Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał

W kolejnych przykładach zadań tekstowych interpretujemy średnią wartość prędkości jako długość drogi pokonanej w jednostce czasu.
Przypomnijmy na wstępie, jak należy rozumieć tego typu zależności.

Przykład 1
RniQzfckpX1za1
Pewien kolarz przez trzy kolejne dni pokonywał w ramach treningu trasę 120 km. Pierwszego dnia pokonał ją w ciągu 3 godzin. Oznacza to, że średnia wartość V jego prędkości była wtedy równa V =120 przez 3 kilometrów na godzinę , czyli V = 40 kilometrów na godzinę . Drugiego dnia pokonał tę trasę, jadąc ze średnią prędkością mniejszą o 4 kilometry na godzinę niż pierwszego dnia. Oznacza to, że czas t potrzebny na pokonanie tej trasy był wtedy równy T =120 przez 36 godziny, czyli 3 godziny i 20 minut. Zatem drugiego dnia kolarz jechał o 20 minut dłużej, niż pierwszego. Trzeciego dnia kolarz przebył trasę, jadąc przez pierwszą połowę drogi ze średnią prędkością 40 3 kilometrów na godzinę , a przez drugą połowę, jadąc ze średnią prędkością 36 3 kilometrów na godzinę . Wynika z tego, że czas t z indeksem dolnym jeden, w którym przebył pierwsze 60 km trasy, był równy t z indeksem dolnym jeden =60 przez 40 godziny, czyli 1,5 godziny, a czas t z indeksem dolnym dwa potrzebny na pokonanie drugiej połowy trasy był równy t z indeksem dolnym dwa =60 przez 36 godziny, czyli 1 godzina i 40 minut, co oznacza, że na pokonanie całej trasy kolarz potrzebował wtedy 3 godzin i 10 minut. Wynika z tego, że trzeciego dnia średnia wartość V prędkości kolarza była równa po zaokrągleniu do części setnych V = 37,89 3 kilometrów na godzinę. Otrzymana wartość nie jest więc średnią arytmetyczną prędkości, z jakimi kolarz przebył każdą z połówek całej trasy.

Rozwiążemy teraz trzy przykładowe zadania dotyczące zagadnień związanych z drogą oraz prędkością i czasem.

Przykład 2

Pociąg towarowy miał przebyć pewną drogę w czasie 21 godzin. W połowie drogi pociąg niespodziewanie zatrzymano na pół godziny. Aby uniknąć spóźnienia, pozostałą część trasy pociąg przebył ze średnią prędkością o 2 km/h większą niż planowana. Jaka była długość tej drogi i planowana prędkość pociągu?
Oznaczmy planowaną prędkość pociągu przez x (w km/h). Zatem przez pierwsze 10,5 godziny jazdy pociąg pokonał połowę drogi, czyli 10,5x km. Po nieplanowanym postoju jechał jeszcze przez 10 godzin z prędkością x+2 km/h, pokonując wtedy drugą połowę drogi, czyli 10x+2 km.
Wówczas10,5x=10x+2, a stąd x=40. Oznacza to, że pociąg przejechał 840 km, a planowana średnia prędkość jazdy to 40 km/h.

Przykład 3

Pewien rowerzysta przebył zaplanowaną trasę o długości 200 km, pokonując w ciągu każdej godziny jazdy tę samą liczbę kilometrów. Gdyby rowerzysta mógł przeznaczyć na tę wyprawę o 2 godziny więcej, to w ciągu każdej godziny mógłby przejeżdżać o 5 km mniej. Obliczymy, z jaką średnią prędkością jechał ten rowerzysta.
Wprowadzamy oznaczenia:
x – czas (w godzinach) jazdy rowerzysty na trasie 200 km,
y – wartość średniej prędkości (w km/h), z jaką jechał.
Wtedy

xy=200.

Gdyby rowerzysta jechał przez x+2 godziny, to jego średnia prędkość na trasie 200 km byłaby równa y-5 km/h.
Zatem

x+2y-5=200.

Uwzględniamy w tym równaniu zależność xy=200 i przekształcamy je do postaci

y=5x+102.

Stąd

5x+102x=200
5x2+10x=400
x2+2x-80=0.

