Wykresem funkcji $f\left(x\right)={\left(x+1\right)}^2-4$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $\left(-1, -4\right)$, a jej ramiona są skierowane w górę.
Wykres funkcji $f$ otrzymujemy, przesuwając parabolę $y=x^2$ o $–1$ wzdłuż osi $\mathrm{Ox}$ oraz o $–4$ wzdłuż osi $\mathrm{Oy}$.
Osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu $x=-1$.
Maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ rośnie, to $⟨–1, +\infty )$, a maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ maleje, to $(–\infty , –1⟩$.
Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $⟨-4, +\infty )$.

R1SEgq65VDB3l1

Wykres dwóch funkcji f(x) = x kwadrat oraz f(x) =(x +1) do kwadratu -4.

Wykresem funkcji $g\left(x\right)=2{\left(x-3\right)}^2+2$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $\left(3,2\right)$, a jej ramiona skierowane są w górę.
Wykres funkcji $g$ otrzymujemy, przesuwając parabolę o równaniu $y=2x^2$ o $3$ wzdłuż osi $\mathrm{Ox}$ oraz o $2$ wzdłuż osi $\mathrm{Oy}$.
Osią symetrii wykresu funkcji $g$ jest prosta o równaniu $x=3$.
Maksymalny przedział, w którym funkcja $g$ rośnie, to $⟨3, +\left.\infty \right)$, a maksymalny przedział, w którym funkcja $g$ maleje, to $\left(-\infty , 3⟩\right.$.
Zbiorem wartości funkcji $g$ jest przedział $⟨-2, +\left.\infty \right)$.

RQYGG46g15DSQ1

Wykres dwóch funkcji f(x) = x kwadrat oraz g (x) = 2 razy (x -3) do kwadratu +2.

Wykresem funkcji $h\left(x\right)=-{\left(x-2\right)}^2-2$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $\left(2,-2\right)$, a jej ramiona są skierowane w dół.
Wykres funkcji $h$ otrzymujemy, przesuwając parabolę o równaniu $y=-x^2$ o $2$ wzdłuż osi $\mathrm{Ox}$ oraz o $–2$ wzdłuż osi $\mathrm{Oy}$.
Osią symetrii wykresu funkcji $h$ jest prosta o równaniu $x=2$.
Maksymalny przedział, w którym funkcja $h$ rośnie, to $\left(-\infty , 2⟩\right.$, a maksymalny przedział, w którym funkcja $h$ maleje, to $⟨2, +\left.\infty \right)$.
Zbiorem wartości funkcji $h$ jest przedział $\left(-\infty , -2⟩\right.$.

R1N2ALDZgjFtu1

Wykres dwóch funkcji f(x) = x kwadrat oraz h(x) = -(x -2) do kwadratu -2.

Wykresem funkcji $k\left(x\right)=-4{\left(x+3\right)}^2+1$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $\left(-3,1\right)$, a jej ramiona są skierowane w dół.
Wykres funkcji $k$ otrzymujemy, przesuwając parabolę o równaniu $y=-4x^2$ o $–3$ wzdłuż osi $\mathrm{Ox}$ oraz o $1$ wzdłuż osi $\mathrm{Oy}$.
Osią symetrii wykresu funkcji $k$ jest prosta o równaniu $x=-3$.
Maksymalny przedział, w którym funkcja $k$ rośnie, to $\left(-\infty , -3⟩\right.$, a maksymalny przedział, w którym funkcja $k$ maleje, to $⟨-3, +\left.\infty \right)$.
Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left(-\infty , 1⟩\right.$.

R1XkUmCmEuXIv1

Wykres dwóch funkcji f(x) = x kwadrat oraz k(x) = -4 razy (x +3) do kwadratu +1.

Wykres każdej z omawianych funkcji rysowaliśmy, korzystając z pomysłu przedstawionego na początku tej lekcji. Przepis ten da się zastosować do wykresu każdej funkcji kwadratowej, której wzór umiemy zapisać w postaci $y=a{\left(x-p\right)}^2+q$, nazywanej postacią kanoniczną funkcji kwadratowej.
Zauważmy, że w przypadku funkcji $f$ i $k$, po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy, otrzymujemy

oraz

natomiast w przypadku funkcji $g$ i $h$, po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy, otrzymujemy

a także

Zatem każdą z funkcji $f,\mathrm{ g},\mathrm{ h}$ i $k$ można zapisać w postaci $y=a{x}^2+\mathrm{bx}+c$.
Wzór $y=a{x}^2+\mathrm{bx}+c$, gdzie $a,\mathrm{ b},\mathrm{ c}$ są ustalone, przy czym $a$ jest różne od $0$, nazywamy postacią ogólną funkcji kwadratowej zmiennej $x$.

