Wydrukuj Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Zapisz jako PDF
Przykład 1

Rozpatrzmy funkcję liniową określoną wzorem

fx=2x-1.

Ponieważ f0=-1 oraz f1=1, zatem wykres funkcji przecina oś Oy w punkcie (0, 1) i przechodzi przez punkt (1, 1).

R1RwPdUeKK0fj1

Pokażemy, że przy zwiększaniu argumentu o 1 odpowiadająca mu wartość funkcji f zwiększa się o 2.
Weźmy dowolną liczbę rzeczywistą x1. Wtedy

fx1=2x1-1,

a także

fx1+1=2x1+1-1=2x1+2-1=2x1+1.

Obliczamy różnicę tych dwóch wartości

fx1+1-fx1=2x1+1-2x1-1=2x1+1-2x1+1=2.

Punkt A jest dowolnym punktem należącym do wykresu funkcji f. Aby znaleźć punkt B, którego pierwsza współrzędna jest o 1 większa od pierwszej współrzędnej punktu A, przesuwamy się,  1 jednostkę, wzdłuż osi Ox i o 2 jednostki, wzdłuż osi Oy.

R1AwWCloewy3T1
Animacja pokazuje na wykresie funkcji f(x) = 2x -1, że zwiększając argument o 1 zwiększa się odpowiadająca mu wartość funkcji f o 2.
Przykład 2

Rozpatrzmy funkcję liniową określoną wzorem

fx=-x+1.

Ponieważ f0=1 oraz f1=0, to wykres funkcji przecina oś Oy w punkcie (0, 1) i przechodzi przez punkt (1, 0).

RdoLHXHwuR0q91

Pokażemy, że przy zwiększaniu argumentu o 1 odpowiadająca mu wartość funkcji f zmniejsza się o 1.
Weźmy dowolną liczbę rzeczywistą x1. Wtedy

fx1=-x1+1,

a także

fx1+1=-x1+1+1=-x1-1+1=-x1.

Obliczamy różnicę tych dwóch wartości

fx1+1-fx1=-x1--x1+1=-x1+x1-1=-1.

Wobec tego, wybierając dowolny punkt A na wykresie funkcji f, znajdziemy na wykresie inny punkt, który powstaje z przesunięcia punktu 1 jednostkę, wzdłuż osi Ox i o (-1) jednostkę, wzdłuż osi Oy.

R1PJeFQwYtAkm1
Animacja pokazuje na wykresie funkcji f(x) = minus x +1, że zwiększając argument o 1 zmniejsza się odpowiadająca mu wartość funkcji f o 1.
Przykład 3

Rozpatrzmy funkcję liniową określoną wzorem

fx=-12x+2.

Ponieważ f0=2 oraz f2=1, to wykres funkcji przecina oś Oy w punkcie (0, 2) i przechodzi przez punkt (2, 1).

R4iFNVtGSxNi51

Pokażemy, że przy zwiększaniu argumentu o 1 odpowiadająca mu wartość funkcji f zmniejsza się o 12.
Weźmy dowolną liczbę rzeczywistą x1. Wtedy

fx1=-12x1+2,

a także

fx1+1=-12x1+1+2=-12x1-12+2=-12x1+112.

Obliczamy różnicę tych dwóch wartości

fx1+1-fx1=-12x1+112--12x1+2=-12x1+112+12x1-2=-12.

Wobec tego, wybierając dowolny punkt A na wykresie funkcji f, znajdziemy na wykresie inny punkt, który powstaje z przesunięcia punktu A1 jednostkę, wzdłuż osi Ox i o -12 jednostki, wzdłuż osi Oy. Można też znaleźć kolejny punkt, który powstaje z przesunięcia punkt 2 jednostki, wzdłuż osi Ox i o -1 jednostkę, wzdłuż osi Oy.

RreF133kbOj691
Animacja pokazuje na wykresie funkcji f(x) = minus jedna druga x +2, że zwiększając argument o 1 zmniejsza się odpowiadająca mu wartość funkcji f o jedną drugą.
RfRgyqHfxo3bv1
Animacja pokazuje, jak narysować w układzie współrzędnych wykres funkcji liniowej opisanej wzorem f(x) =a razy x +b, dla zmiennych współczynników a i b. W tabeli podane są dwa argumenty. Wstawiając do wzoru funkcji dany argument należy obliczyć wartość funkcji dla tych argumentów, następnie zaznaczyć je w układzie współrzędnych. Przez dwa punkty przechodzi prosta, która jest wykresem funkcji liniowej o podanym wzorze.

Wybierzmy na wykresie funkcji liniowej fx=ax+b różne punkty A i B, o współrzędnych xA, yAxB,yB Wtedy

  • yA=fxA=axA+b

  • yB=fxB=axB+b

Zauważmy, że yA-axA=b, a także yB-axB=b, więc yB-axB=yA-axA, skąd yB-yA=axB-axA. Zatem

axB-xA=yB-yA,

Ponieważ punkty AB są różne i leżą na wykresie funkcji, więc xAxB, stąd xB-xA0. Wobec tego

a=yB-yAxB-xA.

jest ilorazem różnicy dwóch wartości funkcji liniowej przez różnicę odpowiadających im argumentów.
Patrząc na dwa różne punkty AB leżące na wykresie funkcji

fx=ax+b,

interpretujemy współczynnik kierunkowy a jako iloraz wartości przesunięcia yB-yA wzdłuż osi Oy do odpowiadającej mu wartości przesunięcia xB-xA wzdłuż osi Ox.

Rkyevm1Z04XG61
Animacja pokazuje powyżej opisaną interpretację geometryczną współczynnika kierunkowego a funkcji liniowej f(x) = a razy x +b.
Przykład 4

Na wykresie funkcji liniowej f leżą punkty A=3, 11B=-2, -4. Ponieważ

xB-xA=-2-3=-5, yB-yA=-4-11=-15,

więc współczynnik kierunkowy a tej funkcji jest równy

a=-15-5=3.

Liczba a=3 oznacza również, że wzrostowi argumentu funkcji f o jedną jednostkę, odpowiada wzrost wartości o 3 jednostki.

Przykład 5

Na wykresie funkcji liniowej leżą punkty A=-2,1B=-3,5. Ponieważ

xB-xA=-3--2=-1, yB-yA=5-1=4,

zatem współczynnik kierunkowy a tej funkcji jest równy

a=4-1=-4.

Liczba a=-4 oznacza również, że wzrostowi argumentu funkcji f o jedną jednostkę, odpowiada zmniejszenie wartości funkcji o 4 jednostki.

Przykład 6

Na wykresie funkcji liniowej f leżą punkty A=1,3 i B=3,6. Ponieważ

xB-xA=3-1=2, yB-yA=6-3=3,

to współczynnik kierunkowy a tej funkcji jest równy

a=32.

Wartość a=32 oznacza również, że wzrostowi argumentu funkcji f o jedną jednostkę, odpowiada wzrost wartości o 32.

R1MIIgQzKcGiZ1
Animacja pokazuje jak mając różne funkcje opisane wzorem i za pomocą wykresu odczytać współrzędne dwóch punktów należących do tej prostej. Następnie korzystając z zależności, że współczynnik kierunkowy prostej jest ilorazem różnicy dwóch wartości funkcji liniowej przez różnicę odpowiadających im argumentów, obliczyć ten współczynnik.