Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał

Wycinek koła

Rm3AyI2Opc7bK1
E-podręczniki z matematyki
Wycinek koła
Definicja: Wycinek koła

Wycinkiem koła (wycinkiem kołowym) nazywamy część tego koła ograniczoną łukiem i ramionami kąta środkowego.

RLPoS2EA0Rav61
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

Kąt środkowy α wyznacza w kole dwa wycinki kołowe.

Przykład 1

W kole o promieniu 10 wyznaczony jest wycinek koła przez kąt środkowy o mierze 60°. Obliczymy pole tego wycinka.
Kąt o mierze 60° stanowi 6003600=16 kąta pełnego. Pole wycinka koła wyznaczonego przez ten kąt jest taką samą częścią pola całego koła. Stanowi więc 16 pola całego koła.

P=16πr2
P=16π102
P=1623π

Pole wycinka koła jest równe 1623π.

Przykład 2

Kąt środkowy w okręgu o promieniu 6 ma miarę 72°. Oblicz długość łuku wyznaczonego przez ten kąt.

RjgxuogctTbmo1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy, że kąt 72° stanowi 7203600=15 część kąta pełnego. Szukana długość łuku LW jest więc równa 15 długości okręgu.

LW=152πr
LW=2,4π

Długość łuku wyznaczonego przez wycinek koła jest równa 2,4π.
Zauważmy, że wycinek koła stanowi taką samą cześć koła, jaką częścią kąta pełnego jest kąt środkowy wyznaczający ten wycinek. Podobnie – długość łuku wyznaczonego przez ten wycinek jest taką samą częścią długości okręgu, jaką częścią kąta pełnego jest kąt środkowy wyznaczający ten wycinek.

Ważne!

Pole PW wycinka koła wyznaczonego w kole o promieniu r przez kąt środkowy o mierze α jest równe

PW=α3600πr2
Ważne!

Długość łuku LW wyznaczonego na okręgu o promieniu r przez kąt środkowy o mierze α jest równa

LW=α36002πr
Przykład 3

Kąt środkowy w kole o promieniu 18 cm ma miarę 240°. Oblicz długość łuku wyznaczonego przez ten kąt. Wynik zaokrąglij do części dziesiątych.
Korzystamy ze wzoru na długość łuku wyznaczonego przez wycinek kola. Do wzoru podstawiamy

α=240°
r=18 cm
LW=α36002πr
LW=240036002π18
LW=24π
LW75,4 cm

Długość łuku wyznaczonego przez ten wycinek wynosi około 75,4 cm.

Przykład 4

W kole o promieniu 27 dm kąt środkowy ma miarę 160°. Oblicz pole wycinka koła wyznaczonego przez ten kąt.
Korzystamy ze wzoru na pole wycinka koła. Do wzoru podstawiamy α=160°r=27 dm.

PW=α3600πr2
PW=16003600π272
PW=324π
PW1017,36 dm2

Pole wycinka koła jest równe około 1017,36 dm2.

RzGq3a637kadU1
Animacja przedstawia dwie figury z antycznej filozofii chińskiej. Yin i yang to dwie uzupełniające się siły. Yang oznacza światło słoneczne, biel. Yin to zachmurzenie, czerń. Siły yang i yin będące w ciągłym ruchu, powodują powstawanie wszystkich innych otaczających nas rzeczy. Symbolicznie yang i yin można przedstawić jako dwie przystające części koła. Zauważmy to w animacji, gdy jedną z nich obrócimy wokół środka koła o 180 stopni lub przekształcimy w symetrii środkowej względem koła.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 1

Podziel koło na równe części, przypominające Yin – Yang. Korzystając z suwaka, zmieniaj liczbę tych części.
Wykaż, że w każdym przypadku otrzymane części mają równe pola.

izlRarXnZc_d5e261

Odcinek koła

R1MZcuHlgUo7k1
E-podręczniki z matematyki
Odcinek koła
Definicja: Odcinek koła

Odcinkiem koła (odcinkiem kołowym) nazywamy część koła odciętą przez cięciwę wraz z tą cięciwą.

RQhUz5DnzKzGB1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Każda cięciwa wyznacza dwa odcinki koła. Średnica dzieli koło na dwa półkola.

Ważne!

Cięciwa ograniczająca odcinek koła wyznacza kąt środkowy α. Ramiona tego kąta ograniczają łuk okręgu.

