Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał

Przypomnijmy, że trójkąty są podobne, jeśli wszystkie ich odpowiednie kąty są równe (cecha kąt‑kąt‑kąt).

RSPcg6BAdXahw1
Animacja pokazuje trzy różnych wymiarów zdjęcia tej samej budowli w kształcie trójkątna ostrokątnego. Na zdjęciu największym zaznaczono kąty alfa, beta i gamma. Porównując, w dwóch etapach (zdjęcie największe i średnie a potem największe i najmniejsze) odpowiednie kąty tych budowli, zauważamy że odpowiednie kąty w tych trójkątach są tej samej miary, a więc trójkąty są podobne.

Korzystając z cechy podobieństwa kąt‑kąt‑kąt, możemy sprawdzić, czy dwa trójkąty prostokątne są podobne, gdy w każdym z nich znamy miarę jednego z kątów ostrych.

R1Z0ky730VYW11
Animacja pokazuje trzy różnych wymiarów zdjęcia żaglówki, na których narysowano trójkąty prostokątne o kątach 90 stopni i alfa. W pierwszym trójkącie brakujący kąt beta równy 90 stopni minus alfa. W drugim trójkącie kąt beta prim równy 90 stopni minus alfa równy beta. W trzecim trójkącie kąt beta bis równy 90 stopni minus alfa równy beta, więc trójkąty są podobne.
Przykład 1

W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku C jest prosty, a miara kąta ABC jest równa 35°. W trójkącie prostokątnym KLM kąt przy wierzchołku K jest prosty, a miara kąta KLM jest równa 55°.
A zatem

ACB=LKM=90°, ABC=KML=35° , BAC=KLM=55°.

Trójkąty ABCKLM są więc podobne, co stwierdzamy, powołując się na cechę podobieństwa kąt‑kąt‑kąt.

RMbRNVQQRe3gR1
RGxS2Yb1gXk3T1

W trójkątach podobnych pary odpowiednich boków są proporcjonalne – boki trójkątów ABCKLM spełniają więc zależność

ABLM=BCKM=ACKL.

Wynika z tego, że każdy stosunek długości dwóch boków w trójkącie ABC jest równy stosunkowi długości odpowiednich boków w trójkącie KLM, np.

ABBC=LMKM, ACBC=KLKM,ACAB=KLLM.
Przykład 2

Rozpatrzmy trójkąt prostokątny ABC, którego przyprostokątne ACBC są równe 1.
Ponieważ trójkąt ten jest równoramienny, to miary jego kątów ostrych ABCCAB są równe 45°.
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej AB tego trójkąta.

AB2=AC2+BC2
AB2=12+12.

Ponieważ AB>0, stąd

AB=2.
R106oLE55iQN81

Wówczas ACBC=1, ACAB=12, czyli ACAB=22, a także BCAB=22.
Każdy równoramienny trójkąt prostokątny jest podobny do trójkąta ABC, co stwierdzamy na mocy cechy podobieństwa kąt‑kąt‑kąt. Zatem w każdym trójkącie prostokątnym, którego jeden z kątów ostrych jest równy 45°, stosunek dowolnie wybranej przyprostokątnej do przeciwprostokątnej jest równy 22.

Przykład 3

Pokażemy, że trójkąt prostokątny, w którym stosunek jednej z przyprostokątnych do przeciwprostokątnej jest równy 22, jest trójkątem, w którym oba kąty ostre są równe 45°.
Oznaczając długość przeciwprostokątnej tego trójkąta przez x, gdzie x>0, zauważmy, że jedna z jego przyprostokątnych ma długość 22x, a zatem (na podstawie twierdzenia Pitagorasa) druga przyprostokątna ma długość x2-22x2=22x. Wobec tego dany trójkąt prostokątny jest równoramienny, więc każdy z jego kątów ostrych ma miarę 45°.

Przykład 4

Rozpatrzmy trójkąt prostokątny ABC, którego przyprostokątna AC jest równa 1, a przeciwprostokątna AB jest równa 2. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy BC=3.

R1bBvoXknqsg21

Na prostej AC wybierzmy teraz punkt D symetryczny do punktu A względem punktu C. Wtedy

AD=2, DB=AB,

bo odcinki ABDB są symetryczne względem prostej BC. Wobec tego trójkąt ABD jest równoboczny, a BC to jego wysokość poprowadzona do boku AD.

R16S7LRHBZ7TP1

Wynika z tego, że w trójkącie ABC kąt ostry leżący naprzeciwko przyprostokątnej AC ma miarę 30°, a kąt ostry leżący naprzeciwko przyprostokątnej BC ma miarę 60°.

Przykład 5

Rozpatrzmy trójkąt prostokątny ABC, którego przyprostokątna BC jest równa 9, a przeciwprostokątna AB jest równa 15.
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy AC=12.

RFDE13PTIt42s1

Wybierzmy na półprostej CB takie punkty DE, że CD=12CE=43.

Rzmrtuea3hYzN1

Wtedy:

  • w trójkącie ACD jest AC=CD, więc kąt DAC ma miarę 45°.

  • w trójkącie ACE jest CEAC=33, a zatem kąt EAC ma miarę 30°.

Zatem kąt ostry BAC w trójkącie ABC ma miarę większą niż 30° i mniejszą niż 45°.
Za pomocą kątomierza, można zmierzyć na rysunku, że kąt ten ma miarę około 39°.

Przykład 6

Każdy trójkąt prostokątny, którego kąty ostre mają miary 30°, 60° jest podobny do trójkąta ABC, opisanego w poprzednim przykładzie. Wobec tego w każdym takim trójkącie prostokątnym:

  • stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta 30° do przeciwprostokątnej jest równy 12,

  • stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie 30° do przeciwprostokątnej jest równy 32,

  • stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta 30° do drugiej przyprostokątnej jest równy 13, czyli 33.

Wynika z tego również, że:

  • w każdym trójkącie prostokątnym, w którym jedna z przyprostokątnych jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej, kąt ostry leżący naprzeciw tej przyprostokątnej jest równy 30°,

  • w każdym trójkącie prostokątnym, w którym stosunek długości jednej z przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy 32, kąt ostry leżący naprzeciw tej przyprostokątnej jest równy 60°,

  • w każdym trójkącie prostokątnym, w którym stosunek długości jednej z przyprostokątnych do długości drugiej przyprostokątnej jest równy 3, kąt ostry leżący naprzeciw krótszej przyprostokątnej jest równy 30°.