Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał

Współrzędne wierzchołka paraboli

Ważne!

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f(x)=ax2+bx+c ma współrzędne p,q, gdzie p=-b2a oraz q=-Δ4a.
Zauważmy też, że współrzędne wierzchołka paraboli spełniają warunek q=fp.

Przykład 1

Wyznaczymy współrzędne wierzchołka W paraboli o równaniu

  1. y=x2-2x+10 
    Odczytujemy a=1, b=-2, c=10, stąd p=--221=1, a więc q=f1=1-2+10=9. Zatem W=1,9.

  2. y=-x2-4x+1 
    Odczytujemy a=-1, b=-4, c=1, stąd p=--42-1=-2. Wtedy q=f-2=-4+8+1=5, czyli W=-2,5.

  3. y=2x2+12x+17 
    Odczytujemy a=2, b=12, c=17, stąd p=-1222=-3, więc q=f-3=18-36+17=-1, czyli W=-3,-1.

  4. fx=-3x2+8x-9 
    Odczytujemy a=-3, b=8, c=-9, stąd p=-82-3=43. Ponadto Δ=82-4-3-9=-44, stąd q=--444-3=-4412=-113, czyli W=43,-113.

Przykład 2

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji

  1. fx=x2-4x-7 
    Odczytujemy współczynnik a=1. Ponieważ jest on dodatni, więc wykresem funkcji f jest parabola skierowana ramionami do góry. Wobec tego zbiorem wartości tej funkcji jest przedział q,+, gdzie q to druga współrzędna wierzchołka paraboli. W tym przypadku q=--42-41-741=-444=-11, zatem zbiorem wartości funkcji f jest przedział -11, +.

  2. fx=-x2+6x-2 
    Odczytujemy, że współczynnik a jest ujemny (a=-1), więc wykresem funkcji f jest parabola skierowana ramionami do dołu. Wobec tego zbiorem wartości tej funkcji jest przedział -,q, gdzie q to druga współrzędna wierzchołka paraboli. W tym przypadku q=-62-4-1-24-1=-28-4=7, zatem zbiorem wartości funkcji f jest przedział -,7.

  3. fx=5x2+15x+1 
    Ponieważ a=5>0 oraz q=-152-45145=-414, to zbiorem wartości funkcji f jest przedział -414,+.

  4. fx=-3x2+21x-16 
    Ponieważ a=-3<0 oraz q=-212-4-3-164-3=834, to zbiorem wartości funkcji f jest przedział -,834.

Przykład 3

Wyznaczymy maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnąca oraz maksymalny przedział, w którym ta funkcja jest malejąca.

  1. fx=x2-4x-7 
    Współczynnik a jest dodatni (a=1), więc wykresem funkcji f jest parabola skierowana ramionami do góry. Ponadto p=--421=2. Zatem maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnąca, to 2,+, a maksymalny przedział, w którym ta funkcja jest malejąca, to -,2.

  2. fx=-x2+6x-2 
    Współczynnik a jest ujemny (a=-1), więc wykresem funkcji f jest parabola skierowana ramionami do góry. Ponadto p=-62-1=3. Zatem maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnąca, to -,3, a maksymalny przedział, w którym ta funkcja jest malejąca, to 3,+.

  3. fx=3x2+5x-8 
    Ponieważ a=3>0 oraz p=-523=-56, więc maksymalnym przedziałem, w którym funkcja f rośnie, jest -56,+, a maksymalnym przedziałem, w którym ta funkcja maleje, jest -,-56.

  4. fx=-4x2-7x+19 
    Ponieważ a=-4<0 oraz p=--72-4=-78, więc maksymalnym przedziałem, w którym funkcja f rośnie, jest -,-78, a maksymalnym przedziałem, w którym ta funkcja maleje, jest -78,+.

Przykład 4
RdrhDIqQxwwgT1
Animacja prezentuje wzory różnych funkcji kwadratowych. W kolejnych krokach należy odczytać ze wzoru wartość współczynnika a, obliczyć współrzędne wierzchołka paraboli, podać wartość najmniejszą i największą funkcji, zbiór wartości oraz narysować oś symetrii, podać monotoniczność funkcji i narysować jej funkcji. Wykres funkcji rysowany jest w układzie współrzędnych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iHN7wgfWsq_d5e170
A
Ćwiczenie 1

Na każdym z poniższych rysunków przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej. Przy czym na jednym z nich jest wykres funkcji f, na innym – wykres funkcji g, a na jeszcze innym jest wykres funkcji h. Wiadomo, że zbiorem wartości funkcji f jest -2,+, wierzchołkiem wykresu funkcji g jest punkt -1,2, a osią symetrii wykresu funkcji h jest prosta o równaniu x=1. Na którym rysunku jest wykres funkcji f, na którym - wykres g, a na którym – wykres funkcji h?

R1X1xHkAIjGQM1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 2

Dana jest parabola o równaniu y=x2+8x-10. Wówczas

RZ8TjMmlE5td4
static
classicmobile
Ćwiczenie 3

Prosta o równaniu y=-3 ma dokładnie jeden punkt wspólny

R1Q3ObT7Y0LKU
static
classicmobile
Ćwiczenie 4

Osią symetrii paraboli y=-x2+bx+2 jest prosta o równaniu x=p.

