Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał

Przypomnijmy, że każdą funkcję kwadratową f określoną wzorem

fx=ax2+bx+c,

gdzie a, b oraz c to liczby rzeczywiste, przy czym liczba a jest różna od zera, możemy zapisać w postaci kanonicznej

fx=ax-p2+q,

gdzie p=-b2aq=-Δ4a.
Ponadto każdą taką funkcję kwadratową, której wyróżnik jest nieujemny, możemy też zapisać w postaci iloczynowej

fx=ax-x1x-x2,

gdzie x1=-b-Δ2ax2=-b+Δ2a to miejsca zerowe tej funkcji.

W poniższych przykładach pokażemy, w jaki sposób można wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.

Przykład 1

Funkcja kwadratowa fx=x2+4x+c osiąga wartość najmniejszą równą 7. Wyznaczymy wartość współczynnika c.
Rozwiązanie
Z treści zadania wynika, że współrzędna q wierzchołka wykresu funkcji f jest równa 7. Możemy z tego skorzystać w jeden z następujących sposobów.

  • sposób I

Obliczamy wyróżnik funkcji f

Δ=42-41c=16-4c

Podstawiamy do wzoru q=-Δ4a.

q=-Δ4a=-16-4c41=-7.

Stąd 4c-16=-28, 4c=-12, c=-3.

  • sposób II

Ze wzoru odczytujemy pierwszą współrzędną wierzchołka wykresu funkcji p=-421=-2. Wobec tego

f-2=-22+4-2+c=-7

stąd c=-3.

  • sposób III

Ze wzoru odczytujemy pierwszą współrzędną wierzchołka: p=-421=-2f-2=-7. Wobec tego funkcję f można zapisać wzorem w postaci kanonicznej fx=x+22-7, stąd

fx=x2+4x+4-7=x2+4x-3,

czyli c=-3.

  • sposób IV

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci kanonicznej

fx=x2+4x+c=x2+4x+4-4+c=x+22+c-4.

Zatem funkcja f osiąga wartość najmniejszą c-4 dla x=-2. Ponieważ f-2=-7, to c-4=-7, czyli c=-3.

RO7hyVemMa5ir1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RtBIQjboVluee1
E-podręczniki z matematyki
Przykład 2

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej fx=-3x2+bx-14 jest 7. Wyznaczymy wartość współczynnika b.
Rozwiązanie

  • sposób I

Z treści zadania wynika, że

f7=-372+b7-14=0.

Zatem -147+7b-14=0, stąd 7b=161, czyli b=23.

  • sposób II

Z treści zadania wynika, że funkcję fx=-3x2+bx-14 można zapisać w postaci iloczynowej

fx=-3x-7x-x2,

gdzie x2 to drugie miejsce zerowe funkcji f.
Postać iloczynową przekształcamy do postaci ogólnej, stąd

fx=-3x2-7x-x2x+7x2=-3x2+21+3x2x-21x2.

Porównując współczynniki, stwierdzamy, że -21x2=-14 oraz b=21+3x2. Zatem drugim pierwiastkiem jest x2=23, więc b=21+323=23.

  • sposób III

Z treści zadania wynika, że funkcję fx=-3x2+bx-14 można zapisać w postaci iloczynowej

fx=-3x-7x-x2,

gdzie x2 to drugie miejsce zerowe funkcji f.
Jedynym wyrazem niezależnym od x w tym wzorze jest -3-7x2, zatem -3-7x2=-14, a stąd
x2=23. Liczba 23 jest więc miejscem zerowym funkcji f, zatem

f23=-3232+b23-14=0.

Wobec tego -43+23b-14=0, 23b=1423, 23b=463, czyli b=23.

Przykład 3

Wyznaczymy współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

fx=-x+1x-3.

Rozwiązanie

  • sposób I

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci ogólnej

fx=-x+1x-3=-x2+x-3x-3=-x2+2x+3.

Wobec tego współrzędne wierzchołka tej paraboli to: p=-22-1=1, q=f1=-12+2+3=4. Zatem wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=1,4.

