Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Wydrukuj

Wyrażenia wymierne

Rozważając zależności między różnymi wielkościami, mamy do czynienia również z takimi, w których występują wyrażenia wymierne. Na przykład wartość prędkości średniej obliczamy jako iloraz drogi i czasu, w którym ta droga została przebyta.

Przykład 1

Miejscowości AB są odległe o 154 km. W połowie drogi między nimi znajduje się miejscowość C. Rowerzysta przejechał drogę z A do C, przy czym wartość jego średniej prędkości na trasie z A do C była o 6 km/h większa niż wartość średniej prędkości na trasie z C do B.
Przyjmując, że wartość średniej prędkości tego rowerzysty na trasie z C do B była równa v km/h, wyrazimy za pomocą v wartość jego średniej prędkości na całej trasie z A do B.
Z warunków zadania wnioskujemy, że czas t1 (w godzinach) przejazdu rowerzysty z A do C to

t1=77v+6

Natomiast czas t2 (w godzinach) jego przejazdu z C do B to

t2=77v

Zatem średnia prędkość V tego rowerzysty na trasie z A do B jest równa

V=15477v+6+77v

Wyrażenie to przekształcamy następująco

15477v+6+77v=15477v+77v+6v+6v=154v+6v77v+v+6=154v+6v772v+3=v+6vv+3

Wobec tego

V=v+6vv+3

W powyższym przykładzie przy zapisie czasów t1t2 oraz prędkości średniej V wystąpiły wyrażenia wymierne t1=77v+6, t2=77v, V=v+6vv+3. Każde z nich jest zapisane w postaci ilorazu, a w mianowniku każdego z tych wyrażeń występuje zmienna v.
Zauważmy, że dla każdej wartości v (która jako wartość prędkości jest dodatnia), wyrażenia te są określone. Gdyby na przykład ten rowerzysta jechał z C do B ze średnią prędkością v=22 km/h, to jego średnia prędkość na trasie z A do C byłaby równa 28 km/h, a średnia prędkość na całej trasie z A do  V=282225km/h=24,64 km/h. Nie jest to, jak widać, średnia arytmetyczna wartości prędkości na trasach z A do B i z B do C.

Przykład 2

Rowerzysta przejechał drogę z A do B. W połowie drogi między miejscowościami AB znajduje się miejscowość C. Przyjmując, że na trasie z A do C rowerzysta jechał ze średnią prędkością v1km/h, a na trasie z C do B – ze średnią prędkością v2 km/h, zapiszemy wartość jego średniej prędkości na całej trasie z A do B.
Oznaczmy przez s drogę z A do B.
Z warunków zadania wnioskujemy, że czas t1 (w godzinach) przejazdu rowerzysty z A do C to

t1=s2v1=s2v1

Natomiast czas t2 (w godzinach) jego przejazdu z C do B to

t2=s2v2=s2v2

Zatem średnia prędkość V tego rowerzysty na trasie z A do B jest równa

V=st1+t2=ss2v1+s2v2=ssv2+sv12v1v2=s2v1v2sv1+v2,

czyli wyraża się wzorem

V=2v1v2v1+v2

Liczba 2v1v2v1+v2 to tzw. średnia harmoniczna liczb dodatnich v1, v2.

Przykład 3

Wielkość dodatnia a jest wyrażona w zależności od wielkości dodatnich bc następującym wzorem

a=3bcb+2c

Przyjmując, że to jest możliwe, wyrazimy

  1. b w zależności od ac

  2. w zależności od ab

Przekształcamy dany wzór do postaci ab+2c=3bc, stąd ab+2ac=3bc. Zatem

  1. 2ac=3bc-ab, a więc b3c-a=2ac, co oznacza, że b=2ac3c-a, gdy 3c-a0.

  2. ab=3bc-2ac, a więc c3b-2a=ab, co oznacza, że c=ab3b-2a, gdy 3b-2a0.

Równanie wymierne

Równaniem wymiernym z niewiadomą x nazywamy równanie, które można sprowadzić do postaci

W1xW2x=0

gdzie W1, W2 są wielomianami, przy czym W2 jest wielomianem co najwyżej pierwszego stopnia

W2x0

Rozwiążemy kilka takich równań.

Przykład 4

Rozwiążemy równanie

23x+1=18

Wyrażenie 23x+1, zapisane po lewej stronie równania, jest określone, gdy x-13.
Mnożymy obie strony danego równania przez 83x+1 bo 8(3x+1)0, stąd

3x+1=28

Oznacza to, że 3x=15, czyli x=5. Dla tej wartości x obie strony równania są określone, więc liczba 5 jest szukanym rozwiązaniem danego równania.
Uwaga. Po zapisaniu warunku x-13 można skorzystać z własności proporcji i w ten sposób przekształcić równoważnie dane równanie do postaci

3x+1=28
iIEiNx2IIi_d5e242
Przykład 5

Rozwiążemy równanie

2x+1=3x-2

Wyrażenia zapisane w równaniu: 2x+13x-2 są określone, gdy x-1x2.
Ponieważ (x+1)(x-2)0, to mnożymy obie strony danego równania przez x+1x-2, stąd

2x-2=3x+1

Otrzymujemy 2x-3x=3+4, czyli -7. Dla tej wartości x obie strony równania są określone, więc liczba x=-7 jest szukanym rozwiązaniem danego równania.

