R1VpyhkvHnoXD1

Obraz przedstawia dojrzałego mężczyznę w jasnym habicie, stojącego przy biurku. Lewą ręką podtrzymuje otwartą książkę kartkami w stronę obserwatora, w prawej dłoni trzyma cyrkiel, który opiera na kartce leżącej na dwóch zamkniętych książkach na biurku. Obok książek znajduje się także linijka i pióro.

Włoski matematyk, filozof, mnich                Luigi Guido Grandi opisał w $1703$ roku dziwny ciąg geometryczny, który nazywany jest dzisiaj szeregiem Grandiego.

Pierwszy wyraz ciągu to $1$, a iloraz to $\left(-1\right)$.

Postawił on pytanie – ile wynosi suma wyrazów tego ciągu.

Okazuje się, że można pogrupować wyrazy ciągu po dwa i wtedy suma będzie równa
$0$.

Można też pogrupować nieco inaczej i wtedy suma będzie równa $1$.

Stosując jeszcze inne przekształcenia można uzasadnić, że suma ta wynosi $\frac{1}{2}$.
Jak myślisz – dlaczego otrzymujemy tak różne wyniki?

W tym materiale też będziemy obliczać sumy wyrazów ciągów geometrycznych. Jednak będą to tylko sumy skończonej liczby wyrazów. Zatem sposoby obliczania tych sum nie będą nastręczały takich problemów, z jakimi zmagał się Grandi. Sumy dadzą się określić jednoznacznie, co więcej poznamy wzór na ich wyznaczanie.