Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał

Własności prostokąta i kwadratu

Prostokąt i kwadrat

RiY6r2mlzuaR01
Animacja
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

O prostokątach i kwadratach mówiliśmy już w klasie czwartej. Teraz przypomnimy definicje i własności tych figur.

Prostokąt
Definicja: Prostokąt

Prostokąt to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste.

RwjOOFdGd4xQs1
Rysunek prostokąta A B C D.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Własności prostokąta

  • Przeciwległe boki są równoległe i równej długości.

  • Wszystkie kąty są równe.

  • Przekątne są równej długości i dzielą się na połowy.

    RCT69pTpxWaKZ1
    Rysunek prostokąta A B C D. Poprowadzone przekątne przecinają się w punkcie S.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    W prostokącie ABCD:

  • AB∥DC i  AD∥BC, AB=DC i  AD=BC

  • Miary kątów: A, B, C i D są równe 90°.

  • AC=BD oraz AS 

iJpAsppAc6_d5e168
Kwadrat
Definicja: Kwadrat

Kwadrat to prostokąt, który ma wszystkie boki równej długości.

R9uQwT1AsCPVD1
Rysunek kwadratu A B C D.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Własności kwadratu

  • Przeciwległe boki są równoległe, wszystkie boki są równej długości.

  • Wszystkie kąty są proste.

  • Przekątne są prostopadłe, równej długości i dzielą się na połowy.

    RQo9eIQM2EQj91
    Rysunek kwadratu A B C D. Poprowadzone przekątne przecinają się w punkcie S.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    W kwadracie ABCD:

  • AB∥ DC i  AD∥ BC, AB=DC  =AD= BC

  • Miary kątów: A, B, C i D są równe 90°.

  • AC⊥BD,AC=BD oraz AS = SC=DS  = SB

A
Ćwiczenie 1

Ile kwadratów widzisz na rysunku? A ile prostokątów?

RsganOuI9sBkG1
Rysunek prostokąta podzielonego na kwadraty i prostokąty.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  1. Każdy … jest prostokątem.

  2. … prostokąt jest kwadratem.

A
Ćwiczenie 2

Na rysunku bok jednej kratki ma długość 1 cm. Przeciągnij wierzchołki czworokąta tak, by powstał prostokąt ABCD o wymiarach 6 cm i 8 cm.

RClipSi1WI98Z1
Animacja przedstawia czworokąt A B C D. Należy przemieszczać wierzchołki czworokąta tak, aby powstał prostokąt o wymiarach 6 cm i 8 cm. Otrzymujemy przykładowy prostokąt K L M N, w którym kreślimy przekątne KM i LN. Zauważamy, że w prostokącie przekątne mają takie same miary, co sprawdzamy wykorzystując linijkę.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iJpAsppAc6_d5e379

Kwadrat, prostokąt i ich własności

RR6qs1m68MYKI1
Animacja prezentuje kwadrat, w którym poprowadzone są przekątne. Należy zmierzyć linijką jego przekątne, a następnie sprawdzić kątomierzem pod jakim kątem się one przecinają. Po dokonaniu pomiarów zauważamy, że w kwadracie przekątne są równe i przecinają się pod kątem prostym.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Rp2a3dX5CrbrV1
Animacja prezentuje prostokąt A B C D z poprowadzonymi przekątnymi. Należy poruszać wierzchołkiem C prostokąta i obserwować kąt przecięcia się przekątnych prostokąta oraz długości jego boków. Zauważamy, że wszystkie boki prostokąta są tej samej długości, gdy kąt między jego przekątnymi jest kątem prostym. Prostokąt jest kwadratem, gdy ma boki tej samej długości.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
R11Pe6Uu9B9tF1
Animacja prezentuje romb A B C D z poprowadzonymi przekątnymi. Należy poruszać wierzchołkiem A i obserwować miary kątów tego rombu i długości jego przekątnych. Zauważamy, że gdy miary kątów tego rombu są równe, to jego przekątne są tej samej długości. Romb jest kwadratem, gdy jego kąty są kątami prostymi. Po zaobserwowaniu zmian, można zrobić to samo z wierzchołkiem D i zaobserwować, czy własności się zmieniają.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 3

Narysuj dwie proste prostopadłe. Zaznacz na nich cztery punkty, tak aby były wierzchołkami kwadratu o przekątnych długości 6 cm.