Przykład 6

Rozwiążemy równanie

x+1x-5=3x-82x+8

Wyrażenia zapisane w równaniu: x+1x-53x-82x+8 są określone, gdy x5x-4.
Mnożymy obie strony danego równania przez x-52x+8, stąd

2x+8x+1=x-53x-8

Wobec tego

2x2+10x+8=3x2-23x+40
x2-33x+32=0

Ponieważ wyróżnik tego równania jest dodatni: Δ=332-432=961=312, więc równanie ma dwa rozwiązania:
x1=33-312=1 oraz x2=33+312=32.
Dla tych wartości x obie strony równania są określone, więc równanie x+1x-5=3x-82x+8 ma dwa rozwiązania: 1 oraz 32.

Przykład 7

Uzasadnimy, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania xx-1=2x-3.
Wyrażenie xx-1 jest określone, gdy x1.
Mnożymy obie strony danego równania przez liczbę x-1 różną od zera, stąd

x=2x-3x-1

Wobec tego

x=2x2-3x-2x+3
2x2-6x+3=0

Wyróżnik tego równania jest dodatni: Δ=36-24=12, więc równanie ma dwa rozwiązania.
Ponieważ Δ=23 jest liczbą niewymierną, to każde z tych rozwiązań
x1=6-234=32-32 oraz x2=6+234=32+32
jest liczbą niewymierną. Zatem równanie xx-1=2x-3 nie ma rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych.

Przykład 8

Rozwiążemy równanie 2x-1x+1=4xx+1+3x-2xx-1.
Wyrażenia 2x-1x+1,4xx+13x-2xx-1 zapisane w równaniu są określone, gdy x0, x1x-1.
Mnożymy obie strony danego równania przez xx+1x-1 wyrażenie różne od zera, stąd

2x=4x-1+3x-2x+1

Wobec tego

2x=4x-4+3x2-2x+3x-2
3x2+3x-6=0
x2+x-2=0

Ponieważ wyróżnik tego równania jest dodatni: =12-4-2=9=32, więc równanie ma dwa rozwiązania
x1=-1-32oraz x2=-1+32=1.
Tylko dla wartości x=-2 obie strony równania 2x-1x+1=4xx+1+3x-2xx-1 są określone, więc to równanie ma jedno rozwiązanie: x1=-2.

Przykład 9

Rozwiążemy równanie 1x-4x-1+1x-1x+2+1x+2x+5=112.
Na początku odnotujmy, że wyrażenia zapisane po obu stronach danego równania są określone, gdy x4, x1, x-2, x-5.
Przedstawimy dwa sposoby rozwiązania tego równania.

  • sposób I

Przekształcamy lewą stronę równania. Dodajemy wyrażenia w parach: najpierw pierwsze do drugiego, a następnie otrzymaną sumę z trzecim:

x+2x-4x-1x+2+x-4x-4x-1x+2+1x+2x+5=112
2x-1x-4x-1x+2+1x+2x+5=112

Pierwszy ułamek możemy skrócić, bo x-10

2x-4x+2+1x+2x+5=112
2x+5x-4x+2x+5+x-4x-4x+2x+5=112
3x+2x-4x+2x+5=112
3x-4x+5=112.

Stąd

x-4x+5=36,

czyli

x2+x-56=0.

Otrzymane równanie ma dwa rozwiązania: x1=7 oraz x2=-8. Dla tych wartości x obie strony danego równania są określone, zatem są to jedyne rozwiązania danego równania.

  • sposób II

Zauważmy, że różnice wyrażeń zapisanych w mianownikach każdego z trzech ułamków stojących po lewej stronie równania są stałe i równe 3. Wykorzystamy ten fakt do przekształcenia równania. Pomnożymy najpierw obie strony równania przez 3:

3x-4x-1+3x-1x+2+3x+2x+5=14

Następnie zapiszemy w liczniku różnice wyrażeń z mianownika

x-1-x-4x-4x-1+x+2-x-1x-1x+2+x+5-x+2x+2x+5=14

Każde z trzech wyrażeń zapiszemy jako różnicę dwóch ułamków

x-1x-4x-1-x-4x-4x-1+x+2x-1x+2-x-1x-1x+2+x+5x+2x+5-x+2x+2x+5=14

a po skróceniu otrzymanych ułamków uporządkujemy lewą stronę równania

1x-4-1x-1+1x-1-1x+2+1x+2-1x+5=14
1x-4-1x+5=14

Po pomnożeniu obu stron otrzymanego równania przez 4x-4x+5 otrzymujemy:

4x+5-4x-4=x+5x-4
4x+20-4x+16=x2+5x-4x-20
x2+x-56=0

Jak wiemy z rozwiązania poprzednim sposobem, to równanie ma dwa rozwiązania: x1=7 oraz x2=-8. Są to jedyne rozwiązania równania 1x-4x-1+1x-1x+2+1x+2x+5=112