  • sposób II

Ponieważ fx=0 wtedy i tylko wtedy, gdy x=-1lub x=3, to funkcja f ma dwa miejsca zerowe 1 oraz 3. Oś symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji f to jednocześnie symetralna odcinka, którego końcami są punkty -1,03,0. Korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka, stwierdzamy, że ta symetralna przechodzi przez punkt o współrzędnych -1+32,0, więc jest to prosta o równaniu x=1. Stąd p=1oraz q=f1=-1+11-3=4. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=1,4.

RyOuhiBPPK5VJ1
E-podręczniki z matematyki
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
iF2jXRqhtN_d5e291
Oś symetrii funkcji kwadratowej
Twierdzenie: Oś symetrii funkcji kwadratowej

Jeżeli funkcja kwadratowa

fx=ax2+bx+c

ma dwa miejsca zerowe x1x2, to oś symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f ma równanie

x=x1+x22

Dowód
Jak zauważyliśmy, oś symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji f, to jednocześnie symetralna odcinka o końcach w punktach x1,0x2,0. Korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka, stwierdzamy, że ta symetralna przechodzi przez punkt o współrzędnych x1+x22,0. Dla dowodu wystarczy więc pokazać, że

x1+x22=p.

Ponieważ

x1+x2=-b-Δ+-b+Δ2a=-ba,

więc

x1+x22=-b2a=p.
Przykład 4
RPmc7C94BeoV31
Animacja prezentuje różne funkcje kwadratowe opisane wzorami ogólnymi. Należy wybrać z danych postać kanoniczną tej funkcji. Po wskazaniu prawidłowej odpowiedzi w układzie współrzędnych pojawia się jej wykres.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 5

Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem fx=-3x2+bx+c jest parabola o wierzchołku W=2,7. Wyznaczymy wartość współczynnika b i współczynnika c.
Rozwiązanie

  • sposób I
    Z treści zadania wynika, że funkcję f można zapisać w postaci kanonicznej fx=-3x-22+7. Zatem

fx=-3x2-4x+4+7=-3x2+12x-5,

czyli współczynniki mają wartości b=12, c=-5.

  • sposób II
    Korzystając ze wzorów na współrzędne wierzchołka, otrzymujemy układ równań

-b2a=2-Δ4a=7.

Uwzględniając w drugim równaniu Δ=b2-4acoraz wstawiając a=-3, otrzymujemy

-b2-3=2-b2-4(-3c)4-3=7

stąd

-b=-12-b2+12c=-84
b=12122+12c=84
b=1212c=84-144

Mamy zatem

b=12c=-5
Przykład 6

Funkcja kwadratowa fx=2x2+bx+c ma dwa miejsca zerowe: x1=-5x2=4. Wyznaczymy wartość współczynnika b i współczynnika c.
Rozwiązanie.

  • sposób I

Z treści zadania wynika, że funkcję f można zapisać w postaci iloczynowej.

fx=2x+5x-4

Zatem

fx=2x2+5x-4x-20=2x2+2x-40.

Współczynniki mają wartości: b=2, c=-40.

  • sposób II

Ponieważ miejscami zerowymi funkcji fx1=-5x2=4, więc f-5=0 oraz f4=0. Aby wyznaczyć wartości współczynników, rozwiązujemy układ równań.

242+b4+c=02-52+b-5+c=0
32+4b+c=050-5b+c=0
4b+c=-32-5b+c=-50

Otrzymany układ równań możemy rozwiązać dowolną metodą, np. podstawiania lub przeciwnych współczynników.
Wybierzmy metodę podstawiania

c=-4b-32-5b-4b-32=-50
c=-4b-32-9b-32=-50
c=-4b-32-9b=-18
c=-4b-32b=2
b=2c=-42-32
b=2c=-40

Rozwiązanie układu

4b+c=-32-5b+c=-50

metodą przeciwnych współczynników (lub każdą inną, prowadzącą do wyznaczenia wartości każdego ze współczynników) pozostawiamy jako osobne ćwiczenie.

