobieństwa trójkątów A B C i D E C wynika, że kąty przy wierzchołkach A i D są równe oraz kąty przy wierzchołkach B i E są równe. Odcinek DE jest równoległy do odcinka Ab, co dowodzi, że odcinek łączący środki 2 boków trójkąta ma długość równą połowie trzeciego boku i jest do niego równoległy.

Podstawy trapezu ABCD mają długości a oraz b. Punkt E jest środkiem boku AD, a punkt F jest środkiem boku CB. Odcinek łączący środki ramion trapezu nazywamy linią środkową w trapezie. Obliczymy jego długość.

RbGJE27RnlOuS1

Poprowadźmy przekątną AC i oznaczmy przez G jej środek.

RmHuUkfB0QUUI1

Odcinek EG jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie ADC. Stąd EG jest równoległy do podstawy trapezu DC oraz

EG=12a.

Podobnie odcinek GF jest odcinkiem łączącym środki boków trójkąta ABC, czyli jest równoległy do podstawy trapezu AB oraz

GF=12b.

Ponieważ oba odcinki EGGF są równoległe do podstaw trapezu, więc punkty E, G, F leżą na jednej prostej.

R1CZK35Z9B80t1

Mamy

EF=EG+GF=12a+12b=a+b2.

Stąd twierdzenie:

o linii środkowej w trapezie
Twierdzenie: o linii środkowej w trapezie

Odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw tego trapezu, a jego długość jest równa średniej arytmetycznej długości podstaw trapezu.

RKXqT0ELOKRWX1
Animacja pokazuje w pięciu krokach dowód na podaną regułę. W trapezie A B C D z zaznaczono podstawę górną a i podstawą dolną b. Poprowadzono przekątną AC i oznaczono jej środek przez G. Następnie oznaczono przez E i F odpowiednio środki odcinków AD i BC. Zauważamy, że stosunek długości odcinków DC i EG wynosi 1 do 2. Odcinek EG jest linią środkową w trójkącie A C D, czyli jest równoległy do podstawy DC i równy 0,5a. Odcinek AB jest dwa razy dłuższy od odcinka GF, więc odcinek GF jest linią środkową w trójkącie A B C, czyli jest równoległy do podstawy AB i równy 0,5b. Odcinki EG i GF są częścią prostej równoległej do podstawy trapezu i przechodzącej przez punkt G, stąd długość linii środkowej w trapezie jest równa połowie sumy długości podstaw trapezu a i b.
A
Ćwiczenie 1

A
Ćwiczenie 2

Punkty K, LM dzielą ramię AC trójkąta ABC na odcinki równej długości. Punkty N, OP wybrano na boku BC tak, że odcinki MN, LOKP są równoległe do podstawy AB (patrz rysunek). Długość odcinka MN jest równa 2.

R1ZBMWgj80K1y1

Wtedy

RJTbkC44aGiwJ
A
Ćwiczenie 3

W trapezie ABCD podstawa AB jest dłuższa od podstawy CD. Ramiona ADBC mają długości AD=10, BC=12. Proste zawierające te ramiona przecinają się w punkcie SSD=15. Wówczas

RrRcKhdmqH3uH
A
Ćwiczenie 4
  1. W trapezie ABCD podstawa AB jest dłuższa od podstawy CD. Punkt przecięcia przekątnych trapezu dzieli każdą z nich w stosunku 2:3. Krótsza podstawa trapezu ma długość 5. Oblicz długość drugiej podstawy.

  2. W trapezie ABCD podstawy mają długości |AB|=9|CD|=3. Przekątna BD ma długość 8. Na jakie odcinki dzieli tę przekątną prosta AC?

  3. W trapezie ABCD podstawy mają długości |AB|=8 i |CD|=2. Przekątne ACBD przecinają się w punkcie S. Trójkąt SAB ma pole równe 10. Oblicz pole trójkąta SCD.

A
Ćwiczenie 5

Zaznacz poprawne stwierdzenie.

R2flr1BO7SLqo
A
Ćwiczenie 6

Zaznacz poprawne stwierdzenie.

RSgXMgQQOUMgi
A
Ćwiczenie 7
  1. W trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych AB=4AC=7 wpisano kwadrat, tak jak na rysunku. Oblicz długość boku tego kwadratu.

    RF1vQMkV6ddd61

  2. W trójkąt ABC o podstawie AB=40 i wysokości równej 16 opuszczonej z wierzchołka C na tę podstawę wpisano prostokąt, tak jak na rysunku. Długości odcinków EFDE pozostają w stosunku 2:5. Znajdź długości boków prostokąta DEFG.

