Wydrukuj Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Zapisz jako PDF

Pokażemy teraz kilka przykładowych zadań tekstowych, w których interpretacja danych zapisanych w ich treści doprowadzi do równania kwadratowego.

Przykład 1

W roku 2015 na uroczystości urodzin zapytano jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział: „Jeśli wiek, który osiągnę za 15 lat pomnożę przez wiek, który osiągnę za 55 lat, to otrzymam rok mojego urodzenia”. W którym roku urodził się ten jubilat?

R12ZFzMEuBV111
"W roku 2015 na uroczystości urodzin zapytano jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział: „Jeśli swój wiek, który osiągnę za 15 lat pomnożę przez swój wiek, który osiągnę za 55 lat, to otrzymam rok mojego urodzenia”. W którym roku urodził się ten jubilat? Oznaczmy przez x wiek jubilata w dniu urodzin w 2015 roku. Wtedy: rok urodzenia jubilata to 2015 ?x

Odpowiedź: Jubilat urodził się w 2001 roku.

Przykład 2

Liczba wszystkich przekątnych pewnego wielokąta foremnego jest równa 135. Ile boków ma ten wielokąt?
Oznaczmy liczbę boków wielokąta przez n. Wówczas liczba jego przekątnych jest równa nn-32.
Otrzymujemy równanie

nn-32=135.

Stąd

n2-3n=1352
n2-3n-270=0.

Obliczamy wyróżnik

Δ=-32-41-270=1089=332

Wobec tego równanie ma dwa rozwiązania, którymi są n1=3+332=18 oraz n2=3-332=-15.
Drugie z rozwiązań odrzucamy, gdyż liczba boków nie może być ujemna. Zatem ten wielokąt jest osiemnastokątem.
Odpowiedź: Ten wielokąt ma osiemnaście boków.

iTtrwRYti3_d5e175
Przykład 3

Pole powierzchni bocznej prostopadłościanu o podstawie kwadratowej jest równe 280. Krawędź podstawy jest o 3 krótsza od krawędzi bocznej. Oblicz objętość V tego prostopadłościanu.
Oznaczmy przez x długość krawędzi podstawy prostopadłościanu. Wtedy długość jego krawędzi bocznej jest równa x+3, a pole powierzchni bocznej jest równe 4xx+3. Otrzymujemy równanie

4xx+3=280.

Stąd

xx+3=70
x2+3x=70
x2+3x-70=0.

Obliczamy wyróżnik

Δ=32-41-70=289=172.

Wobec tego równanie ma dwa rozwiązania, którymi są
x1=-3+172=7 oraz x2=-3-172=-10.
Tylko pierwsze z nich spełnia warunki zadania, co oznacza, że jest to prostopadłościan o wymiarach 7,710, a więc jego objętość V jest równa 490.
Odpowiedź: = 490.

Przykład 4
ROB8MyLH205Qk1
Koszt wynajęcia autobusu do przewozu grupy uczniów na warsztaty matematyczne z miejsca zamieszkania do Domu Wczasów Dziecięcych wynosi 2400 zł. Podzielono tę kwotę na równe części, by każdy z uczniów zgłoszonych do udziału w warsztatach płacił tyle samo. Jeden z uczniów tej grupy zrezygnował z wyjazdu na warsztaty i w efekcie każdy z uczestników warsztatów zapłacił za przejazd o 4 zł więcej, niż planowano. Ustalimy, ilu uczniów brało udział w tych warsztatach. Oznaczmy przez x liczbę uczniów, którzy zgłosili chęć udziału w warsztatach, a przez y – kwotę (w złotych) opłaty za przejazd, która przypadła na zgłoszonego uczestnika. Wtedy x razy y=2400. Po rezygnacji jednego z uczniów w warsztatach uczestniczyło x ?1 osób, a każda z nich zapłaciła za przejazd (y +4 )zł. Zatem (x ?1) razy (y +4) =2400. Wynika stąd, że x razy –y +4x ?4= 2400. Uwzględniając x razy y =2400, otrzymamy równanie ?y +4x ?4 =0, z którego wyznaczymy niewiadomą y y =4x ?4. Uwzględniając z kolei tę zależność w równaniu x razy y=2400, otrzymamy X razy (4x ?4) =2400. Przekształcamy to równanie do postaci x kwadrat –x ?600 =0 Obliczamy wyróżnik: Delta =(?1) kwadrat ?4 razy 1 razy (?600 )= 2401 =492. Równanie ma więc dwa rozwiązania, którymi są x z indeksem dolnym jeden =25 oraz x z indeksem dolnym dwa =?24. Drugie z rozwiązań odrzucamy, gdyż liczba uczniów nie może być ujemna. Zatem do udziału w warsztatach zgłosiło się 25 uczniów, a 24 uczniów brało w nich udział. Odpowiedź: W warsztatach brało udział 24 uczniów.
Przykład 5

Geodeta wytyczył teren pod dwie prostokątne działki. Pierwsza działka ma powierzchnię 5600 m2. Druga działka ma długość o 20 m większą i szerokość o 5 m większą niż pierwsza oraz powierzchnię większą o 1900 m2. Obliczymy wymiary obu działek.
Wprowadzamy oznaczenia:
x – długość pierwszej działki (w metrach),
y – szerokość pierwszej działki (w metrach).
Ponieważ jej powierzchnia jest równa 5600 m2, więc xy=5600.
Wtedy druga działka ma wymiary:
długość: x+20 m oraz szerokość: y+5 m,
a skoro jej pole jest równe 5600+1900 m2, więc

x+20y+5=7500

Uwzględniamy w tym równaniu zależność xy=5600  i przekształcamy je do postaci

x=360-4y.

Stąd

360-4yy=5600
-4y2+360y=5600
y2-90y+1400=0.

Obliczamy wyróżnik:

Δ=-902-411400=2500=502.

Równanie ma więc dwa rozwiązania, którymi są y1=90+502=70 oraz y2=90-502=20.
Zatem możliwe są dwa przypadki:
pierwsza działka ma wymiary 80 m70 m i wtedy druga ma wymiary 100 m75 m lub
pierwsza działka ma wymiary 280 m20 m i wtedy druga ma wymiary 300 m25 m.
Odpowiedź: Możliwe są dwa rozwiązania: pierwsza działka ma wymiary 80 m70 m, druga – 100 m75 m lub pierwsza działka ma wymiary 280 m20 m, druga – 300 m25 m.