Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał

Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej

Rozpatrzmy parabolę o równaniu y=ax2, gdzie a jest ustaloną liczbą różną od zera.
Po przesunięciu tej paraboli o p jednostek wzdłuż osi Ox (w prawo, gdy p>0 lub w lewo, gdy p<0) oraz o q jednostek wzdłuż osi Oy (w górę, gdy q>0 lub w dół, gdy q<0), otrzymujemy parabolę o równaniu

y=ax-p2+q.

Aby uprościć zapisy, będziemy mówić, że na przykład „przesuwamy wykres o 3 wzdłuż osi Oy”, zamiast „przesuwamy wykres o 3 jednostki w dół wzdłuż osi Oy”.

Przykład 1

Wykresem funkcji fx=x+12-4 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt -1, -4, a jej ramiona są skierowane w górę.
Wykres funkcji f otrzymujemy, przesuwając parabolę y=x21 wzdłuż osi Ox oraz o 4 wzdłuż osi Oy.
Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu x=-1.
Maksymalny przedział, w którym funkcja f rośnie, to 1, +), a maksymalny przedział, w którym funkcja f maleje, to (, 1.
Zbiorem wartości funkcji f jest przedział -4, +).

R1SEgq65VDB3l1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 2

Wykresem funkcji gx=2x-32+2 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt 3,2, a jej ramiona skierowane są w górę.
Wykres funkcji g otrzymujemy, przesuwając parabolę o równaniu y=2x23 wzdłuż osi Ox oraz o 2 wzdłuż osi Oy.
Osią symetrii wykresu funkcji g jest prosta o równaniu x=3.
Maksymalny przedział, w którym funkcja g rośnie, to 3, +, a maksymalny przedział, w którym funkcja g maleje, to -, 3.
Zbiorem wartości funkcji g jest przedział -2, +.

RQYGG46g15DSQ1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 3

Wykresem funkcji hx=-x-22-2 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt 2,-2, a jej ramiona są skierowane w dół.
Wykres funkcji h otrzymujemy, przesuwając parabolę o równaniu y=-x22 wzdłuż osi Ox oraz o 2 wzdłuż osi Oy.
Osią symetrii wykresu funkcji h jest prosta o równaniu x=2.
Maksymalny przedział, w którym funkcja h rośnie, to -, 2, a maksymalny przedział, w którym funkcja h maleje, to 2, +.
Zbiorem wartości funkcji h jest przedział -, -2.

R1N2ALDZgjFtu1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
inT4yVy8ED_d5e164
Przykład 4

Wykresem funkcji kx=-4x+32+1 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt -3,1, a jej ramiona są skierowane w dół.
Wykres funkcji k otrzymujemy, przesuwając parabolę o równaniu y=-4x23 wzdłuż osi Ox oraz o 1 wzdłuż osi Oy.
Osią symetrii wykresu funkcji k jest prosta o równaniu x=-3.
Maksymalny przedział, w którym funkcja k rośnie, to -, -3, a maksymalny przedział, w którym funkcja k maleje, to -3, +.
Zbiorem wartości funkcji f jest przedział -, 1.

R1XkUmCmEuXIv1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 5
R1ayEtCBSJfCa1
Animacja prezentuje różne wykresy funkcji kwadratowej w układzie współrzędnych o postaci kanonicznej f(x) = a razy (x –p) do kwadratu plus q. Należy przesunąć parabolę tak, aby jej wierzchołkiem był punkt o danych współrzędnych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 6

Wykres każdej z omawianych funkcji rysowaliśmy, korzystając z pomysłu przedstawionego na początku tej lekcji. Przepis ten da się zastosować do wykresu każdej funkcji kwadratowej, której wzór umiemy zapisać w postaci y=ax-p2+q, nazywanej postacią kanoniczną funkcji kwadratowej.
Zauważmy, że w przypadku funkcji fk, po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy, otrzymujemy

fx=x+12-4=x2+2x+1-4=x2+2x-3

oraz

kx=-4x+32+1=-4x2+6x+92+1=-4x2-24x-35,

natomiast w przypadku funkcji gh, po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy, otrzymujemy

gx=2x-32+2=2x2-6x+9+2=2x2-12x+20,

a także

hx=-x-22-2=-x2-4x+4-2=-x2+4x-6.