Na jednym rysunku naszkicujemy wykresy funkcji $f$ i $g$ określonych wzorami $f\left(x\right)={\left(x-2\right)}^2-4$ oraz $g\left(x\right)=x^2-4x$.
Przekształcimy wzór funkcji $f$.

Wobec tego funkcje $f$ i $g$ są tożsamościowo równe, czyli ich wykresem jest ta sama parabola.
Wykresem obu tych funkcji jest parabola, która powstaje w wyniku przesunięcia paraboli o równaniu $y=x^2$ o $2$ wzdłuż osi $\mathrm{Ox}$ oraz o $–4$ wzdłuż osi $\mathrm{Oy}$.

R1eUl4ir2l5Ov1

Wykres dwóch funkcji f(x) = x kwadrat, f(x) = (x -2) do kwadratu -4 oraz g(x) = x kwadrat -4x. Wierzchołek drugiej paraboli ma współrzędne (2, -4).

Wykażemy, że przesuwając równolegle parabolę $y=x^2$, otrzymamy wykres funkcji $f$ określonej wzorem

Po przesunięciu paraboli $y=x^2$ o $p$ wzdłuż osi $\mathrm{Ox}$ oraz o $q$ wzdłuż osi $\mathrm{Oy}$ otrzymujemy parabolę o równaniu $y={\left(x-p\right)}^2+q$, które przekształcamy do postaci $y=x^2-2\mathrm{px}+p^2+q$. Zauważmy, że dla $p=-4$ równanie tej paraboli to $y=x^2+8x+16+q$. Przyjmując dodatkowo $q=-4$, dostajemy $y=x^2+8x+12$. Oznacza to, że przesuwając parabolę o równaniu $y=x^2$ o $–4$ wzdłuż osi $\mathrm{Ox}$ i o $–4$ wzdłuż osi $\mathrm{Oy}$, otrzymujemy wykres podanej funkcji $f$. Wzór funkcji $f$ można też zapisać w postaci $f\left(x\right)={\left(x+4\right)}^2-4$.

Rg1y73nAQu3SP1

Wykres dwóch funkcji f(x) = x kwadrat oraz f(x) = x kwadrat +8x +12. Wierzchołek drugiej paraboli ma współrzędne (-4, -4).

Narysujemy wykres funkcji $f\left(x\right)=-x^2+4x+5$.
Wykorzystamy w tym celu pomysł z poprzedniego przykładu. Spodziewamy się, że wykres funkcji $f$ otrzymujemy, przesuwając parabolę o równaniu $y=-x^2$ o $p$ wzdłuż osi $\mathrm{Ox}$ oraz o $q$ wzdłuż osi $\mathrm{Oy}$. W efekcie otrzymujemy parabolę o równaniu $y=-{\left(x-p\right)}^2+q$, które przekształcamy do postaci $y=-x^2+2\mathrm{px}-p^2+q$. Jeżeli przyjmiemy $p=2$, to $2p=4$ i parabola ma równanie $y=-x^2+4x-4+q$. Wystarczy zatem przyjąć $q=9$ i otrzymujemy równanie $y=-x^2+4x+5$. Mamy więc

Wobec tego wykresem funkcji $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=-x^2+4x+5$ jest parabola, którą otrzymujemy w wyniku przesunięcia paraboli o równaniu $y=-x^2$ o $2$ wzdłuż osi $\mathrm{Ox}$ i o $9$ wzdłuż osi $\mathrm{Oy}$.

R1C9EMsvoQDXx1

Wykres dwóch funkcji f(x) = -x kwadrat oraz f(x) = -x kwadrat +4x +5. Wierzchołek drugiej paraboli ma współrzędne (2, 9).

Narysujemy wykres funkcji $f\left(x\right)=3x^2-6x$.
Zauważmy, że wzór funkcji $f$ można zapisać jako $f\left(x\right)=3\left(x^2-2x\right)$. Ponadto dla każdej liczby $x$ prawdziwa jest równość $x^2-2x+1={\left(x-1\right)}^2$, a więc także równość $x^2-2x={\left(x-1\right)}^2-1$.
Wzór funkcji $f$ można przekształcić do postaci

Wynika z tego, że wykresem funkcji $f$ opisanej wzorem $f\left(x\right)=3x^2-6x$ jest parabola, którą otrzymujemy w wyniku przesunięcia paraboli o równaniu $y=3x^2$ o $1$ wzdłuż osi $\mathrm{Ox}$ i o $–3$ wzdłuż osi $\mathrm{Oy}$.

