Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał

Analizując zależności funkcyjne między różnymi wielkościami, spotykamy się z przypadkami, w których należy dokładnie ustalić, dla jakich argumentów określamy funkcję. Taką czynność nazywamy wyznaczaniem dziedziny funkcji.

Przykład 1

Rozważmy pole P kwadratu jako funkcję długości jego boku x. Funkcję tę zapisujemy wzorem Px=x2.
Do wzoru funkcji P można podstawiać dowolną liczbę rzeczywistą x, jednak dziedziną tej funkcji nie jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, tylko zbiór liczb dodatnich, bo tylko takie liczby mogą być długościami boków.
Z warunków zadania wynika, że dziedziną DP funkcji P jest zbiór wszystkich liczb dodatnich.

RuPHWcZBzXXfL1
Animacja pokazuje na wykresie funkcji, jak zwiększając długość boku kwadratu a zwiększamy pole tego kwadratu P(a) i odwrotnie zmniejszając bok kwadratu a zmniejszamy pole tego kwadratu P(a).
Przykład 2

W trójkącie ABC dane są długości boków AC=7BC=8. Oznaczmy AB=c. Funkcja L przyporządkowuje długości boku c obwód trójkąta ABC. Wówczas Lc=7+8+c=15+c, przy czym funkcja L jest określona dla tych c, dla których istnieje trójkąt ABC.
Z nierówności trójkąta wiemy, że odcinki o długościach 7, 8, są bokami trójkąta wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki:
c>0, c+7>8, 7+8>c oraz c+8>7.
Stąd c>1c<15. A zatem dziedziną DL funkcji L jest przedział (1, 15).

RPxGBr2QWVcdH1
Animacja pokazuje na wykresie funkcji, jak zwiększając długość boku c trójkąta A B C zwiększa się obwód L(c) trójkąta i odwrotnie zmniejszając długość boku c trójkąta zmniejsza się obwód L(c) trójkąta.
Przykład 3

Rozważmy wszystkie prostokąty, których obwód jest równy 24. Jeżeli przez a oznaczymy długość jednego z boków takiego prostokąta, to sąsiedni bok ma długość 12-a, zatem pole P prostokąta wyraża się wzorem P(a)=a(12-a)=-a2+12a. Taki prostokąt istnieje, gdy a>012-a>0. Wobec tego dziedziną D funkcji P jest przedział 0,12.

RJktEMjulnV171
Animacja pokazuje na wykresie funkcji, jak zmieniając długość boku a prostokąta zmienia się długość drugiego boku (12 -a) oraz jego pole P(a).
Przykład 4

Rozważmy wszystkie pary dodatnich liczb rzeczywistych xy, których suma jest dwa razy mniejsza od ich iloczynu. Zapiszemy liczbę y w zależności od x.
Warunki zadania zapisujemy w postaci
x>0y>0xy=2(x+y).
Z równości xy=2(x+y) wyznaczamy y

xy-2y=2x
yx-2=2x

Zauważmy, że dla x=2 otrzymujemy równość sprzeczną 0=4. A zatem dla x2 mamy y=2xx-2. Wynika z tego, że liczba dodatnia y jest ilorazem liczby dodatniej 2x i liczby x  2, więc x  2>0, czyli x>2.
Zatem funkcję y zapisujemy wzorem

yx=2xx-2

a dziedziną D tej funkcji jest przedział

2,+
R1ZPVCqMX37D31
Animacja pokazuje na wykresie funkcji, jak zwiększając wartość liczby x zmniejsza się wartość liczby y zgodnie ze wzorem y(x) = ułamek licznik 2x mianownik x -2.
C
Ćwiczenie 1

Znajdź wszystkie pary dodatnich liczb całkowitych xy, których suma jest dwa razy mniejsza od ich iloczynu.

Przykład 5

Rozważmy wszystkie trójkąty prostokątne o przeciwprostokątnej długości 5. Na przyprostokątnych takiego trójkąta zbudujemy kwadraty o polach xy. Wyznaczymy długość boku kwadratu o polu y w zależności od x.
Wiemy, że x>0y>0. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że x+y=52, czyli y=25-x.
Zatem długość d boku kwadratu o polu y jest funkcją zmiennej x, postaci dx=25-x, a dziedziną Dd tej funkcji jest przedział (0, 25).

RjA27WhYSbmQY1
Animacja pokazuje na wykresie funkcji, jak zwiększając pole kwadratu x zmniejsza się pole kwadratu y i odwrotnie zmniejszając pole kwadratu x zwiększa się pole kwadratu y.
Przykład 6

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne, których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 16. Wyznaczymy objętość V takiego graniastosłupa w zależności od długości a krawędzi jego podstawy.
Oznaczmy długość krawędzi bocznej tego graniastosłupa przez b. Z warunków zadania mamy a>0b>0 oraz 8a+4b=16, skąd b=4-2a,  zatem a<2.
Wobec tego objętość V graniastosłupa jest funkcją zmiennej a postaci

Va=a24-2a=-2a3+4a2

a dziedziną funkcji V jest przedział (0, 2).

R1XRkmissaAUc1
Animacja pokazuje na wykresie funkcji, jak zmieniając długość krawędzi podstawy graniastosłupa a zmienia się jego objętość V, zgodnie ze wzorem V(a) =-2 razy a do potęgi trzeciej +4 razy a do kwadratu.
Przykład 7

Rozważmy wszystkie liczby dwucyfrowe, których suma cyfr jest równa 15, a cyfrą dziesiątek jest x. Zapiszemy taką liczbę dwucyfrową wzorem zależnym od x.
Z warunków zadania wynika, że cyfrą jedności takiej liczby jest 15-x, a tą liczbą dwucyfrową jest 10x+(15-x).
Zauważmy, że powyższy wzór określa liczbę dwucyfrową wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące dwa warunki:

  • cyfra dziesiątek: x jest jedną z liczb: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

  • cyfra jedności: 15x jest jedną z liczb: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Wobec tego x należy do zbioru {6, 7, 8, 9}.
Zapisując tę liczbę dwucyfrową jako funkcję f zmiennej x, otrzymujemy

fx=10x+15-x=9x+15

Dziedziną funkcji f jest zbiór czteroelementowy {6, 7, 8, 9}.

R4pbJcj9FghOM1
Przykład 8

Na rysunku przedstawiony jest wykres zmian ceny akcji pewnej spółki w ciągu kilku miesięcy 2013 2014 r. Na podstawie wykresu można odczytać cenę akcji w każdym miesiącu, w którym została ona zapisana. Jednak przebieg tej funkcji opisującej te zmiany zmienia się w czasie rzeczywistym. Nie jesteśmy w stanie wyznaczyć wartości akcji w kolejnych miesiącach.

R12TvUkIW9pm11
K
Ćwiczenie 2

Zapoznaj się z najprostszą metodą przewidywania cen akcji na giełdzie.

K
Ćwiczenie 3

Zapoznaj się ze stroną internetową zawierającą informacje o notowaniu spółek giełdowych. Wybierz jedną z nich i śledź zmiany jej ceny przez kilka dni. Staraj się codziennie przewidzieć cenę spółki i oceń trafność swoich przewidywań.