Wróć do informacji o e-podręczniku Udostępnij materiał Wydrukuj

Rozważmy prostą oraz okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Prosta oraz okrąg, leżące w tej samej płaszczyźnie, mogą mieć jeden punkt wspólny, mogą mieć dwa punkty wspólne lub nie mają punktów wspólnych.

R1NT7rq2gINfp1
Animacja pokazuje trzy położenia prostej i okręgu. Prosta rozłączna nie ma punktów wspólnych z okręgiem. Prosta styczna ma jeden punkt wspólny z okręgiem. Prosta sieczna ma 2 punkty wspólne z okręgiem.
Dane

Wzajemne położenie prostej i okręgu

Nazwa prostej

Liczba punktów wspólnych prostej i okręgu

Interpretacja graficzna

Sieczna okręgu

dwa

R5S4096QC20vH1

A, B – punkty wspólne prostej i okręgu

Styczna do okręgu

jeden

R3Loe27im6YgW1

A – punkt wspólny prostej i okręgu

Rozłączna z okręgiem

zero

Rjriu2l3j097J1

Prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.

 Styczna do okręgu
Twierdzenie:  Styczna do okręgu

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia tego okręgu poprowadzonego z punktu styczności.

R19dSEXlUTvY91

Rozważmy okrąg o środku w punkcie S i promieniu r oraz punkt A leżący na zewnątrz tego okręgu. Poprowadźmy dwie styczne do tego okręgu przechodzące przez punkt A. Punkty styczności oznaczmy BC.

RWlijNbn7kfT91
RbG0cOy9ezSAf1
Animacja prezentuje, w 6 krokach, dowód twierdzenia o odcinkach stycznych. Na okręgu o środku S i promieniu r zaznaczono punkty B, C i D oraz punkt A leżący na zewnątrz tego okręgu. Udowodnimy, że odcinek AB jest równy odcinkowi AC. Prowadzimy odcinek AS. Zauważamy, że odcinki SB i SC. są równe promieniowi okręgu r. Bok SA jest równoodległy od ramion kąta, więc należy do dwusiecznej kąta B A C. Kąty A C S i A B S to kąty proste, więc kąty A S C i A S B mają równe miary. Z cechy b k b wynika, że trójkąty A B S i A C S są przystające, więc boki AB i AC są równe.

Poprowadźmy odcinek AS . Trójkąty ABSACS są prostokątne i mają wspólną przeciwprostokątną SA. Przyprostokątne SBSC mają taką samą długość r. Obliczając z twierdzenia Pitagorasa trzeci z boków w obu trójkątach, otrzymujemy

AB=AS2-r2,

oraz

AC=AS2-r2,

zatem

AB=AC.
o odcinkach stycznych
Twierdzenie: o odcinkach stycznych

Jeżeli styczne do okręgu w punktach AB przecinają się w punkcie C, to odcinki ABAC są równej długości.

Rozważmy dwa okręgi: jeden o środku w punkcie S1 i promieniu r1, drugi o środku w punkcie S2 i promieniu r2, przy czym S1S2. Dwa okręgi mogą mieć dwa punkty wspólne, jeden punkt wspólny lub nie mają punktów wspólnych.

Rp5mfKzkrZ45W1
Animacja pokazuje, w 10 krokach, trzy wzajemne położenia dwóch okręgów. Okręgi mogą być rozłączne zewnętrznie, rozłączne wewnętrznie, bez punktów wspólnych, styczne z jednym punktem wspólnym i przecinające się z dwoma punktami wspólnymi.
Dane

Wzajemne położenie dwóch okręgów o różnych promieniach

Nazwa okręgów

Liczba punktów wspólnych

Zależność między środkami S1, S2 okręgów a ich promieniami r1, r2

Interpretacja graficzna

Okręgi przecinające się

dwa

r1-r2<S1S2
<r1+r2
R1JxUk0dYmmf11

Okręgi styczne zewnętrznie

jeden

S1S2=r1+r2
R5tmhIoYqJPOm1

Okręgi styczne wewnętrznie

jeden

0<S1S2=r1-r2
ReF1Ue8OmZxuG1

Okręgi rozłączne zewnętrznie

zero

S1S2>r1+r2
R7P5oVSrs7b7Y1

Okręgi rozłączne wewnętrznie

zero

S1S2<r1-r2
R12rAZT5ljImz1