ReM5yOEQn1VTA1

Wykres dwóch funkcji f(x) = 3x kwadrat oraz f(x) = 3x kwadrat -6. Wierzchołek drugiej paraboli ma współrzędne (1, -3).

Narysujemy wykres funkcji $f\left(x\right)=-2x^2+16x-22$.
Zauważmy, że wzór funkcji $f$ można zapisać jako $f\left(x\right)=-2\left(x^2-8x\right)-22$. Ponadto dla każdej liczby $x$ prawdziwa jest równość $x^2-8x+16={\left(x-4\right)}^2$, a więc także równość $x^2-8x={\left(x-4\right)}^2-16$.
Wzór funkcji $f$ można zatem zapisać w postaci

Wynika z tego, że wykresem funkcji $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=-2x^2+16x-22$ jest parabola, którą otrzymujemy w wyniku przesunięcia paraboli o równaniu $y=-2x^2$ o $4$ wzdłuż osi $\mathrm{Ox}$ i o $10$ wzdłuż osi $\mathrm{Oy}$.

R1SvAL5U8caTC1

Wykres dwóch funkcji f(x) = -2x kwadrat oraz f(x) = -2x kwadrat +16x -22. Wierzchołek drugiej paraboli ma współrzędne (4, 10).

Na rysunkach przedstawiono

1. wykres funkcji kwadratowej $f$

   R48N2Ygihzzam1

   Wykres funkcji kwadratowej f leżącej w pierwszej, drugiej, trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych o wierzchołku w punkcie (1, -1).

   

2. wykres funkcji kwadratowej $g$

   R1GA2ZiKoR2Ov1

   Wykres funkcji kwadratowej g leżącej w pierwszej, drugiej, trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych o wierzchołku w punkcie (-2, 2).

   

3. wykres funkcji kwadratowej $h$

   R1VCbPK77C25z1

   Wykres funkcji kwadratowej h leżącej w pierwszej, drugiej, trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych o wierzchołku w punkcie (3, 4).

   

4. wykres funkcji kwadratowej $k$

   RMF8lO3YMMboU1

   Wykres funkcji kwadratowej k leżącej w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych o wierzchołku w punkcie (1, 1).

   

   Zapiszemy wzór każdej z tych funkcji w postaci kanonicznej oraz w postaci ogólnej.

5. Wierzchołkiem paraboli jest punkt $(1, –1)$, więc ma ona równanie postaci $y=a{\left(x-1\right)}^2-1$. Na tej paraboli leży też punkt (0, 0), zatem $a\cdot {\left(0-1\right)}^2-1=0$, stąd $a=1$. Wobec tego postać kanoniczna funkcji $f$ to $f\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2-1$. Przekształcamy ten wzór do postaci ogólnej: $f\left(x\right)=x^2-2x+1-1$, stąd $f\left(x\right)=x^2-2x$.

6. Wierzchołkiem paraboli jest punkt $(–2, 2)$, więc ma ona równanie postaci $y=a{\left(x+2\right)}^2+2$. Na tej paraboli leży też punkt $(0, 0)$, zatem $a\cdot {\left(0+2\right)}^2+2=0$, stąd $a=-\frac{1}{2}$. Wobec tego postać kanoniczna funkcji $g$ to $g\left(x\right)=-\frac{1}{2}{\left(x+2\right)}^2+2$. Przekształcamy ten wzór do postaci ogólnej: $g\left(x\right)=-\frac{1}{2}\left(x^2+4x+4\right)+2$, stąd $g\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2-2x$.

7. Wierzchołkiem paraboli jest punkt (3, 4), więc ma ona równanie postaci $y=a{\left(x-3\right)}^2+4$. Na tej paraboli leży też punkt $(1, 0)$, zatem $a\cdot {\left(1-3\right)}^2+4=0$, stąd $a=-1$. Wobec tego postać kanoniczna funkcji $h$ to $h\left(x\right)=-{\left(x-3\right)}^2+4$. Przekształcamy ten wzór do postaci ogólnej: $h\left(x\right)=-\left(x^2-6x+9\right)+4$, stąd $h\left(x\right)=-x^2+6x-5$.

8. Wierzchołkiem paraboli jest punkt $(1, 1)$, więc ma ona równanie postaci $y=a{\left(x-1\right)}^2+1$. Na tej paraboli leży też punkt $(0, 3)$, zatem $a\cdot {\left(0-1\right)}^2+1=3$, skąd $a=2$. Wobec tego postać kanoniczna funkcji $k$ to $k\left(x\right)=2{\left(x-1\right)}^2+1$. Przekształcamy ten wzór do postaci ogólnej: $k\left(x\right)=2\left(x^2-2x+1\right)+1$, stąd $k\left(x\right)=2x^2-4x+3$.