R1OfaDVVeW1gp
static
A
Ćwiczenie 5

Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem fx=x2+bx+c. Oblicz wartości współczynników bc, wiedząc, że wykresem funkcji f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

  1. 0,2

  2. 2,0

  3. 1,1

  4. -1,2

A
Ćwiczenie 6
R7p8BlCehoPHn1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 7
R1JI56TClCy6K1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
iHN7wgfWsq_d5e436
classicmobile
Ćwiczenie 8

Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem fx=ax2+bx jest parabola o wierzchołku W. Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R2N8lSYQMlVCu
static
classicmobile
Ćwiczenie 9

Do wykresu funkcji kwadratowej f należą punkty: A=-15,35, B=-5,-20, C=5,35. Wynika z tego, że

R1QbPBgMQo6fR
static
classicmobile
Ćwiczenie 10

Wierzchołek paraboli y=x2-2x+2 leży na prostej o równaniu

R9WhugaPMLZXD
static
classicmobile
Ćwiczenie 11

Wykres funkcji f określonej wzorem fx=-x2+6x ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o równaniu

RFXGwZDCP8GIG
static
classicmobile
Ćwiczenie 12

Wskaż równanie paraboli, której wierzchołkiem jest punkt W=5,5.

RVELnpCNJY8HK
static
classicmobile
Ćwiczenie 13

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej fx=x2+2x+5 jest

RLeo00vtkFCqO
static
classicmobile
Ćwiczenie 14

Największa wartość funkcji kwadratowej fx=-x2-8x+2

R4e5YL2BayR8X
static
classicmobile
Ćwiczenie 15

Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział -2,+, może być określona wzorem

R1MN8GMkePWgP
static
iHN7wgfWsq_d5e826
classicmobile
Ćwiczenie 16

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem fx=12x2-2x+1.

R1COociyRuvPx
Wybierz dowolne angielskie słówko ze słowniczka i zapytaj kolegę o jego znaczenie.
static
classicmobile
Ćwiczenie 17

Prosta x=3 jest osią symetrii wykresu funkcji f określonej wzorem fx=2x2+bx. Wtedy prawdziwa jest równość

R1U4JJ8wbnX2m
static
classicmobile
Ćwiczenie 18

Wierzchołkiem paraboli o równaniu y=x2+bx+c jest punkt W=-2,3. Wtedy

R16hyvb91pn9o
static
classicmobile
Ćwiczenie 19

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem fx=x2-2mx+4. Można wskazać taką wartość m, aby zbiorem wartości tej funkcji był przedział

R16xEB2MlUeBX
static
A
Ćwiczenie 20

Zapisz w postaci kanonicznej funkcję kwadratową f, określoną wzorem ogólnym

  1. fx=2x2-5

  2. fx=-3x2+4

  3. fx=x2+x+14

  4. fx=-2x2+5x-318

A
Ćwiczenie 21

Zapisz w postaci kanonicznej funkcję kwadratową f, określoną wzorem ogólnym

  1. fx=5x2+30x+31

  2. fx=2x2-4x-1

  3. fx=-3x2-x+6

  4. fx=-4x2+14x-7

iHN7wgfWsq_d5e1109
A
Ćwiczenie 22

Zapisz w postaci kanonicznej wzór funkcji kwadratowej f, której wykresem jest parabola o wierzchołku W, przecinająca oś Oy w punkcie P.

  1. = 2, 0,= (0, 5) 

  2. = (1, 1),= (0, 2) 

  3. = 2, 3,= (0, 1)

  4. = 4, 6,= (0, 2

A
Ćwiczenie 23

W układzie współrzędnych narysowano część paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej. Zapisz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.

  1. Rxo5BEYvNR9rj1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  2. R1MPtvffusl4W1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  3. RpDwNJezn1Naz1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  4. R4zURkwSjt3Gt1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  5. RcO6yTxx51MFB1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  6. RopCYo1Nolxfo1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

A
Ćwiczenie 24

Zapisz w postaci kanonicznej wzór funkcji kwadratowej f, wiedząc, że na jej wykresie leżą punkty A, B, C.

  1. = (1, 3),= (0, 1)= (1, 3) 

  2. = (0, 5),= (3, 4)= (6,5)

A
Ćwiczenie 25

Podaj zbiór wartości funkcji określonej wzorem

  1. fx=2+1-x2

  2. fx=5--3+x2

  3. fx=3x-12-9

  4. fx=-2x+52+7

A
Ćwiczenie 26

Wyznacz zbiór wartości funkcji kwadratowej f.

  1. fx=x2+12x

  2. fx=3x2-6x+5

  3. fx=-x2+2x-5

  4. fx=-12x2+2x+3

A
Ćwiczenie 27

Podaj maksymalny przedział, w którym funkcja f rośnie.

  1. fx=3-x-22

  2. fx=11+1-x2

  3. fx=2x-62-7

  4. fx=-3x+152+8

A
Ćwiczenie 28

Wyznacz maksymalny przedział, w którym funkcja f maleje.

  1. fx=x2-5x

  2. fx=2x2+3x+5

  3. fx=-x2-4x+7

  4. fx=-3x2+8x-1

A
Ćwiczenie 29

Wykres y=x2-2x+3 funkcji kwadratowej ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o równaniu y=m. Oblicz m.

A
Ćwiczenie 30

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem fx=-x2-6x+c. Wyznacz wartość c, tak aby parabola będąca wykresem tej funkcji miała dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o równaniu =5.

A
Ćwiczenie 31

Prosta x=-3 jest osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji fx=x2+6kx+k-4. Ustal wartość k i wyznacz współrzędne wierzchołka W tej paraboli.

A
Ćwiczenie 32

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f określonej wzorem fx=-x2+4x+c jest przedział -,5. Wyznacz wartość c.