Wróć do informacji o e-podręczniku Udostępnij materiał Wydrukuj

Przypomnijmy wzory na pole i obwód koła.
Pole koła P=πr2 oraz obwód koła L=2πr, gdzie π3,14159 jest stałą matematyczną definiowaną jako stosunek obwodu koła do jego średnicy.

Wycinek koła
Definicja: Wycinek koła

Wycinkiem koła nazywamy każdą z dwóch jego części wyznaczonych przez dwa promienie tego koła wraz z tymi promieniami. Kąt pomiędzy tymi promieniami nazywamy kątem wycinka.

R1Ln1hoIdTjvs1
Przykład 1

Obliczmy pole wycinka koła o promieniu 3, którego kąt jest równy α=45°.
Zastanówmy się, jaką częścią całego koła jest ten wycinek.

R1W9gtDUWdFl41

Zauważmy, że 45°360°=18. Zatem pole wycinka stanowi ósmą część pola koła.

Pwycinka=18Pkoła
Pwycinka= 18πr2
Pwycinka= 18π32=98π
Pole wycinka
Definicja: Pole wycinka

Pole wycinka koła o promieniu r i kącie α jest równe

Pwycinka=α360°πr2
 Odcinek koła
Definicja:  Odcinek koła

Odcinkiem koła nazywamy każdą z dwóch części, na jakie dzieli to koło jego cięciwa wraz z tą cięciwą i łukiem okręgu.

RSPCWKZN76hd81
R9EFnB8iVv7rB1
RTMBbAI65vQyE1
Animacja pokazuje, jak obliczyć pole odcinek koła o środku w punkcie S i kącie środkowym alfa wykorzystując pole wycinka koła i trójkąta A B S. Pole odcinka koła jest równe różnicy lub sumie pola wycinka koła i pola trójkąta A B S. Pole wycinka równa się iloczynowi ilorazu alfa przez 360 stopni i pi r do potęgi drugiej.

Obliczymy pole odcinka koła.

  • przypadek I

Środek koła leży na zewnątrz odcinka koła. Wtedy pole tego odcinka jest mniejsze od połowy pola koła.
Połączmy końce cięciwy ze środkiem okręgu. Otrzymane promienie wraz z cięciwą są bokami trójkąta równoramiennego ASB, a kąt α między ramionami SASB jest kątem wycinka koła ASB. Pole odcinka koła obliczymy, odejmując od pola wycinka pole trójkąta ASB.

R7w2Qruo5AMID1
 Podcinka=Pwycinka-Ptrójkąta
  • przypadek II

Środek koła leży wewnątrz odcinka koła. Pole odcinka jest wtedy większe od połowy pola koła. Tak jak poprzednio, połączmy końce cięciwy ze środkiem okręgu. Otrzymane promienie wraz z cięciwą są bokami trójkąta równoramiennego ASB. Między ramionami SASB znajduje się kąt α. Pole odcinka koła obliczymy, dodając pole trójkąta ASB do pola wycinka.

Rp8ZXympT1Urh1
Podcinka=Pwycinka+Ptrójkąta.
  • przypadek III

Środek koła leży na cięciwie AB.
Cięciwa AB jest wtedy średnicą koła o promieniu r. Każdy z dwóch wyznaczonych przez nią odcinków koła jest półkolem o polu πr22.