    RJf0uIQ51r73y1

  3. W trójkąt prostokątny ABC, w którym kąt ACB jest prosty, wpisano kwadrat DEGF o boku długości 4. Bok GF kwadratu leży na przeciwprostokątnej AB trójkąta. Wierzchołki E, D leżą odpowiednio na przyprostokątnych ACCB. Odcinek AG jest równy 2. Oblicz pole trójkąta ABC.

    RWRQ3mV3p89LT1

B
Ćwiczenie 8

Odpowiedz na pytania.

  1. W trapezie ABCD długość podstawy AB jest równa 28, a długości ramion trapezu ADBC są odpowiednio równe 2015. Kąty ADBDCB, zaznaczone na rysunku, mają równe miary. Oblicz obwód tego trapezu.

    RY6HTc2tt2MhC1

  2. Dwa trójkąty podobne ABCBDE umieszczono obok siebie (patrz rysunek) tak, że punkty A, BD leżą na jednej prostej. Punkty K, LM są odpowiednio środkami odcinków AB, BDCE. Udowodnij, że trójkąt KLM jest podobny do każdego z trójkątów ABCBDE.

    RenOE6OX1kjdq1

  3. Przekątne czworokąta ABCD przecinają się w punkcie S i zachodzi równość ASDS=BSCS. Udowodnij, że czworokąt ABCD jest trapezem.

A
Ćwiczenie 9

Zaznacz poprawne stwierdzenie.

R10xddIXhOoU9
A
Ćwiczenie 10

Zaznacz poprawne stwierdzenie.

R12QYw1HLXPw7
A
Ćwiczenie 11

Odcinki DEBC są równoległe oraz DB=8, DE=12, BC=16.

R1NnCYZ0nNABx1

Wówczas długość odcinka AD jest równa

Rd1KQRIIvS8mZ
A
Ćwiczenie 12

Prosta równoległa do boku AB trójkąta ABC odcina z niego trójkąt, którego pole stanowi 14 pola trójkąta ABC. Wynika stąd, że ta prosta dzieli boki ACBC w stosunku

R1JKiUDIUadon
A
Ćwiczenie 13

W prostokącie ABCD o bokach długości 68 odległość wierzchołka D od przekątnej AC jest równa

R1OXsA1laamXf
A
Ćwiczenie 14

W trapezie ABCD podstawa AB jest 2 razy dłuższa od podstawy CD. Punkt S jest punktem przecięcia się przekątnych. Wówczas stosunek DSDB jest równy

R11zAXofNaKBJ
A
Ćwiczenie 15

Drzewo rzuca cień długości 12 m. W tym samym czasie stojący obok człowiek o wzroście 180 cm rzuca cień długości 120 cm. Drzewo ma wysokość

R1G7wfJsVVVY5
A
Ćwiczenie 16

Odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość 8. Krótsza podstawa ma długość 2. Wtedy długość dłuższej podstawy jest równa

R75rt92JB5iV3
A
Ćwiczenie 17

W trójkąt równoboczny o boku długości 4 wpisano kwadrat, w taki sposób, że jego dwa wierzchołki leżą na jednym z boków trójkąta, a dwa pozostałe wierzchołki leżą na pozostałych dwóch ramionach trójkąta.

R1EuWws3hIzJ91

Długość boku kwadratu jest równa

R18EXR4wbWCSj
A
Ćwiczenie 18

Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości 10 i ramionach długości 13. Wysokość opuszczona na ramię tego trójkąta jest równa

R18vkzesflCMJ
A
Ćwiczenie 19

Trójkąt ABC ma boki długości 3,5,7. W trójkącie A'B'C',podobnym do trójkąta ABC, najkrótszy bok ma długość 412. Obwód trójkąta A'B'C' jest równy

R1C2YDBxhp5qI
A
Ćwiczenie 20

Suma obwodów dwóch trójkątów podobnych jest równa 20. Stosunek pól tych trójkątów jest równy 16:1. Obwody tych trójkątów są równe

RL5xkoUrFyH39
A
Ćwiczenie 21

W trójkącie ABC długości boków są równe AC=6, BC=9 oraz AB=12. Na bokach ACBC wybrano punkty DE, które podzieliły te boki w stosunku 1:2, licząc od wierzchołka C. Oblicz obwód trójkąta DEC.