Zatem każdą z funkcji f, g, hk można zapisać w postaci y=ax2+bx+c.
Wzór y=ax2+bx+c, gdzie a, b, c są ustalone, przy czym a jest różne od 0, nazywamy postacią ogólną funkcji kwadratowej zmiennej x.

inT4yVy8ED_d5e237

Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci ogólnej

Przykład 7

Na jednym rysunku naszkicujemy wykresy funkcji fg określonych wzorami fx=x-22-4 oraz gx=x2-4x.
Przekształcimy wzór funkcji f.

fx=x-22-4=x2-4x+4-4=x2-4x

Wobec tego funkcje fg są tożsamościowo równe, czyli ich wykresem jest ta sama parabola.
Wykresem obu tych funkcji jest parabola, która powstaje w wyniku przesunięcia paraboli o równaniu y=x22 wzdłuż osi Ox oraz o 4 wzdłuż osi Oy.

R1eUl4ir2l5Ov1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 8

Wykażemy, że przesuwając równolegle parabolę y=x2, otrzymamy wykres funkcji f określonej wzorem

fx=x2+8x+12.

Po przesunięciu paraboli y=x2p wzdłuż osi Ox oraz o q wzdłuż osi Oy otrzymujemy parabolę o równaniu y=x-p2+q, które przekształcamy do postaci y=x2-2px+p2+q. Zauważmy, że dla p=-4 równanie tej paraboli to y=x2+8x+16+q. Przyjmując dodatkowo q=-4, dostajemy y=x2+8x+12. Oznacza to, że przesuwając parabolę o równaniu y=x24 wzdłuż osi Ox i o 4 wzdłuż osi Oy, otrzymujemy wykres podanej funkcji f. Wzór funkcji f można też zapisać w postaci fx=x+42-4.

Rg1y73nAQu3SP1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 9

Narysujemy wykres funkcji fx=-x2+4x+5.
Wykorzystamy w tym celu pomysł z poprzedniego przykładu. Spodziewamy się, że wykres funkcji f otrzymujemy, przesuwając parabolę o równaniu y=-x2p wzdłuż osi Ox oraz o q wzdłuż osi Oy. W efekcie otrzymujemy parabolę o równaniu y=-x-p2+q, które przekształcamy do postaci y=-x2+2px-p2+q. Jeżeli przyjmiemy p=2, to 2p=4 i parabola ma równanie y=-x2+4x-4+q. Wystarczy zatem przyjąć q=9 i otrzymujemy równanie y=-x2+4x+5. Mamy więc

fx=-x-22+9.

Wobec tego wykresem funkcji f określonej wzorem fx=-x2+4x+5 jest parabola, którą otrzymujemy w wyniku przesunięcia paraboli o równaniu y=-x22 wzdłuż osi Ox i o 9 wzdłuż osi Oy.

R1C9EMsvoQDXx1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 10

Narysujemy wykres funkcji fx=3x2-6x.
Zauważmy, że wzór funkcji f można zapisać jako fx=3x2-2x. Ponadto dla każdej liczby x prawdziwa jest równość x2-2x+1=x-12, a więc także równość x2-2x=x-12-1.
Wzór funkcji f można przekształcić do postaci

fx=3x2-2x=3x-12-1=3x-12-3.

Wynika z tego, że wykresem funkcji f opisanej wzorem fx=3x2-6x jest parabola, którą otrzymujemy w wyniku przesunięcia paraboli o równaniu y=3x21 wzdłuż osi Ox i o 3 wzdłuż osi Oy.

ReM5yOEQn1VTA1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
inT4yVy8ED_d5e318
Przykład 11

Narysujemy wykres funkcji fx=-2x2+16x-22.
Zauważmy, że wzór funkcji f można zapisać jako fx=-2x2-8x-22. Ponadto dla każdej liczby x prawdziwa jest równość x2-8x+16=x-42, a więc także równość x2-8x=x-42-16.
Wzór funkcji f można zatem zapisać w postaci

kx=-2x2-8x-22=-2x-42-16-22=-2x-42+10.

Wynika z tego, że wykresem funkcji f określonej wzorem fx=-2x2+16x-22 jest parabola, którą otrzymujemy w wyniku przesunięcia paraboli o równaniu y=-2x24 wzdłuż osi Ox i o 10 wzdłuż osi Oy.

R1SvAL5U8caTC1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 12

Na rysunkach przedstawiono

  1. wykres funkcji kwadratowej f

    R48N2Ygihzzam1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  2. wykres funkcji kwadratowej g

    R1GA2ZiKoR2Ov1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  3. wykres funkcji kwadratowej h

    R1VCbPK77C25z1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  4. wykres funkcji kwadratowej k

    RMF8lO3YMMboU1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    Zapiszemy wzór każdej z tych funkcji w postaci kanonicznej oraz w postaci ogólnej.

