O wyjątkowym okręgu

W szkolnej matematyce wspomina się kilka punktów szczególnych trójkąta – są to m.in.: ortocentrum, środek ciężkości, środki okręgów opisanego, czy wpisanego w dany trójkąt. Takich wyjątkowych punktów, którym dedykowana jest specjalna strona w Internecie, jest ponoć ponad pięć tysięcy, a jednym z nich jest środek okręgu Feuerbacha, okręgu niemal nieobecnego w szkolnych programach, a który niejako łączy te najbardziej znane punkty szczególne. Okręgiem Feuerbacha, inaczej okręgiem dziewięciu punktów, jest okrąg przechodzący przez środki boków $S_1$, $S_2$, $S_3$ dowolnego trójkąta. Okazuje się, że okrąg ten przechodzi przez spodki $W_1$, $W_2$, $W_3$ każdej z wysokości tego trójkąta oraz dzieli na połowy odcinki łączące wierzchołki z jego ortocentrum. Środek $O$ tego okręgu jest środkiem odcinka łączącego ortocentrum $T$ i środek $P_o$ okręgu opisanego na tym trójkącie, a promień jest połową promienia okręgu opisanego.

R1Kv7T28hhQWH

Rysunek przedstawia dwa okręgi i trójkąt. Mniejszy okrąg ma środek w punkcie O i okrąg ten przecina się z trójkątem. W trójkącie wyznaczono wysokości przecinające się w punkcie T. Każda z wysokości upuszczona jest kolejno na punkty: W 1, W 2 i W trzy. Środki boków opisano jako S 1, S 2, S trzy. Okrąg przecina się z bokami trójkąta w punktach S 1, S 2, S 3 oraz W 1, W 2, W trzy. Trójkąt wpisany jest w większy okrąg o środku w punkcie P zero. Duży okrąg narysowano linią przerywaną.