  • sposób III

Ponieważ miejscami zerowymi funkcji fx=-5 oraz x=4, więc osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta x=-5+42, czyli x=-12. Możemy więc zapisać postać kanoniczną funkcji

fx=2x+122+q.

Wykorzystując jeszcze raz informację o miejscach zerowych, otrzymamy, że np. f4=0, stąd

24+122+q=0
q=-2922,

czyli

q=-812.

Wobec tego

fx=2x+122-812=2x2+x+14-812=2x2+2x+12-812=2x2+2x-40.

Zatem współczynniki mają wartości b=2, c=-40.
Uwaga. Zapisując wzór funkcji f w postaci fx=2x+122+q i wykorzystując informację o drugim miejscu zerowym funkcji f:f-5=0, doprowadzimy do tej samej zależności, co otrzymana powyżej q=-2-922=-2922. Fakt ten wynika stąd, że prosta x=-12 jest symetralną odcinka o końcach w punktach -5,04,0.

Przykład 7

Funkcja kwadratowa fx=ax2+bx+c osiąga największą wartość równą 4 dla x=-2, a  na jej wykresie leży punkt A=0,0. Obliczymy wartości współczynników a, bc.
Rozwiązanie

  • sposób I

Z treści zadania wynika, że punkt W=-2,4 jest wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji f. Wobec tego wzór funkcji f możemy zapisać w postaci fx=ax+22+4. Wiemy ponadto, że punkt A leży na wykresie funkcji f, zatem f0=0. Łącząc oba uzyskane wnioski, otrzymujemy

f0=a0+22+4=0,

stąd 4a=-4, czyli a=-1. Stąd wynika wzór funkcji f

fx=-1x+22+4=-x2+4x+4+4=-x2-4x.

Współczynniki mają zatem wartości: a=-1,b=-4,c=0.

  • sposób II

Z treści zadania wynika, że jednym z miejsc zerowych funkcji f jest 0, a osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f jest prosta o równaniu x=-2. Wynika stąd, że -4 jest drugim miejscem zerowym funkcji f. Zatem wzór funkcji f możemy zapisać w postaci fx=axx+4. Wiemy ponadto, że punkt -2,4 leży na wykresie funkcji f, więc f-2=4. Łącząc oba uzyskane wnioski, otrzymujemy

f-2=a-2-2+4=4,

stąd -4a=4, czyli a=-1. Wobec tego wzór funkcji f to

fx=-1xx+4=-x2+4x=-x2-4x.

Współczynniki mają więc wartości: a=-1,b=-4,c=0.

  • sposób III

Z treści zadania odczytujemy, że punkt fx=0 oraz punkt W=-2,4 jest wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji f. Korzystając ze wzorów na współrzędne wierzchołka, otrzymujemy układ równań

a02+b0+c=0-b2a=-2-Δ4a=4

Przekształcamy ten układ, uwzględniając w drugim równaniu Δ=b2-4ac

c=0-b=-4a-b2-4ac=16a
c=0b=4ab2=-16a

Stąd wniosek, że b2=4a2=-16a, więc 16a2=-16a, czyli a2+a=0, stąd aa+1=0. Ponieważ funkcja f jest kwadratowa, więc a0. Zatem a=-1, stąd b=4-1=-4. Oznacza to, że a=-1,b=-4,c=0.

iF2jXRqhtN_d5e550
A
Ćwiczenie 1

Ustal współrzędne wierzchołka W paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej fx=-14x-5x+7.

A
Ćwiczenie 2

Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej x sumę tej liczby i kwadratu liczby o 2 od niej większej. Ustal zbiór wartości tej funkcji i znajdź jej miejsca zerowe.

A
Ćwiczenie 3

Do wykresu funkcji kwadratowej fx=x2+5x+c należy punkt A=-3,0. Wyznacz wartość współczynnika c.

A
Ćwiczenie 4

Prosta x=-4 jest osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji fx=-x2+bx. Wyznacz wartość współczynnika b.

A
Ćwiczenie 5

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej fx=5x2-10x+c jest -9,+. Ustal wartość współczynnika c.