  5. Wierzchołkiem paraboli jest punkt (1, 1), więc ma ona równanie postaci y=ax-12-1. Na tej paraboli leży też punkt (0, 0), zatem a0-12-1=0, stąd a=1. Wobec tego postać kanoniczna funkcji f to fx=x-12-1. Przekształcamy ten wzór do postaci ogólnej: fx=x2-2x+1-1, stąd fx=x2-2x.

  6. Wierzchołkiem paraboli jest punkt (2, 2), więc ma ona równanie postaci y=ax+22+2. Na tej paraboli leży też punkt (0, 0), zatem a0+22+2=0, stąd a=-12. Wobec tego postać kanoniczna funkcji g to gx=-12x+22+2. Przekształcamy ten wzór do postaci ogólnej: gx=-12x2+4x+4+2, stąd gx=-12x2-2x.

  7. Wierzchołkiem paraboli jest punkt (3, 4), więc ma ona równanie postaci y=ax-32+4. Na tej paraboli leży też punkt (1, 0), zatem a1-32+4=0, stąd a=-1. Wobec tego postać kanoniczna funkcji h to hx=-x-32+4. Przekształcamy ten wzór do postaci ogólnej: hx=-x2-6x+9+4, stąd hx=-x2+6x-5.

  8. Wierzchołkiem paraboli jest punkt (1, 1), więc ma ona równanie postaci y=ax-12+1. Na tej paraboli leży też punkt (0, 3), zatem a0-12+1=3, skąd a=2. Wobec tego postać kanoniczna funkcji k to kx=2x-12+1. Przekształcamy ten wzór do postaci ogólnej: kx=2x2-2x+1+1, stąd kx=2x2-4x+3.

inT4yVy8ED_d5e401
A
Ćwiczenie 1
RZuG2YywEMkzq1
E-podręczniki z matematyki
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 2
R19wcyBZUG1Zk1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 3

Funkcja f jest określona wzorem fx=(x1)2+2. Wynika z tego, że wykres funkcji f

R1KYmDZnzyhSN
static
classicmobile
Ćwiczenie 4

Wskaż zdania prawdziwe.

RgFqKUzfNiEnC
static
A
Ćwiczenie 5

Znajdź zbiór wartości funkcji.

  1. fx=x+22-1

  2. gx=-x-12+3

  3. hx=-3x2+4

  4. kx=4x-12+2

A
Ćwiczenie 6
Rh0jismasZVXx1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 7
Rq1lWGpk6WIW71
E-podręczniki z matematyki
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
inT4yVy8ED_d5e607
A
Ćwiczenie 8

Narysuj wykres funkcji kwadratowej f. Zaznacz wierzchołek otrzymanej paraboli i narysuj jej oś symetrii.

  1. fx=x-32+1

  2. fx=x+42-1

  3. fx=12x+22+2

  4. fx=2x-22-5

A
Ćwiczenie 9

Narysuj wykres funkcji kwadratowej f. Zaznacz wierzchołek otrzymanej paraboli i narysuj jej oś symetrii.

  1. fx=-x+12+4

  2. fx=-x-22-1

  3. fx=-2x-12+3

  4. fx=-23x+32-2

A
Ćwiczenie 10

Ustal maksymalny przedział, w którym funkcja f rośnie i maksymalny przedział, w którym maleje.

  1. fx=2x+12-7

  2. fx=-x-42+9

  3. fx=34x-52+12

  4. fx=-25x+62-11

A
Ćwiczenie 11

Podaną funkcję kwadratową zapisz w postaci kanonicznej i ustal jej zbiór wartości.

  1. fx=x2-2x+7

  2. gx=x2+10x

  3. hx=x2-12x+20

  4. tx=x2+4x+9

A
Ćwiczenie 12

Podaną funkcję kwadratową zapisz w postaci kanonicznej i ustal jej zbiór wartości.

  1. fx=-x2+6x+1

  2. gx=-x2+2x-4

  3. hx=-x2-8x+14

  4. tx=-x2-5x

A
Ćwiczenie 13

Podaną funkcję kwadratową zapisz w postaci kanonicznej i podaj równanie osi symetrii jej wykresu.

  1. fx=2x2-6x+3

  2. gx=12x2-5x+12

  3. hx=-3x2-15x

  4. tx=-14x2+72x

A
Ćwiczenie 14

Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji kwadratowej f. Zapisz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej oraz w postaci ogólnej.

  1. RcFHL8wH35ReA1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  2. RAcNIEI5b7LKn1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  3. RfDn3BQOiy1jV1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  4. R10Srmkq6CLHE1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.