Mówiąc o konstrukcjach „platońskich”, klasycznych lub krótko o konstrukcjach geometrycznych, mamy na myśli operacje rysowania linii i kreślenia okręgów przy użyciu wyłącznie cyrkla i liniału tzn. linijki bez podziałki. Przez wiele lat konstrukcje geometryczne stanowiły niezmiernie ważny dział matematyki i były podstawą działań wielu pokoleń inżynierów i konstruktorów. Dzisiaj inżynierowie wykorzystują raczej graficzne programy komputerowe do projektowania, a o samych konstrukcjach, dowodach ich poprawności, czy analizie rozwiązań takich problemów czyta się tylko w starych podręcznikach, literaturze popularnonaukowej czy historycznej.
Z konstrukcjami geometrycznymi związane są trzy wielkie problemy starożytnej matematyki greckiej, sformułowane przez filozofów (matematyków) tzw. szkoły pitagorejskiej: problem „trysekcji kąta”, „kwadratury koła”, czy wreszcie „podwojenia sześcianu” („problem delijski”). W potocznym języku dosyć często pojawia się frazeologizm „kwadratura koła” , który oznacza zadanie z góry skazane na niepowodzenie – ma swoje źródło w problemie polegającym na skonstruowaniu kwadratu, którego pole równe jest polu danego koła, przy użyciu wyłącznie cyrkla oraz linijki bez podziałki.
Problemem związanym z klasycznymi konstrukcjami geometrycznymi, z którym częściej spotykają się współcześni adepci matematyki szkolnej, jest możliwość skonstruowania wielokąta foremnego. Dopiero w wieku matematyk niemiecki C.F. Gauss podał kryterium, które pozwala wskazać, które z wielokątów foremnych można skonstruować za pomocą cyrkla i liniału. Odwołał się przy tym do liczb naturalnych postaci , gdzie jest nieujemną liczbą całkowitą (liczby te noszą nazwę liczb Fermata) i udowodnił, że –kąt foremny można skonstruować tylko wtedy, gdy , gdzie jest liczbą naturalną (wraz z zerem), a są różnymi pierwszymi liczbami Fermata lub gdy , gdzie m jest liczbą naturalną nie mniejszą niż 2.
Tym samym jest to możliwe np. dla , bo , dla , bo , czy dla , bo , ale nie jest to możliwe dla czy .
Odkryjesz algorytm konstrukcji –kąta foremnego dla .
Poznasz i uzasadnisz poprawność konstrukcji sześciokąta foremnego.
Poznasz konstrukcję pięciokąta foremnego.
Zastosujesz poznane zależności do rozwiązywania problemów geometrycznych.
Będziesz stosować kryterium Gaussa do badania wykonalności konstrukcji geometrycznych wielokątów foremnych.