R18sTVkJ0ddlc1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

Pole odcinka koła jest różnicą pola wycinka koła wyznaczonego przez kąt α i pola trójkąta, którego bokami są promienie okręgu i cięciwa.

Przykład 5

Odcinek koła wyznaczony jest przez kąt środkowy o mierze 120° i cięciwę długości 83. Oblicz pole odcinka.

R1Fqvd02BiNGo1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przyjmijmy oznaczenia takie, jak na rysunku. Wtedy trójkąt ABD jest trójkątem prostokątnym, w którym kąt DAB ma miarę 60° (jako połowa kąta 120°). Naprzeciw kąta o mierze 60° leży przyprostokątna długości 43 (jako połowa cięciwy). Korzystając z własności trójkąta prostokątnego o kątach 90°,60°,30°, stwierdzamy, że AD=4AB=8.
Obliczamy pole wycinka koła o promieniu r=AB=8 wyznaczonego przez kąt środkowy o mierze 60°.

PW=6003600π82
PW=323π

Obliczamy pole trójkąta ABC.

PΔ=12BCAD
PΔ=12834
PΔ=163

Pole odcinka koła jest równe różnicy pola wycinka i pola trójkąta ABC.

P=PW-PΔ
P=323π-163

Pole odcinka koła jest równe 1023π-163.

A
Ćwiczenie 2
RE46vXSYItWoG1
Animacja przedstawia okrąg o środku w punkcie S i średnicy AB. Niech punkt C (leży na okręgu) będzie jednym z końców średnicy prostopadłej do średnicy AB tego okręgu. Powstały trójkąt A B C jest prostokątny. Kreślimy na jego przyprostokątnych jako średnicach dwa okręgi o środkach w punktach O z indeksem dolnym jeden i O z indeksem dolnym dwa. Następnie kreślimy łuk A E B o promieniu CA i środku w punkcie C, który zawiera się w kole o średnicy AB. Obszar zawarty między tym łukiem a łukami okręgów o środkach w punktach O z indeksem dolnym jeden i O z indeksem dolnym dwa ma kształt przypominający serce. Zauważamy, że pole figury sercowej jest równe polu koła o promieniu SA.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Nazwijmy niebieską figurę na rysunku „figurą sercową”.
Zastanów się, w jaki sposób powstała ta figura.
Sprawdź, że pole figury sercowej jest równe πr2.

A
Ćwiczenie 3

Długość boku kwadratu jest równa a.
Na bokach kwadratu rysujemy księżyce Hipokratesa.

R1Jho2cGW1xOD1
Animacja przedstawia kwadrat, na bokach którego zbudowane są cztery półokręgi oraz okrąg opisany na kwadracie. Zamalowany jest obszar ograniczony tymi łukami, który tworzy cztery półksiężyce zwany lunulą kwadratową. Obliczając pole jednego z jej księżyców zauważmy, że pole kwadratu jest równe sumie pół czterech księżyców lunuli.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Figurę utworzoną z tych księżyców nazwiemy lunulą (Luna po łacinie to Księżyc).
Oblicz pole kwadratu.
Oblicz pole jednej z części lunuli. Oblicz pole lunuli.
Porównaj to pole z polem kwadratu. Co zauważasz?

A
Ćwiczenie 4

Lunula trójkątna powstaje na bazie trójkąta prostokątnego równoramiennego.

R9rbcr7NU2Vz01
Animacja przedstawia trójkąt prostokątny równoramienny A B C o kącie prostym A C B, na którym wykreślono łuk o środku w punkcie C i promieniu CA = CB. Jednocześnie wykreślono łuk o środku S przeciwprostokątnej i promieniu SA = SB. Pomiędzy tymi łukami utworzył się obszar w kształcie księżyca, zwany lunulą trójkątną. Porównując pole księżyca z polem trójkąta zauważamy, że oba pola są równe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przyjrzyj się, jak powstaje lunula trójkątna i wykonaj podobną konstrukcję.

RBpkfULY7Rb8v1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  1. Oblicz pole połowy kwadratu (czyli pole trójkąta prostokątnego równoramiennego).