B
Ćwiczenie 4

Narysuj kwadrat, w którym suma długości przekątnych jest równa 14 cm.

B
Ćwiczenie 5

Narysuj prostokąt, w którym

  1. boki mają długości 4 cm, 6 cm

  2. jeden bok ma długość 30 mm, a drugi jest 2 razy dłuższy

  3. jeden bok ma 6 cm, a drugi jest o 3 cm krótszy

  4. połowa przekątnej ma długość 2 cm5 mm

B
Ćwiczenie 6

Narysuj prostokąt, którego przekątna ma długość 8 cm, a kąt rozwarty między przekątnymi ma miarę 120°.

classicmobile
Ćwiczenie 7

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Rfrmuqxl6M85v

  • Każdy prostokąt jest kwadratem.
  • Każdy kwadrat jest prostokątem.
  • W każdym prostokącie kąt między przekątnymi jest prosty.
static
iJpAsppAc6_d5e571

Obwód prostokąta i kwadratu

Przykład 1

Pan Kowalski zamierza ogrodzić siatką działkę w kształcie prostokąta o wymiarach 25 m i 35 m. Ile metrów siatki musi kupić, jeśli zamierza pozostawić miejsce na bramę wjazdową o szerokości 3 m i miejsce na furtkę o szerokości 1 m?

R1K0oVngR6LXL1
Animacja
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

A
Ćwiczenie 8
RHCKb9kZ030OX1
Animacja pokazuje różne prostokąty leżące na kratownicy. Należy podać obwód każdego prostokąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 9
RXrxSe9QlfaDy1
Animacja pokazuje różne kwadraty leżące na kratownicy. Należy podać obwód każdego kwadratu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 10

Oblicz obwód kwadratu o boku długości 5 cm.

A
Ćwiczenie 11

Obwód kwadratu wynosi 36 cm. Oblicz długość jego boku.

classicmobile
Ćwiczenie 12

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1SDt8JtSLuPP

  • Jeśli długość boku kwadratu zmniejszy się dwa razy, to obwód tego kwadratu też zmniejszy się dwa razy.
  • Jeśli bok kwadratu zwiększymy o  3  cm , to obwód kwadratu zwiększy się o  6  cm .
static
A
Ćwiczenie 13

Narysuj w zeszycie prostokąt o bokach długości 5 cm i 6 cm. Oblicz jego obwód.

A
Ćwiczenie 14
R17O4surMEreQ1
Animacja pokazuje prostokąt leżący na kratownicy. Należy przesunąć jeden wierzchołek tak, aby utworzyć inny prostokąt o podanym obwodzie.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iJpAsppAc6_d5e725
A
Ćwiczenie 15
R1Sx0NgH737ZA1
Animacja pokazuje kwadrat leżący na kratownicy. Należy przesunąć jeden wierzchołek tak, aby utworzyć inny kwadrat o podanym obwodzie.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 16

Obwód prostokąta jest równy 24 cm, a jeden z jego boków ma długość 5 cm. Oblicz długość drugiego boku tego prostokąta.

A
Ćwiczenie 17
RxOsu6QN3AAJv1
Zadanie interaktywne

Obwód prostokąta jest równy 14 cm. Przekątna dzieli ten prostokąt na dwa trójkąty o obwodach 12 cm. Oblicz długość przekątnej tego prostokąta.

Odp.: Przekątna ma długość ............ cm.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 18
ReikkPwsmvi9y1
Zadanie interaktywne

Na planie w skali 1 : 1000 prostokątna działka ma wymiary 45 mm x 50 mm. Oblicz obwód tej działki. Wynik podaj w metrach.

Odp.: Obwód działki wynosi ............ m.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 19
Rgf3pvamS5AAJ1
Zadanie interaktywne

Prostokąt i kwadrat mają takie same obwody równe 32 cm. Jeden z boków prostokąta jest o 2 cm krótszy od boku kwadratu. Jakie wymiary ma prostokąt?

Odp.: Prostokąt ma wymiary (krótszy bok) ............ cm i (dłuższy bok) ............ cm.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 20
R3ys260dA8kLc1
Zadanie interaktywne

Szerokość prostokąta wynosi 4 cm, a jego długość jest trzy razy dłuższa. Oblicz obwód tego prostokąta.

Odp.: Obwód prostokąta jest równy ............ cm.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.