Przykład 10

Rozwiążemy równanie

12x+3+12x+4+12x+5+12x+6=0

Wyrażenia zapisane po obu stronach danego równania są określone, gdy x-32, x-2, x-52, x-3.
Przekształcamy lewą stronę równania. Dodajemy wyrażenia parami: pierwsze do ostatniego, a drugie do trzeciego:

2x+6+2x+32x+32x+6+2x+5+2x+42x+42x+5=0

Stąd

4x+92x+32x+6+4x+92x+42x+5=0
4x+912x+32x+6+12x+42x+5=0

a więc 4x+9=0 lub 12x+32x+6+12x+42x+5=0 
Rozwiązując równanie 12x+32x+6+12x+42x+5=0, otrzymujemy

12x+32x+6=-12x+42x+5
2x+42x+5=-2x+32x+6
4x2+18x+19=0

stąd x1=-94-54,x2=-94+54. Zatem równanie ma dwa rozwiązania: -94-54 oraz -94+54.

iIEiNx2IIi_d5e472
A
Ćwiczenie 1
RGYRedwhfpYjF
zadanie interaktywne
classicmobile
Ćwiczenie 2

Wyrażenie 1x+1+1x+2 jest równe

R13NeKGGIFqUV
static
classicmobile
Ćwiczenie 3

Rozwiązaniem równania 2x+1x-3=32 jest liczba

R1bvpUiXrVnA4
static
classicmobile
Ćwiczenie 4

Równanie x+2x-1x-1x-2=0

RE3xy6TAaq6Je
static
classicmobile
Ćwiczenie 5

Wspólnym pierwiastkiem równań 2x-6x+1=0 oraz x-3x+1x-5=0 jest liczba

R16sVG22srYc7
static
classicmobile
Ćwiczenie 6

Jeśli z=2xx+3y, to

Rpnx4nfgtqzUj
static
classicmobile
Ćwiczenie 7

Rozwiązaniem równania x+2x-2=x-4x jest liczba

R1N2ddAQGKjf6
static
classicmobile
Ćwiczenie 8

Wspólnym pierwiastkiem równań x2-16x2+1=0 oraz x2+4xx+2=0 jest liczba

R1T3gZipswsNw
static
iIEiNx2IIi_d5e821
classicmobile
Ćwiczenie 9

Równanie x2+9x+9=0

RLP13rljyMEnT
static
A
Ćwiczenie 10

Rozwiąż równanie.

  1. 7x-2=6x+3

  2. 3x-5=1x+4

  3. 127x+10=53x+4

  4. 74-3x=51-2x

A
Ćwiczenie 11

Rozwiąż równanie.

  1. xx+1=x-1x+3

  2. 8x+911-4x=7-2xx+3

  3. 3x-42-x=7-6x2x+5

A
Ćwiczenie 12

Wielkości x, y łączy zależność xy+2x-3y+5=0. Wyraź

  1. x w zależności od y i ustal, dla jakich y otrzymane wyrażenie jest określone

  2. y w zależności od x i ustal, dla jakich x otrzymane wyrażenie jest określone

A
Ćwiczenie 13

Wielkości dodatnie a, b, c łączy zależność a=b+2cb-c. Wyraź

  1. b w zależności od ac

  2. c w zależności od ab

A
Ćwiczenie 14

Rozwiąż równanie.

  1. xx+1=x+4

  2. 3x-1x-5=4x-7

A
Ćwiczenie 15

Rozwiąż równanie.

  1. 2x-5x-1=3x-3x+5

  2. 2x+5x-4=5x+123x-6

  3. 3x+1x+4=9x-294x-11

A
Ćwiczenie 16

Rozwiąż równanie.

  1. 4x+3+6x-3=5x+11x2-9

  2. 3x+2+4x-2=7x+2x2-4

  3. 5x+1-2x-1=3x-7x2-1

iIEiNx2IIi_d5e1160
A
Ćwiczenie 17

Rozwiąż równanie.

  1. 4x+2-72-x=11x+6x2-4

  2. xx+2-x-42-x=2-5xx2-4

  3. x+1x+3-x-2x-3=2x-12x2-9

A
Ćwiczenie 18

Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania 2x3x-2=4x+3.

A
Ćwiczenie 19

Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania xx+1=3x-2.

B
Ćwiczenie 20

Rozwiąż równanie.

  1. 2x-3x+3-5xx-3=x+4xx+3

  2. 7x-2x+5+x-4xx-2=4xx+5

B
Ćwiczenie 21

Rozwiąż równanie.

  1. 1x+1+1x+2+1x+3+1x+4=0

  2. 12x-5+12x-1+12x+3+12x+7=0

C
Ćwiczenie 22

Rozwiąż równanie 1x+1x+2+1x+2x+3+1x+3x+4=310.

C
Ćwiczenie 23

Rozwiąż równanie.

  1. 1x-5x-3+1x-3x-1+1x-1x+1+1x+1x+3=-13

  2. 1x-5x-3+1x-3x-1+1x-1x+1+1x+1x+3=-15