  2. Oblicz pole lunuli.

  3. Porównaj te pola. Co zauważasz?

RpJ4kkSxmMJdQ1
Animacja przedstawia dowód, że obszar w kształcie księżyca zwany lunulą trójkątną ma pole równe polu trójkąta prostokątnego, na którym ta lunula została skonstruowana. Jeżeli przyjmiemy jako a bok kwadratu C B D A, to długość promienia lunuli jest SB równe jedna druga razy a pierwiastek z dwóch. Pole lunuli obliczamy odejmując od pola półkola o promieniu SB ćwierć koła o promieniu CB = A i dodając pole trójkąta A B C, które odjęliśmy przy okazji odejmowania ćwierć koła.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
izlRarXnZc_d5e483
A
Ćwiczenie 5

Koło o środku w punkcie S i promieniu równym 6 podzielono na jednakowe części. Następnie zamalowano na zielono niektóre z części – jak na rysunku. Oblicz pole zaznaczonych na zielono części tego koła.

RcE5nb1gWsj3O1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 6

Koło o środku w punkcie S ma promień równy 4. Oblicz pole pomalowanego na zielono wycinka tego koła.

RWTCIO30K3TQv1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 7

Oblicz pole koła, wiedząc, że

  1. wycinek tego koła wyznaczony przez kąt środkowy o mierze 120° ma pole równe 3π

  2. wycinek tego koła wyznaczony przez kąt środkowy o mierze 72° ma pole równe π

A
Ćwiczenie 8

W okręgu o promieniu 12 cm zaznaczono łuk wyznaczony przez kąt środkowy o mierze α. Wyznacz długość tego łuku, jeżeli

  1. α=40°

  2. α=20°

  3. α=240°

  4. α=100°

A
Ćwiczenie 9

Kwiatek składa się z czterech jednakowych płatków i środka w kształcie koła. Płatek ma kształt wycinka koła wyznaczonego przez kąt środkowy o mierze 45° w kole o promieniu 9. Środkowe koło ma promień równy 9. Oblicz pole powierzchni kwiatka. Wynik podaj z dokładnością do 0,1.

R15hHgDI1mIav1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wycinki jednakowe o kącie między ramionami 450.

classicmobile
Ćwiczenie 10

Które z linii mają tę samą długość?

R1HzEFpC3qkwS1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1UGsxwA2KT7l
static
B
Ćwiczenie 11

Oblicz długość łuku w okręgu o promieniu 4 cm, wyznaczonego przez kąt środkowy α.

R3f1WGuEMlVEa1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
B
Ćwiczenie 12

W kole o środku w punkcie S i promieniu 7,25 poprowadzono cięciwy ABCB. Cięciwa AB ma długość 10,5.
Oblicz sumę pól odcinków koła wyznaczonych przez te cięciwy. Wynik podaj z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

R11Pa0RbdfwU41
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
izlRarXnZc_d5e752
classicmobile
Ćwiczenie 13

Kąt środkowy w kole ma miarę 144°. Długość łuku wyznaczonego przez ten kąt jest równa 1,2π. Zaznacz każde zdanie prawdziwe.

RvXjpCgXFIbXg
static
A
Ćwiczenie 14

Wykaż, że pole zaznaczonej na zielono lunuli jest równe polu trójkąta ABC.

R9RRVSxYa6L3J1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
B
Ćwiczenie 15

Jaki promień ma koło, w którym wycinkowi o polu 6π odpowiada kąt o mierze 60°?

B
Ćwiczenie 16

Jaki promień ma okrąg, w którym kąt środkowy o mierze 12° jest oparty na łuku o długości 2π?

C
Ćwiczenie 17

Narysuj koło o promieniu 6. Zamaluj część tego koła o polu 30π.

A
Ćwiczenie 18

Oblicz pole odcinka kołowego wyznaczonego w kole o promieniu 5 przez cięciwę łączącą końce dwóch prostopadłych do siebie promieni.

B
Ćwiczenie 19

Narysuj dowolny okrąg. Na okręgu zamaluj łuk stanowiący:

  1. 34 długości okręgu

  2. 16 długości okręgu

  3. 1112 długości okręgu

A
Ćwiczenie 20

Uzupełnij zdania.

  1. Średnica koła wyznacza dwa … odcinki kołowe.

  2. Kąt środkowy α wyznacza w kole … wycinki kołowe.

C
Ćwiczenie 21

Udowodnij, że średnica dzieli koło na dwa przystające odcinki kołowe.

classicmobile
Ćwiczenie 22

Kąt środkowy oparty na łuku stanowiącym 18 długości okręgu ma miarę

RYBLP5KFT0gdH
static
B
Ćwiczenie 23

W kole zaznaczono dwa wycinki kołowe o równych polach. Wykaż, że wycinki te wyznaczone są przez kąty środkowe o jednakowych miarach.