Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Wydrukuj

Zajmiemy się teraz funkcjami opisanymi takim samym wzorem jak proporcjonalność odwrotna, czyli fx=ax, ale określonymi dla dowolnej liczby x0. Przyjmiemy, że współczynnik a0. Przy a=0f(x)=0 jest nieokreślona dla x=0, więc jej dziedziną jest Ra.

Zastanówmy się, jak wygląda wykres funkcji opisującej proporcjonalność odwrotną.

Przykład 1

Narysuj wykres funkcji y=1x, gdy x0.

R1Ektta2amw1S1
Animacja prezentuje rysowanie wykresu funkcji y = 1 dzielone przez x. Zmieniając wartości argumentów x zmieniają się wartości funkcji f, co ilustruje wykres zwany hiperbolą. Hiperbola leży w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Zaznaczone są asymptota pionowa y =0 oraz asymptota pozioma x =0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Otrzymany wykres nazywamy hiperbolą. Hiperbola składa się z dwóch ramion położonych symetrycznie względem punktu (0,0). Charakterystyczne dla tego wykresu jest to, że każde z jego ramion zbliża się do osi układu współrzędnych, ale w żadnym punkcie nie przecina ani osi Ox, ani Oy.
Przyjrzymy się innym własnościom funkcji f(x)=1x.

Przykład 2

Odczytaj z wykresu własności funkcji f(x)=1x .

Rs1P9IhRSPfIt1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  • Ramiona hiperboli leżą w IIII ćwiartce układu współrzędnych.

  • Funkcja f jest określona dla wszystkich x0 (wykres funkcji nie przecina osi Oy).

  • Zbiorem wartości jest przedział -,00,+.

  • Funkcja f nie ma miejsc zerowych (wykres funkcji nie ma punktów wspólnych z osią Ox).

  • Funkcja f jest malejąca w każdym z przedziałów -,0 oraz 0,+.

  • Funkcja f przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału 0,+ oraz wartości ujemne dla argumentów z przedziału -,0.

Przykład 3

Korzystając z wykresu funkcji f(x)=1x, narysuj wykres funkcji gx=-1x.

RKa2CB1hyqq101
Animacja przedstawia hiperbolę f (x) = 1 przez x oraz hiperbolę g(x) = -1 dzielone przez x, symetryczną do niej względem osi OX. Hiperbola f(x) leży w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, a hiperbola g(x) leży w drugiej i czwartej ćwiartce.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Zauważmy, że gx=-f(x), zatem wystarczy przekształcić hiperbolę f(x)=1x symetrycznie względem osi Ox.

RVgOL0WbzCR8x1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odczytamy z wykresu własności funkcji gx=-1x.

  • Ramiona hiperboli leżą w IIIV ćwiartce układu współrzędnych.

  • Funkcja g jest określona dla wszystkich x0 (wykres funkcji nie przecina osi Oy).

  • Zbiorem wartości jest przedział -,00,+.

  • Funkcja g nie ma miejsc zerowych (wykres funkcji nie ma punktów wspólnych z osią Ox).

  • Funkcja g jest rosnąca w każdym z przedziałów -,0 oraz 0,+.

  • Funkcja g przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału -,0 oraz wartości ujemne dla argumentów z przedziału 0,+.

itIav9LEIk_d5e179
Przykład 4
R1Z8Txd2xk7wR1
Animacja prezentuje wykres funkcji y = a dzielone przez x w zależności od współczynnika a. Dla a >0 hiperbola leży w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Dla a <0 hiperbola leży w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Następnie zmieniając wartość współczynnika a tworzymy prostokąty w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych tak, że dwa boki pokrywają się z osiami. Wierzchołki prostokątów nie leżące na osiach tworzą hiperbolę. Zauważamy, że pole każdego prostokąta jest równe danej wartości współczynnika a.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 5

Narysuj wykres f(x)=4x. Odczytaj z wykresu najmniejszą wartość funkcji w przedziale 0,1

R1GKGUHkScgcM1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiedź. Najmniejsza wartość funkcji f(x)=4x w przedziale 0,1 jest równa 4.

Przykład 6

Punkt P=(3,-2) leży na wykresie proporcjonalności odwrotnej fx=ax. Wyznacz wartość współczynnika a.
Z tego, że punkt P=3,-2 leży na wykresie fx=ax, wynika, że -2=a3, czyli a=-6.

Przykład 7

Narysuj wykres funkcji fx=-3x. Odczytaj z wykresu, dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości mniejsze od 3.

RwQGSbceggbkb1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odpowiedź. Funkcja fx=-3x przyjmuje wartości mniejsze od -3 dla argumentów z przedziału 0,1).

A
Ćwiczenie 1
RluH7tdP3wOZg1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.