A
Ćwiczenie 22

Punkty DE leżą na boku AC trójkąta ABC i dzielą go w stosunku 1:2:3, licząc od wierzchołka C. Przez punkty DE poprowadzono proste równoległe do boku AB. Oblicz, w jakim stosunku pozostają pola figur, na jakie te proste podzieliły trójkąt ABC.

A
Ćwiczenie 23

W trapezie ABCD o podstawach długości AB=18CD=6 przedłużono ramiona do punktu S ich przecięcia. Długości odcinków DSCS są równe DS=3CS=5. Oblicz długości ramion trapezu ABCD.

A
Ćwiczenie 24

Dany jest trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym przy wierzchołku C. Punkt D jest spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka C tego trójkąta. Wykaż, że CD=ADBD.

A
Ćwiczenie 25

W trapezie ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 10. Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie S, który dzieli każdą z nich w stosunku 3:5. Oblicz długość krótszej podstawy.

A
Ćwiczenie 26

W trójkącie ABC podstawa AB ma długość 24, a wysokość opuszczona na tę podstawę jest równa 9. W trójkąt ten wpisano prostokąt DEFG, taki jak na rysunku. Boki tego prostokąta pozostają w stosunku 3:4, przy czym dłuższy bok leży na podstawie trójkąta ABC. Oblicz pole wpisanego prostokąta.

R1Dw5dRNXNNhi1
A
Ćwiczenie 27

Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, w którym kąt ACB jest prosty oraz AC=5BC=12, zbudowano kwadrat ACDE. Punkt H należy do prostej AB∢HEA=90°. Oblicz pole trójkąta HAE.

R1WUVVYnO6RA11
B
Ćwiczenie 28

Dany jest równoległobok ABCD. Na przedłużeniu przekątnej AC poza punkt C, wybrano punkt P, taki że AC=3CP. Znajdź stosunek pola trójkąta DCP do pola równoległoboku ABCD.

B
Ćwiczenie 29

W trójkącie ABC środkowa CD ma długość 8. Punkt K leży na środkowej CD|CK|=2. Na boku AC leży taki punkt M, że proste MKBC są równoległe. Oblicz |AM| : MC.

A
Ćwiczenie 30

W rombie ABCD kąt przy wierzchołku A jest ostry. Na boku AB leży taki punkt E, że proste DEAB są prostopadłe. Przekątna AC przecina odcinek DE w punkcie F, przy czym |DF|=13|FE|=12. Oblicz pole tego rombu.

B
Ćwiczenie 31

W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości |AC|=13,6|BC|=25,5. Punkt D leży na przeciwprostokątnej AB|AD|=8,5. Na przyprostokątnej AC leży taki punkt E, że proste DEAC są prostopadłe. Na przyprostokątnej BC leży taki punkt F, że proste DFBC są prostopadłe. Oblicz pole czworokąta DFCE.

B
Ćwiczenie 32

W równoległoboku ABCD dane są długości boków |AB|=12|BC|=16. Punkt E leży na boku AB|AE|=8. Punkt F leży na boku BC|CF|=4. Proste DEDF przecinają przekątną AC w punktach odpowiednio KL. Wykaż, że |AK|=2 |LC|.

B
Ćwiczenie 33

W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku A ma miarę większą od kąta przy wierzchołku B. Punkt K jest środkiem boku AB. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta, poprowadzona z wierzchołka C, przecina bok AB w punkcie D, przy czym |AD|:|DB|=5:11. Symetralna boku AB przecina bok BC w punkcie L i przedłużenie boku AC w punkcie M. Oblicz.

  1. |BL|:|LC|

  2. |AC|:|CM|

  3. |KL|:|LM|

B
Ćwiczenie 34

W trapezie równoramiennym ABCD podstawy mają długości |AB|=20, |CD|=5. Przekątne ACBD przecinają się w punkcie S. Prosta równoległa do podstawy AB i przechodząca przez punkt S przecina ramiona ADBC w punktach odpowiednio KL. Oblicz długość odcinka KL.

B
Ćwiczenie 35

W trójkącie ABC dane są długości boków |AC|=8, |BC|=12|AB|=10. Na bokach AB, BCCA wybrano odpowiednio takie punkty D, EF, że czworokąt CFDE jest rombem. Oblicz długość boku tego rombu oraz długości odcinków DBDA.

B
Ćwiczenie 36

Na bokach AB, BCAC trójkąta ABC leżą odpowiednio takie punkty D, EF, że prosta DE jest równoległa do boku AC i prosta DF jest równoległa do boku BC. Pole trójkąta ADF jest równe 18, a pole trójkąta BDE jest równe 50. Oblicz pole trójkąta ABC.