Obliczamy wyróżnik Δ=22-41-80=324=182. Równanie ma więc dwa rozwiązania, którymi są x1=-2+182=8,x2=-2-182=-10.
Drugie z rozwiązań odrzucamy, gdyż czas nie może być ujemny.
Zatem rowerzysta przejechał trasę 200 km w czasie 8 godzin, co oznacza, że jechał ze średnią prędkością 25 km/h.
Odpowiedź: 25 km/h

Przykład 4

Miasta AB są oddalone o 400 km. Pan Stanisław pokonał tę trasę samochodem w czasie o 75 minut krótszym niż pan Zenon. Wartość średniej prędkości, z jaką jechał pan Stanisław na całej trasie była o 16 km/h większa od wartości średniej prędkości, z jaką jechał pan Zenon.
Oblicz średnie wartości:

  1. prędkości, z jaką pan Stanisław jechał z A do B,

  2. prędkości, z jaką pan Zenon jechał z A do B.

Wprowadzamy oznaczenia:
x – czas jazdy pana Zenona,
y – wartość średniej prędkości (w km/h), z jaką jechał pan Zenon.
Wtedy

xy=400.

Pan Stanisław przebył drogę z A do B w czasie x-7560 godziny, a średnia wartość jego prędkości była równa y+16 km/h.
Zatem

x-7560y+16=400.

Uwzględniamy w tym równaniu zależność xy=400 i przekształcamy je do postaci -54y+16x-20=0.
Stąd

y=645x-16

co oznacza, że

645x-16x=400
645x2-16x-400=0
4x2-5x-125=0

Obliczamy wyróżnik Δ=-52-44-125=2025=452.
Równanie ma więc dwa rozwiązania x1=5+458=254, x2=5-458=-5.
Drugie z rozwiązań odrzucamy, gdyż czas nie może być ujemny.
Zatem pan Zenon przejechał trasę 400 km w czasie 6 godzin 15 minut, co oznacza, że jechał ze średnią prędkością 64 km/h. Wtedy średnia wartość prędkości, z jaką jechał pan Stanisław była równa 80 km/h.
Odpowiedź: Średnia wartość prędkości, z jaką pan Stanisław jechał z A do B: 80 km/h, średnia wartość prędkości, z jaką pan Zenon jechał z A do B: 64 km/h.

iMiy9p13AX_d5e275
A
Ćwiczenie 1

Suma kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych jest równa 685. Co to za liczby?

A
Ćwiczenie 2

Liczba wszystkich odcinków, łączących każde dwa wierzchołki pewnego wielokąta foremnego jest równa 210. Ile boków ma ten wielokąt?

A
Ćwiczenie 3

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o podstawie kwadratowej jest równe 272. Krawędź boczna jest o 1 krótsza od obwodu podstawy. Oblicz pole P powierzchni bocznej tego prostopadłościanu.

A
Ćwiczenie 4

Za pewną liczbę takich samych teczek na dokumenty sekretarka zapłaciła w hurtowni 435 zł. Gdyby cena jednej teczki była o 5 groszy niższa, to za tę samą kwotę można byłoby kupić o 10 teczek więcej. Oblicz cenę jednej teczki.

A
Ćwiczenie 5

Automat pracujący ze stałą wydajnością wyprodukował 7200 kopert. Gdyby ten automat produkował o  8 kopert na minutę więcej, to na wykonanie tej liczby kopert potrzebowałby o pół godziny mniej. Oblicz, w ciągu jakiego czasu automat wyprodukował koperty.

A
Ćwiczenie 6

Pan Jan przebył w pewnym czasie drogę długości 240 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 12 km/h większą, to czas przejazdu skróciłby się o 1 godzinę. Z jaką prędkością jechał pan Jan?

A
Ćwiczenie 7

Pan Jan przebył w pewnym czasie drogę długości 210 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 10 km/h większą, to czas przejazdu skróciłby się o 42 minuty. Z jaką średnią prędkością jechał pan Jan?

A
Ćwiczenie 8

Rowerzysta przebył w pewnym czasie drogę długości 72 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 6 km/h większą, to czas przejazdu skróciłby się o 36 minut. Jaka była średnia prędkość rowerzysty?

A
Ćwiczenie 9

Rowerzysta miał przebyć 120 km, jadąc z ustaloną średnią prędkością. W połowie drogi, którą pokonał, jadąc zgodnie z planem, zatrzymał się, aby porozmawiać ze spotkanym znajomym. Po tej przerwie kontynuował jazdę, ale żeby uniknąć spóźnienia, pozostałą część trasy przebył ze średnią prędkością o 6 km/h większą niż zaplanowana. Okazało się, że łączny czas jazdy rowerzysty (nie licząc postoju) to 4 godziny i 30 minut. Z jaką średnią prędkością rowerzysta planował przejechać 120 km?

A
Ćwiczenie 10

W miasteczku są dwa place zabaw w kształcie prostokątów. Przekątna każdego z tych prostokątów jest równa 85 m. Pierwszy plac ma długość o 7 m większą niż drugi, ale szerokość o 11 m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych placów.