Jak wiemy, symetralna odcinka jest jedną z jego dwóch osi symetrii. Podobnie dwusieczna jest osią symetrii kąta. Okazuje się, że to nie jedyne związki między tymi obiektami. Rozważmy trójkąt $ABC$ oraz symetralną $s$ boku $BC$ i prostą $d$ zawierającą dwusieczną kąta leżącego naprzeciw tego boku, jak na rysunku.

RaBcQOQd5EogV

Grafika przedstawia okrąg, w który wpisany jest trójkąt. Wierzchołki trójkąta to: A, B, C. Wszystkie wierzchołki znajdują się na okręgu. Przez okrąg przechodzi prosta s, przecina ona bok AC oraz BC. Druga prosta przechodzi przez punkt A i przecina bok BC. Proste przecinają się na linii okręgu. Okrąg narysowano linią przerywaną.

Oczywiście proste te przetną się w pewnym punkcie. Mniej oczywistym faktem  i niezbyt często przywoływanym w szkole jest to, że ich punkt przecięcia leży na okręgu opisanym na trójkącie $ABC$. Dowód tej zależności nie jest celem niniejszej lekcji, dlatego go pominiemy, a dociekliwych odeślemy do własności kątów wpisanych opartych na równych łukach i własności symetralnych.

Skoncentrujemy się natomiast na powszechnie znanej, dowodzonej i często wykorzystywanej w szkole własności dwusiecznej, która wyznacza pewne proporcje odcinkowe w trójkącie.