A
Ćwiczenie 6

Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem fx=x2+bx+c. Wyznacz wartości każdego ze współczynników b oraz c, wiedząc, że wykres funkcji f ma z osią Ox tylko jeden punkt wspólny = (3, 0).

iF2jXRqhtN_d5e669
A
Ćwiczenie 7

Funkcja kwadratowa g określona jest wzorem gx=-x2+bx+c. Funkcja ta osiąga wartość największą równą 17 dla x=-5. Wyznacz wartości współczynników bc.

A
Ćwiczenie 8

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej gx=-15x2+bx+c-2345. Wyznacz wartość każdego ze współczynników b, c.

A
Ćwiczenie 9

Wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem fx=-4x2+bx+c jest parabola o wierzchołku W=32,8. Wyznacz wartość każdego ze współczynników b, c.

A
Ćwiczenie 10

W układzie współrzędnych narysowano część paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej fx=ax2+bx+c. Wyznacz wartość każdego ze współczynników a, bc.

R1F1mhx5zWyIl1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 11

W układzie współrzędnych narysowano część paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej gx=ax2+bx+c. Ustal wartość każdego ze współczynników a, bc.

RJ4kqmMMbV0wS1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 12

Funkcja kwadratowa gx=ax2+bx+c ma dwa miejsca zerowe x1=-6 oraz x2=10. Najmniejszą wartością tej funkcji jest 16. Ustal wartość każdego ze współczynników a, bc.

A
Ćwiczenie 13

Wykresem funkcji kwadratowej fx=ax2+bx+c jest parabola o wierzchołku w punkcie A=1,9. Jednym z punktów przecięcia tej paraboli z osią Ox jest punkt B=-12,0. Wyznacz wartość każdego ze współczynników a, bc.

A
Ćwiczenie 14

Funkcja kwadratowa gx=ax2+bx+c osiąga najmniejszą wartość równą 5 dla x=3, a  jej wykres przecina oś Oy w punkcie A=0,-2. Oblicz wartość każdego ze współczynników a, bc.

A
Ćwiczenie 15

Funkcja kwadratowa fx=ax2+bx+c ma dwa miejsca zerowe x1=-25x2=4, a jej wykres ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o równaniu y=-121. Wyznacz wartość każdego ze współczynników a, bc.

iF2jXRqhtN_d5e866
A
Ćwiczenie 16

Wykresem funkcji kwadratowej gx=ax2+bx+c jest parabola o wierzchołku w punkcie A=-3,5, do której należy też punkt B=1, -27. Wyznacz wartość każdego ze współczynników a, bc.

A
Ćwiczenie 17

Wykresem funkcji kwadratowej gx=ax2+bx+c jest parabola, na której leżą punkty A=-1,5B=2,-1. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu x=1. Wyznacz wartość każdego ze współczynników a, bc.

A
Ćwiczenie 18

Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem fx=ax2+bx+c. Maksymalnym przedziałem, w którym funkcja f maleje, jest -3,+. Parabola będąca wykresem funkcji f ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o równaniu y=1. Ponadto na wykresie tej funkcji leży punkt P=-1,-1. Ustal wartość każdego ze współczynników a, bc.

B
Ćwiczenie 19

Punkty A=-3,5B=-1,1 leżą na paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej fx=ax2+bx+c. Wykaż, że punkt C=1,-3 nie leży na tej paraboli.

B
Ćwiczenie 20

Wykresem funkcji kwadratowej fx=ax2+bx+c jest parabola , która ma dokładnie jeden punkt wspólny z osią Ox. Na tej paraboli leżą punkty = (1, 9) oraz punkt = (3, 1). Wyznacz wartość każdego ze współczynników a, bc. Rozpatrz wszystkie przypadki.

A
Ćwiczenie 21

Wyznacz wszystkie wartości b, dla których wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji fx=x2-2bx+b+25 leży na prostej y=x.

A
Ćwiczenie 22

Wyznacz wszystkie wartości c, dla których miejscem zerowym funkcji f określonej wzorem fx=x2-2cx+c+2 jest liczba x=c.